6.3.4　空间距离的计算

哥特式建筑是一种兴盛于中世纪高峰与末期的建筑风格．它由罗曼式建筑发展而来，为文艺复兴建筑所继承．发源于十二世纪的法国，持续至十六世纪．哥特式建筑的特色包括尖形拱门、肋状拱顶与飞拱．

问题：在上述图片中，如何利用空间向量计算塔尖到房顶的斜面的距离呢？

知识点　空间的距离公式

1．平面外一点P到平面α的距离

P是平面α外一点，A是平面α内任意一点，n是平面α的法向量，则点P到α的距离d＝．

2．直线外一点P到直线l的距离

(1)n是与直线l垂直的向量，A是直线l上任意一点，那么直线l外一点P到直线l的距离d＝．

(2)A是直线l上任意一点，P是线l外一点，e是直线l的方向向量，记φ＝〈，e〉，则点P到直线l的距离d＝||sin φ．

1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　)

A．10    B．3    C．    D．

D　[由条件可得P(－2,1,4)到α的距离为＝＝．]

2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．

∴cos θ＝＝＝．

∴sin θ＝＝．

故点A到直线BE的距离d＝||sin θ＝2×＝．]

类型1　点到平面的距离

【例1】　在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2．

(1)求证：A1C∥平面AB1D；

(2)求点C1到平面AB1D的距离．

[解]　(1)证明：如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴、y轴，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系D­xyz，则D(0,0,0)，C(1,0,0)，B1(－1,0,2)，A1(0，，2)，A(0，，0)，C1(1,0,2)，＝(1，－，－2)，＝(－1，－，2)，＝(0，－，0)．

设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，则

即∴

令z＝1，则y＝0，x＝2，∴n＝(2,0,1)．

∵·n＝1×2＋(－)×0＋(－2)×1＝0，

∴⊥n．

∵A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．

(2)由(1)知平面AB1D的一个法向量为n＝(2,0,1)，且＝(－1，，－2)，

∴点C1到平面AB1D的距离d＝＝＝．

利用向量法求点到平面的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系．

(2)求出该平面的一个法向量．

(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量．

(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离．

1．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，求点B1到平面A1BC1的距离．

[解]　建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A1(4,0,3)，B1(4,6,3)，B(4,6,0)，C1(0,6,3)，＝(－4,6,0)，＝(0,6，－3)，＝(－4,0,3)，＝(0,6,0)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则

即取x＝1，解得n＝．

∴点B1到平面A1BC1的距离d＝＝．

类型2　点到直线的距离

[探究问题]

1．点P到直线l的距离是直线上的点到点P的最短距离吗？

[提示]　是．

2．求点P到直线l的距离有哪些方法？

[提示]　(1)利用与直线l的方向向量垂直的向量n，点P到直线l的距离为d＝．

(2)利用直线l的方向向量e，记φ＝〈，e〉，点P到直线l的距离d＝||sin φ．

【例2】　已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．

[解]　法一：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以＝(－4,3,0), ＝(4,0,1)．

设E满足＝λ，且BE⊥A1C1，

则＝＋＝(4,0,1)＋λ(－4,3,0)＝(4－4λ，3λ，1)，

又⊥，

∴(4－4λ，3λ，1)·(－4,3,0)＝0，∴λ＝．

∴＝，

∴||＝＝，

故点B到直线A1C1的距离为d＝＝．

法二：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以＝(－4,3,0), ＝(4,0,1)，

所以cos〈，〉 ＝＝－，

故点B到直线A1C1的距离为d＝||sin〈，〉＝×＝．

1．本例的条件不变，试求B到AC1的距离．

[解]　建系如本例解法，则＝(－4,3,1)，＝(4,0,0)，

设M满足＝λ且·＝0，

则＝＋＝(4,0,0)＋λ(－4,3,1)＝(4－4λ，3λ，λ)．

又·＝0，

∴(4－4λ，3λ，λ)·(－4,3,1)＝0，∴λ＝，

∴＝＝，

∴||＝＝，

∴B到AC1的距离为＝．

2．若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC­A1B1C1且所有棱长均为2”，如何求B到A1C1的距离．

[解]　以B为原点，分别以BA，过B垂直于BA的直线，BB1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A1(2,0,2)，C1(1，，2)，＝(2,0,2)，

所以A1C1的方向向量＝(－1，，0)，而＝(1，，2)，

设E满足＝λ且BE⊥A1C1，

＝＋＝(2,0,2)＋λ(－1，，0)＝(2－λ，λ，2)，

又⊥，

∴(2－λ，λ，2)·(－1，，0)＝0，

∴λ－2＋3λ＝0，

∴λ＝，

∴＝．

∴||＝＝，

∴B到A1C1的距离为＝．

用向量法求点到直线的距离的一般步骤

方法一：利用空间向量找垂线段，再求模即可．

方法二：(1)建立空间直角坐标系．

(2)求直线的方向向量．

(3)求和直线垂直的向量．

(4)利用点到直线的距离公式计算点到直线的距离．

类型3　线线距、线面距和面面距

【例3】　如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离．

[解]　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D­xyz，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，，1)，C(0，，0)．过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，

∴B(1,2，0)，∴＝(0,2，0)，＝(－1，－，1)．

设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)．

∵＝(0,0,2)，

∴点A1到平面ABE的距离d＝＝＝．

∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，

∴直线A1B1与平面ABE的距离为．

1求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.

2求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.

2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．

[解]　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，

＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,0,0)．

设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令z＝1，得y＝1，x＝－1，

∴n＝(－1,1,1)．

∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝．

∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于D1到平面A1BD的距离，

∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为．

1．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　)

A．    B．2    C．    D．

A　[法一：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，易知＝(－2,2,0)为平面B1D1DB的一个法向量．

又＝(2,0,0)，所以A1A到平面B1D1DB的距离为＝．

法二：由题意可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离．连接A1C1，交B1D1于O1(图略)，A1O1即为所求．由题意可得A1O1＝A1C1＝．]

2．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则有D1(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．因为O为A1C1的中点，所以O，＝，＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)．设平面ABC1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有即取n＝(1,0,1)，

∴O到平面ABC1D1的距离为：d＝＝＝．]

3．已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________．

　[因为＝(－2,0，－1)，又n与l垂直，所以点P到l的距离为＝＝．]

4．已知直线AB∥平面α，平面α的法向量为n＝(1,0,1)，平面α内一点C的坐标为(0,0,1)，直线AB上点A的坐标为(1,2,1)，则直线AB到平面α的距离为________．

　[由于直线与平面平行，故直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离，

又＝(1,2,0)，所以点A到平面α的距离为d＝＝＝．]

5．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若BB1＝AB＝2，则点C到直线AB1的距离为________．

　[取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，－1,0)，B1(，0,2)，C(0,1,0)，所以＝(，1,2)，＝(0，－2,0)．∴·＝－2，

∴在上的投影的长度为＝＝，

所以点C到直线AB1的距离d＝＝＝＝．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．求点面距与点线距的关键是什么？

[提示]　求点面距的关键是求出平面的法向量，求点线距的关键是找出与直线的方向向量垂直的向量．

2．线线距、线面距、面面距是如何转化求解的？

[提示]　线线距、线面距一般转化为点线距计算距离；面面距一般转化为点面距计算距离．