初一数学秋季讲义 第13讲 平行线的性质及判定
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猩猩最讨厌什么线？
定 义 | 示例剖析 |
平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“”表示． | ，等． |
平行线的性质：
两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补． | 若，则； 若，则； 若，则． |
平行线的判定：
同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行． | 若，则； 若，则； 若，则． |
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行． | 过直线外一点做，，则与重合． |
平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．
| 若，则． |
【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．以上都不对
⑵ 和是同旁内角，若，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D. 不能确定
⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ）
A．∵，∴
B．∵，∴
C．∵，∴
D．∵，∴
(北京三帆中学期中)
⑷ 如图，直线a∥b，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．50° B．40° C．150° D．130°
(北京101中期中)
⑸ 如图，直线，，为垂足，如果
，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
(北京八中期中)
⑹ 如图，直线，点在直线上，且，，则的度数为______
(北京八十中期中)
⑺ 如图，和互补，那么图中平行的直线有（ ）
A． B． C． D．
(北京十三分期中)
⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
(北京十三分期中)
⑼ 如图，直线，，，那么的度数是 ．
(北京一六一中期中)
⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么等于 ．
(北京一六一中期中)
【解析】 ⑴D； ⑵D ；⑶C ；⑷D ；⑸C ；⑹35°； ⑺D ；⑻D ；⑼56°； ⑽52°.
【铺垫】多选题：下列说法错误的有（ ）
A：不相交的两条直线是平行线．
B：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
C：三条直线、、．若，，则；同理，若，，则．
D：已知的两边与的两边平行，若，则．
E：若，，则．理由是等量代换．
F：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．
G：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．
【解析】 ABCDEF
【例2】 ⑴ 如图，,,请说明，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．
解：∵，
∴（ ）．
∵，
∴ （等量代换）．
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴（ ）．
（北京市海淀区期末）
⑵ 填空，完成下列说理过程.
如图，平分交于点，，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由.
解：∵平分，
∴∠3＝∠ （ ）
∵= °，且，
∴∠1＋∠2＝90°.
又∵∠1＋∠3＝90°，
∴∠2＝∠3. （ ）
∴∠2＝∠4.
（北京市朝阳区期末）
⑶ 如图,已知，，求度数．
解：∵（ ），
∴ （ ），
（ ）
又∵（ ）
∴ （ ）
（ ）
∴（ ）
∴ （ ）
【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°．
【解析】 ⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补；；；两直线平行，内错角相等
⑵ 4，角平分线定义，180，同角的余角相等
⑶ 已知；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；已知；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义．
【例3】 ⑴ 如图，已知直线， ，，则
的度数为 度．
⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的
条件： .
⑶ 如图，点在的延长线上，给出下列条件：
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；
⑥ ；⑦ .
能说明的条件有 .
⑷ 如图，直线分别与直线、相交于点、，
已知，平分交直线于点．
则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 ⑴ ∵，（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∴（对顶角相等）．
∵（已知），
∴（三角形内角和）．
⑵ （）等（答案不唯一）
⑶ ②④⑤； ⑷ A．
【例4】 ⑴ 已知：如图1，平分，，，求．
⑵ 已知：如图2，，和互余，于．求证：．
(北京八中期中)
图1 图2
【解析】 ⑴ ∵
∴
∵CD平分
∴
⑵ 证明：∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
又∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
∴（平角定义）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
【备选1】⑴如图1，一个宽度相等的纸条折叠一下，如果，则的度数是 .
⑵如图2，把一张四边形纸片沿对折，使点落在处，与相交于点，若，，，则 .
⑶如图3，直线、分别和、相交，若与互余，与的余角互补，， 那么 .
图1 图2 图3
⑷如右图，已知，，，，
则 .
【解析】 ⑴50°；⑵150°；⑶70°；⑷70°.
【备选2】已知，如图，于，于，．求证：.
【解析】 ，，∵
∴
∴（同旁内角互补，两直线平行）
【备选3】如图，已知、分别垂直于、，且，，求证：.
【解析】 ∵、分别垂直于、
∴
∴（两直线平行，同位角相等）
（垂直的定义）
∴
∴（内错角相等，两直线平行）
【备选4】如图，已知，，试判断与的大
小关系，并对结论进行证明．
【解析】 法一：∵，∴
∴，∴
∵，∴
∴，∴
法二：延长，找的同位角，证出，再找的内错角，证出即可．
【例5】 如图，已知：，直线分别交、于点、，
、分别平分、. 求证：．
从本题我能得到的结论是：
【解析】 ∵，∴
又∵、分别平分、
∴，∴
从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行.
引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行；
两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直.
【选讲】下列条件中，位置关系互相垂直的是（ ）
①对顶角的角平分线；②邻补角的平分线；③平行线的同位角的平分线；④平行线的内错角的平分线；⑤平行线的同旁内角的平分线.
A．①② B．③④ C．①⑤ D．②⑤
【解析】 D. 在同一条直线上的是①，位置关系是平行的是③④.
模 型 | 示例剖析 |
若，则 | |
若，则 | |
若，则 | |
若，则 |
【例6】 已知：如图,点为其内部任意一点，
求证：．
【解析】 过点作,
∵,（已知）
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
∵,（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵,（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴（等量代换）
【例7】 如图，已知，，，
求的度数．
【解析】 过点作．
∵且（已知）
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
∵且（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵且（已知）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∴
【拓展】如图所示，已知直线，直线和直线、交于、两点，在、之间有一点，如果点在、之间运动，问、、之间有怎样的关系？
这种关系是否发生变化？试着证明你的结论.
【解析】 . 关系不变.
提示：过点做直线.
【例8】 如图，已知，，
，求的度数．
【解析】 如图延长交直线于点
∵，（已知）
（对顶角相等）
∴（等量代换）
∴，（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴（等量代换）
∴，（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵，
∴
【点评】通过辅助线将相关角联系起来.
训练1. 已知的两边，分别与的两边，平行，问与有何关
系？证明你的结论．从这道题目中，你能得到怎样的结论？
【解析】 与相等或互补.
证明：根据同向与反向平行，可以分四种情况，如下图所示.
⑴ 若，分别与，，同向平行，如图(1)，则；
⑵ 若，分别与，，反向平行，如图(2)，则；
⑶若与同向平行，与反向平行，如图(3)，则，，；
⑷ 若与反向平行，与同向平行，如图(4)，得；
综上所述，当与两边分别对应平行时，与或者相等，或者互补.
从本题我能得到的结论是： 若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
训练2. 如图，,,,则 ．
【解析】 60°
训练3. 已知：如图，、被所截，平分，
平分，且．
证明：．
【解析】 ∵平分，平分（已知），
∴,（角平分线性质）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
∴．
即
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
训练4. 已知：如图，于点，于点，．
证明：平分．
【解析】 ∵且（已知）
∴（垂直于同一条直线的两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴平分.
题型一 平行线的定义、性质及判定 巩固练习
【练习1】 已知如图，，，与平行吗？为什么？
【解析】 ∵（已知），∴（内错角相等，两直线平行）
∵（已知），∴（同位角相等，两直线平行）
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
【练习2】 ⑴ 如图1，，，，则的度数是 ．
⑵ 如图2，直线与直线，相交．若，，则的度数是 ．
⑶ 如图3，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ⑴ ；⑵ ；⑶ C．
【练习3】 ⑴ 已知：如图1，，，，求证：．
(北京三帆中学期中)
证明：∵，（已知）
∴
∴ （ ）
又∵（已知）
∴ （ ）
∴ （ ）
∴（ ）
⑵ 如图2，，，．将求的过程填写完整．
(北京四中期中)
解：∵，
∴ （ ）
又∵
∴（ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
又∵
∴ ．
【解析】 ⑴；同旁内角互补，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；；；
平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．
⑵；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；;
两直线平行，同旁内角互补；110°．
【练习4】 如图，已知，平分，平分，
，求证：．
【解析】 ∵平分，平分，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，即
题型二 基本模型中平行线的证明 巩固练习
【练习5】 已知：如图，点为其内部任意一点，. 求证：.
【解析】 如图过点做,
∵
∴,
∵
∴
∴
又∵
∴
初一数学秋季讲义 第14讲 图形中的观察、归纳与猜想： 这是一份初一数学秋季讲义 第14讲 图形中的观察、归纳与猜想，共11页。
初一数学秋季讲义 第12讲 直线的相交： 这是一份初一数学秋季讲义 第12讲 直线的相交，共12页。
初一数学秋季讲义 第11讲 角的计算与证明： 这是一份初一数学秋季讲义 第11讲 角的计算与证明，共12页。
