高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.3空间向量的应用优秀综合训练题

6.3.4空间距离的计算

知识点01  两点间的距离

1.两点间距离A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），

|AB|=

2用向量表示 两点间距离=(,,),|AB|=

【即学即练1】如图所示，在120°的二面角α­AB­β中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．

【即学即练2】如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（    ）

A． B．2 C． D．

知识点02  点到平面的距离 

定义：若P是平面α外一点，PQ⊥α，垂足为Q，A 为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，点P到平面α的距离d=

【即学即练3】已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　)

A．10　　　　　　　　　 B．3

C．   D．

【即学即练4】如图所示，已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离．

知识点03  点到直线的距离

定义：若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d==

设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d=||sin<,e>

【即学即练5】在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°．D是BC边的中点，AC＝2，DE⊥平面ABC，DE＝1，则点E到斜边AC的距离是________．

【即学即练6】如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为4，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______ .

知识点04  相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离

1.当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝．

2.当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．

如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝．

【即学即练7】两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ）

A． B． C． D．

【即学即练8】已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离．

◆考点01 用向量法求点线距

【典例1】已知正四棱柱中，，，点为棱的中点．

(1)求二面角的余弦值；

(2)连接，若点为直线上一动点，求当点到直线距离最短时，线段的长度．

【典例2】如图，正方形的中心为O，四边形为矩形，平面 平面，点G为 的中点， .

(1)求证： 平面 ；

(2)求点D到直线的距离.

◆考点02 用向量法求点面距

【典例3】布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（    ）

A． B． C． D．

【典例4】如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．

(1)求证：BE∥平面DCF；

(2)求点B到平面DCF的距离．

【典例5】如图，在正四棱柱中，，，点E为中点，点F为中点.

(1)求证：；

(2)求点F到平面BDE的距离.

◆考点03 用向量法求线面距

【典例6】如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面.

(1)求证： 平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求直线到平面的距离.

【典例7】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，，，是棱的中点.

(1)求证：平面ACQ；

(2)求直线PB到平面ACQ的距离.

◆考点04 用向量法求面面距

【典例8】直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．

(1)求证：平面 平面；

(2)求平面与平面的距离．

◆考点05 用向量法求线线距

【典例9】如图，在长方体中，，，求：

(1)点到直线BD的距离；

(2)点到平面的距离；

(3)异面直线之间的距离.

题组A  基础过关练

一、单选题

1．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（    ）

A． B． C． D．

2．在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面的距离为（    ）

A． B． C．1 D．

3．已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为，则（    ）

A．-1 B．-11 C．-1或-11 D．-21

4．在空间直角坐标系中，已知，则以下错误的是（    ）

A． B．夹角的余弦值为

C．A，B，C，D共面 D．点O到直线AB的距离是

5．在四棱台中，侧棱与底面垂直，上下底面均为矩形，，，则下列各棱中，最长的是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

6．已知，，平面，则（    ）

A．点到平面的距离为 B．与所成角的正弦值为

C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的正弦值为

7．在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（    ）

A． B． C．2 D．

8．（多选）已知空间直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则下列说法错误的是（    ）

A．点到原点的距离是 B．点到轴的距离是

C．点到平面的距离是3 D．点到平面的距离是3

三、填空题

9．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：

①平面截正方体所得的截面图形是五边形；

②直线到平面的距离是；

③存在点，使得；

④面积的最小值是．

其中所有正确结论的序号是__________．

10．在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，写出一个满足条件的的值：______.

11．正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为分别是异面直线和上的任意一点，则间距离的最小值为___________.

四、解答题

12．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面的夹角的正切值；

(3)求点到平面的距离.

13．直三棱柱中，，，点为线段的中点，直线与的交点为，若点在线段上运动，的长度为．

(1)求点到平面的距离；

(2)是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

14．如图，在长方体中，，E为线段的中点，F为线段的中点．

(1)求点到直线的距离；

(2)求直线到直线的距离；

(3)求点到平面的距离．

题组B  能力提升练

一、单选题

1．如图，在多面体中，底面为菱形，平面，，，点M在棱上，且，平面与平面的夹角为，则下列说法错误的是（    ）

A．平面平面 B．

C．点M到平面的距离为 D．多面体的体积为

2．如图，在直三棱柱中，，，，M为AB的中点.则A1到平面的距离为(    )

A． B． C． D．

3．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

4．已知直线AB的方向向量为，平面的法向量为，给出下列命题：

①若则直线．

②若，则直线．

③记直线AB与平面所成角的为，则．

④若，，则点C到平面的距离．

其中真命题的个数是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．正四棱柱的底面边长为2，点E，F分别为，的中点，且已知与BF所成角的大小为60°，则直线与平面BCF之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

6．正三棱台中，，分别是和的中心，且，则（    ）

A．直线与所成的角为

B．平面与平面所成的角为

C．正三棱台的体积为

D．四棱锥与的体积之比为

7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则（    ）

A．平面PAC B．平面EFC

C．点F到直线CD的距离为 D．点A到平面EFC的距离为

8．如图，点是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（    ）

A．点存在无数个位置满足

B．若正方体的棱长为，三棱锥的体积最大值为

C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是

D．点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等

三、填空题

9．空间中到正方体棱，，距离相等的点有___________个.

10．我们知道用平面截正方体可以得到不同形状的截面，若棱长为的正方体被某平面截得的多边形为正六边形，以该正六边形为底，此正方体的顶点为顶点的棱锥的最大体积是___________.

11．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数（且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为___________；若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则点M到平面的距离的最小值为___________.

四、解答题

12．如图多面体中，四边形是菱形，平面，.

(1)证明：平面；

(2)在棱上有一点（不包括端点），使得平面与平面的夹角余弦值为，求点到平面的距离.

13．如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，，.

(1)求直线BD与平面ABC所成角的正弦值；

(2)求点E到平面BCD的距离.

14．如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且．

(1)求证：；

(2)求点到侧面的距离；

(3)在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

题组C  培优拔尖练

一、多选题

1．在平行六面体中，，，则（    ）

A． B．

C． D．点到平面的距离等于

二、解答题

2．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面平面ABCD，，，，，，E，H分别是棱AD，PB的中点.

(1)证明：平面PCE；

(2)若，求点P到平面的距离.

3．如图，在长方体中，，，E，F分别是CD，BC的中点．

(1)求证：平面；

(2)点P在平面上，若，求DP与所成角的余弦值．

4．如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．

(1)证明：平面平面；

(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点A到平面的距离．