苏教版 (2019)选择性必修第二册6.3空间向量的应用教学设计

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第二册6.3空间向量的应用教学设计，共6页。教案主要包含了新课导入，新知探究，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
教学目标
1.会用向量方法求两直线所成角.
2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角.
3.理解二面角与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.
4.通过本节课的学习，培养学生数学运算能力以及直观想象的核心素养．
教学重难点
教学重点：空间向量夹角公式及其坐标表示；选择恰当方法求夹角．．
教学难点：两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角之间的区别；构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标．
教学过程
一、新课导入
情境：我们都知道，空间两条异面直线所成的角可以转化为两条相交直线所成的锐角和直角.如何用向量的方法来求异面直线所成角呢？
二、新知探究
问题1：如图，设两条异面直线AB与CD所成角为θ，则与θ有何关系？ 与θ有何关系？
答：COSθ=|COS|
定义概念
空间向量法求异面直线所成角:
设空间两异面直线l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u,v，则两条异面直线所成角θ就是它们的方向向量所成角或其补角，
即csθ=|cs|=u·vuv
三、应用举例
例1 如图6-3-6,在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E1,F1分别在A1B1，C1D1上，且E1B1 =14A1B1, F1D1 =14C1D1,求BE1与DF1所成的角的大小.
解: 解:设 DD1=4a, D1F1=b,则 | a | = | b | , a 丄 b.
因为BB1=DD1=4a, B1E1=−b,
所以DF1=DD1+D1F1=4a+b,BE1=BB1+B1E1=4a−b,
故|DF1|2=|BE1|2=(4a)2+b2=17a2,
DF1∙BE1=(4a+b)∙(4a−b)=16a2−b2=15a2
由cs=BE1∙ DF1|BE1||DF1|=1517，
可得异面直线BE1与DF1所成的角约为28.07°
归纳总结：运用空间向量坐标运算求异面直线所成角的一般步骤：
(1)建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求两异面直线的方向向量u,v；
(3)设异面直线所成角为θ，则csθ=|cs|=u·vuv；
情境：我们都知道，斜线与平面所成的角是指斜线与它在平面内的射影所成的锐角.如何用向量的方法来求直线与平面所成角呢？
问题2：设直线AB与平面所成角为θ，平面α的法向量为n，则与θ有何关系？与θ有何关系？
答：sinθ=|cs|
定义概念
空间向量法求直线与平面所成角:
直线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角时，直线与平面所成角与这个夹角互余；直线的方向向量与平面的法向量的夹角为钝角时，直线与平面所成角与这个夹角的补角互余，
即sinθ=|cs|=AB'·nAB'n
例2 在正方体ABCD−A1B1C1D1中,F是BC的中点，点E1在D1C1上，且D1E1 =14D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小.
解：不妨设正方体的棱长为1,以｛DA，DC, DD1｝为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz,则B1(1, 1, 1), E1(0, 14 ,1), F(12, 1, 0),
所以 DB1 = (1, 1, 1), E1F= (12, 34,−1).
DB1 ∙E1F=1×12+1× 34+1×(−1)=14
|DB1|∙|E1F|=3×14+916+1=8787,
从而可得θ≈83.85°,
因为E1F是直线E1F的方向向量，DB1是平面D1AC的法向量, 所以E1F与平面D1AC所成角是θ的余角，大小约为6.15°.
归纳总结：运用空间向量坐标运算求直线与平面夹角的一般步骤:
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的方向向量u.
(3)求平面的法向量n.
(4)设线面角为θ，则sinθ=|cs|=u·nun.
情境：我们都知道，我们都知道，两个平面所成角即二面角是用二面角的平面角来度量.如何用向量的方法来求两个平面所成角(即二面角)呢？
问题3：设二面角的平面角为θ，两平面的法向量为n1，n2，则与θ有何关系？
答：θ=,或 θ=π−
定义概念
空间向量法求两个平面所成角(即二面角):
两个平面的法向量的夹角与两个平面所成角(即二面角)相等或互补，
即θ=,或θ=π−
例3 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，求二面角A1−BD−C1的大小.
解: 不不妨设正方体的棱长为1,以｛DA，DC, DD1｝为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz,则
所以 DB = (1, 1, 0), DC1= (0, 1,1).
设平面C1BD的法向量为n1=(x,y,z),
则n1∙DB = 0, n1∙DC1=0，
即x+y=0,y+z=0,令x=1,则y=−1,z=1.
所以n1=(1,−1,1)是平面C1BD的一个法向量.
同理,n2=(−1,1,1)是平面A1BD的一个法向量.
因为|n1|=3,|n2|=3,n1∙n2=−1−1+1=1,
所以COS=n1∙n2|n1||n2|=−13 .
由此可知向量n1和n2的夹角约为109.47°.
所求二面角的平面角与这个夹角相等或互补.根据图形可知，二面角A1−BD−C1的大小约为70.53°
归纳总结：运用空间向量坐标运算求二面角的基本步骤:
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求两平面的法向量n1,n2.
(3)设二面角为θ，则θ=,或θ=π−.
设计意图：从学生的认知出发，通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出等差数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。
四、课堂练习
1. 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，则直线AM和CN所成角的余弦值是 .
2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明:AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
3. 如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝π2. D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2.
(1)证明:DE⊥平面PCD;
(2)求二面角A－PD－C的余弦值.
参考答案：
1. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)， C(0,1,0).
∴M(1,12,1)，N(1,1,12).
故AM＝(0,12,1)，CN＝(1,0,12).
设AM和CN所成的角为θ，
则cs θ＝AM·CN|AM||CN|＝1252×52＝25.
2. 解：(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，
所以AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由(1)知，OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，
所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直.
以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，OA为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
由题设知A(1,0,0)，A1(0,3,0)，C(0,0,3)，B(－1,0,0).
则BC＝(1,0,3)，BB1＝AA1＝(－1,3,0)，A1C＝(0,－3,3)，
设平面BB1C1C的法向量为n＝(x,y,z)，
则有n·BC＝0，n·BB1＝0，即x＋3z＝0，－x＋3y＝0.
令x＝3，得n＝(3,1,－1).
故cs＝n·A1CnA1C＝－105.
所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为105.
3. 解：(1)∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，
∴PC⊥DE.
∵CE＝2，CD＝DE＝2
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD⊥DE.
又PC∩CD＝C，
∴DE⊥平面PCD.
(2)由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝π4.如图，过点D作DF垂直CE于点F，易知DF＝FC＝FE＝1.又已知EB＝1，故FB＝2.由∠ACB＝π2得DF∥AC.DFAC＝FBBC＝23，故AC＝32DF＝32.
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标
系，则C(0,0,0)，P(0,0,3)，A(32,0,0)，E(0,2,0)，D(1,1,0)，
∴ED＝(1,－1,0)，DP＝(－1,－1,3)，DA＝(12,－1,0).
设平面PAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由n1·DP＝0，n1·DA＝0，得－x1－y1＋3z1＝0，12x1－y1＝0，故可取n1＝(2,1,1).
由(1)可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为ED，即n2＝(1,－1,0)，
从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cs＝n1∙n2|n1||n2|＝36，
故所求二面角A－PD－C的余弦值为36.
五、课堂小结
运用空间向量坐标运算求空间里的角
1.求异面直线所成角：
(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求两异面直线的方向向量u,v；
(3)设异面直线所成角为θ，则csθ=|cs|=u·vuv .
2.求直线与平面夹角:
(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量u.(3)求平面的法向量n.
(4)设线面角为θ，则sinθ=|cs|=u·nun.
3.求二面角:
(1)建立空间直角坐标系.(2)求两平面的法向量n1,n2.
(3)设二面角为θ，则θ=,或θ=π−.
六、布置作业
教材第35页练习5、6.