初一数学秋季讲义 第10讲 直线、射线和线段

                 走捷径

平面几何是训练人们思维能力的最好方法之一，早在公元前四世纪，古希腊哲学家柏拉图曾在他设立的哲学科学院的大门上写着：“不懂几何的人不准入内”；二十世纪最伟大的科学家爱因斯坦说：如果几何不能激起你年轻的热情，那么你就不会成为一个科学家．”

在平面图形中我们接触最多的基本元素就是点和线，在几何图形中，点无大小，线无宽窄，他们都是抽象思维的产物，点与线有着密切的联系，点运动成线，线与线相交的地方也就是点，一条线确定了两个端点，线的长短也就确定了，从这个意义上讲，点是线的界线．

在线中，最简单常见的就是直线、射线、线段，它们是最基本的图形，它们的概念、性质及画图是今后研究由直线所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形）的基础．相关问题常涉及以下知识与方法：

1. 直线、射线与线段的区别与联系

2. 线段中点概念

3. 枚举法，分类讨论法

注意：有关直线、射线、线段的基础知识为暑期班讲解内容这里不再重复讲解，教师根据班级情况补充讲解，建议先练习学案1复习暑期班知识后再讲解例题.

【引例】       如图，在直线PQ上要找一点C，且使，则点C应在（    ）．

A．PQ之间找           B．在点P左边找                

C．在点Q右边找        D．在PQ之间或在点Q的右边找

【解析】       D．

【例1】         ⑴ 如图，已知点在线段上，线段，，点、分别是线段、 

的中点，求线段的长．

⑵ 对于①题，如果我们这样叙述它：已知点在直线上，线段，，点、分别是线段、的中点，求线段的长，结果如何？请画出示意图，并直接写出的长．

（丰台区期末）

【解析】       ⑴ 由点、分别是线段、的中点，得，，

所以；

⑵ 有两种情况符合题意：

①点在线段上，与⑴题相同，；

②点在线段延长线上，正确画出示意图（略），．

【例2】         阅读：在用尺规作线段等于线段时，小明的具体做法如下：

已知：如图，线段．     

求作：线段，使得线段．

作法：① 作射线；

② 在射线上截取．

∴线段为所求．

解决下列问题：

已知：如图，线段．  

⑴ 请你仿照小明的作法，在上图中的射线上作线段，使得；（不要求写作法和结论，保留作图痕迹）                

⑵ 在⑴的条件下，取的中点.若，求线段的长.（要求：第⑵问重新画图解答）

（海淀区期末）

【解析】       ⑴ ；

⑵ ∵为线段的中点，

∴. 

如图，点在线段的延长线上．

∵，

∴．

∴．

∴.

如图，点在线段上．

∵，

∴．

∴．

∴． 

综上所述，的长为1或．

【例3】         ⑴ 已知，，三点在同一直线上，线段，是线段的中点，且， 

则线段的长等于          .

⑵ 已知，，，四点共线，若，，，画出图形，求的长．

【解析】       ⑴ 或；

⑵ 情况：如图⑴．

情况：如图⑵．

情况：如图⑶．

情况：如图⑷．

【备选题】

【备选1】若点A、B、C在一条直线上，线段AB=8cm，AC=4cm，则线段BC的长为（    ）

A．12cm     B．4cm     C．12cm或4cm    D．从4cm到12cm中任意数

（昌平区期末）

【解析】       C．

【备选2】已知线段，是直线上一点，且 ，、分别是、的中 

点，则线段的长为          ．

（西城区期末）

【解析】       或．

【备选3】线段上有两点、，，，，求的长．

【解析】       情况1，如图⑴，；

情况2，如图⑵，．

【备选4】⑴如图，点C、D在线段AB上，点C为AB中点，若，，则

_______．

（朝阳区期末）

⑵如图，已知，是线段上的任意两点，是的中点，是的中点，若，，那么的长度为           ．

【解析】       ⑴ 3；⑵ 11cm．

【拓展】⑴若点C是线段AB上任意一点，且AC=a，BC=b，点M、N分别是AC、BC的中点，请直接写出线段MN的长度；（用a、b的代数式表示）

        ⑵在⑴中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．

【解析】   ⑴                                  

           ⑵线段MN的长度会变化．                      

             当点C在线段AB上时，由⑵知      

当点C在线段AB的延长线时，如图：

则AC=a＞BC=b

∵AC=a，点M是AC的中点

             ∴CM==

             ∵BC=b，点N是BC的中点

             ∴CN==

             ∴MN=CM－CN=                        

当点C在线段BA的延长线时，如图：

  则AC=a＜BC=b

             同理可求：CM==

                       CN==

             ∴MN=CN－CM=                        

             ∴综上所述，线段MN的长度会变化，，，

从简单情形入手，由简入繁，归纳发现规律，是解决计数问题的关键．

【例4】         当一条直线上有个点时，图中共有射线________条，线段_______条；

当一条直线上有个点时，图中共有射线________条，线段_______条；

当一条直线上有个点时，图中共有射线________条，线段_______条；

当一条直线上有个点时，图中共有射线________条，线段_______条；

……

当一条直线上有个点时，图中共有射线________条，线段_______条．

【解析】       ，；，；，；，；，．

【例5】         平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为多少个？最多为多少个？条直线两两相交最多有多少个交点？

【解析】       6条直线两两相交最少的交点个数是1个；最多有15个交点．

对于条直线两两相交交点最多的情况，我们不妨从简单情况入手，画图探索规律，

从中发现规律，平面内条直线两两相交最多有：个交点.

【例6】         条直线最多可将平面分成      部分；

条直线最多可将平面分成      部分；

条直线最多可将平面分成      部分；

条直线最多可将平面分成      部分；

条直线最多可将平面分成几部分？ 说明理由！

【解析】       我们仍可以从简单情况入手，画图探索规律：

条直线最多可将平面分成部分；

条直线最多可将平面分成部分；

条直线最多可将平面分成部分；

条直线最多可将平面分成部分；

发现规律，条直线最多可将平面分成：部分．

【拓展】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度．

【解析】       ．

通过简单的连线或画图可以轻松的解决一些实际问题.

【例7】         图解下列应用题．

⑴ 往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有      种不同的票价（来回票价一样、站与站之间距离不相等），需准备

       种车票．

⑵ 、、、、、六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出、、

、、五队已分别比赛了、、、、场球．则下列正确的是        ．（多选）

A．还有一个队没和队进行比赛

B．队与队进行了一样多的比赛

C．队、队、队这三队之间已经进行了两场比赛

D．后面还剩下六场比赛需要进行

【解析】       ⑴ 不同票价其实就是有多少条线段即为种；

来回票价一样，但票的起始站是不一样的，所以需种票．

⑵ 图解，．如右图

【备选1】在一次聚会开始时，6个客人都互相问了好，聚会结束时6个客人都互相握了手，那么，一共有多少次问好？有多少次握手？

【解析】30，15

【备选2】五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会，见面时握手致意问候．已知：a握了4次，b握了1

次，c握了3次，d握了2次．到目前为止，e握了（　　）次．

A．1             B．2               C．3                D．4

【解析】       B

【例8】         ⑴已知线段的长为10cm，是直线上一动点，是线段的中点，是线段的中点.

①若点恰好为线段上一点,则=     cm；

②猜想线段MN与线段AB长度的关系，即MN=________AB，并说明理由．

                                                                    (2011海淀区期末试题)

⑵如图所示，把一根绳子对折成线段，从点处把绳子剪断，已知，若剪断后的各段绳子中最长的一段为，求绳子的原长．

【解析】       ⑴①5；                                      ………………………………1分

②；                                     ………………………………2分

证明：∵M是线段AC的中点，∴

∵N是线段BC的中点，∴        ………………………………3分

以下分三种情况讨论（图略），

当C在线段AB上时，

；

………………………………4分

当C在线段AB的延长线上时，

； 

………………………………5分

当C在线段BA的延长线上时，

；

………………………………6分

综上：．

⑵设，则．

① 若是绳子的对折点，则最长一段为，

解得   ．

由，可得，

绳子的原长为

② 若是绳子的对折点，则最长一段为，解得

由，可得，．

绳子的原长为

综上，绳子的原长为或.

训练1.  ⑴ 把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（     ）

A．两点之间，射线最短     B．两点确定一条直线

C．两点之间，线段最短     D．两点之间，直线最短

⑵ 如图，已知点是线段的中点，点是的中点，那么下列结论中错误的是（     ）

A．           B．     

C.           D．

（海淀期末）

⑶ 如图，已知点C在线段AB的延长线上，，，点是AC的中点，求DB的长．

【解析】       ⑴ C；⑵ C；

⑶ ∵，，

∴

∵点D是AC的中点

∴

∴

训练2. 如图，已知线段上依次有三个点、、把线段分成四个部分，、、

、分别是，，，的中点，若，求的长度．

【解析】       设，，，，则，故，．

训练3. 如图，、、依次是线段上三点，已知，，则图中所有线段长度之和是多少？

【解析】       ．

训练4. 同一直线上有、、、四点，已知，且，求的长．

（人大附中期末，西城期末）

【解析】       依题意画出示意图如下：

如图，由可知，．由可知，．

又，故

如图，由可知，．由可知，．

又，故

如图，由可知，．由可知，．

又，故

如图，由可知，．由可知，．

又，故

【点评】       此题也可以把其中某个线段设为，其它线段都用表示出来列方程求解．

题型一  多种情况求线段长度问题  巩固练习

【练习1】   已知：如图，，点为线段上一点，点、分别为线段、的中点，，

求线段的长．

（海淀区期末）

【解析】       由是的中点可知，，同理可知，．

故，又，，故．

【练习2】   如图所示，把一根绳子对折成线段，从处把绳子剪断，已知，若剪断后

的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为           .

【解析】       40或80．

【练习3】   如图，线段，点是线段上一点，、分别是线段，的中点，小强据

此很轻松地求得．他在反思过程中突发奇想：若点运动到的延长线上时，原有的结论“”是否仍然成立？请你帮小强画出图形并说明理由．

【解析】       原有结论仍然成立．理由如下：当点在的延长线上时，如下图所示，

．

题型二  计数问题 巩固练习

【练习4】   过平面上的个点最多可画多少条直线？（）

【解析】       ．

方法一：经过平面内2个点最多可画1条直线；

经过平面内3个点最多可画条直线；

经过平面内4个点最多可画条直线；

经过平面内5个点最多可画条直线；

经过平面内6个点最多可画条直线；

经过平面内个点最多可画条直线．

方法二：每过一个点最多可画条直线，那么过个点可画条直线，但有重复，所以乘以. 综上：过平面上点最多可以画条直线．

题型三  图解应用题 巩固练习

【练习5】   如图是六名舞蹈演员设计的一种舞台造型，从三种不同的角度看，都  

有三名演员在同一条直线上，为了视觉更美观一些，设计人员只移动   

了一名演员的位置，就使得从四种不同的角度看，都有三名演员在一

条直线上．请你联想所学过的知识解决这个问题，画出你的设计方案．

（海淀区期末）

【解析】       解决方案如下图．