初一数学秋季讲义 第8讲 方程中的设元

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8
方程中的设元

满分晋级阶梯

方程6级
含参方程组

方程5级
复杂二元一次方程组

方程4级
方程中的设元

春季班第五讲
寒假班第三讲
秋季班第八讲








秋季班第八讲






漫画释义
多大酒量？

知识互联网







内容
类型
题中涉及的数量及公式
等量关系
注意事项
和、差问题

由题可知
弄清“倍数”及“多、少”等数量关系
行程
问题
相遇问题
路程=速度×时间
时间=路程÷速度
速度=路程÷时间
快者+慢者=原来的距离
注意始发时间和地点
追及问题
快者-慢者=原来的距离
调配问题

调配后的数量关系
流动的方向和数量
比例分配问题

全部数量=各种成分的数量之和
把一份设为
工程问题
工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作效率=工作量÷工作时间
每个工作量的和=工作总量
工作总量没有的情况下，可设为1
利润问题
利润率=利润÷进价×100%
利润=（售价-进价）×量
利用公式或利润与利润的关系
打几折就是百分之几十出售
行船问题
顺水速度=静水速度+水速
逆水速度=静水速度-水速



题型一：打折销售问题


思路导航


⑴ 打折，就是商品以原价为基础，按一定的比例降价出售，如一件衣服原价元，若以折销售，则实际售价为元，打折销售实际上是利润率问题．
⑵ 打折销售问题中几个基本量及其之间的关系：销售问题中的基本量有，进价元，售价元，利润元，利润率，这些量之间的关系为：，，等，根据这些公式列出等量关系，就可以解决此类问题.
⑶ 商品打折，是按指定价的销售，而不是把定价减少销售，另要注意，打折后用参与计算，而不是用参与计算．

典题精练


【例1】 ⑴ 某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为元，打七折售出后，仍可获利
”．你认为售货员应标在标签上的价格为　　　元．

⑵ 五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为元的商品，共节省元，则用贵宾卡又享受了 折优惠．

【解析】 ⑴ 设标签上的价格为元，依题意得，解得．
点评：利润=售价进价=进价利润率，售价=进价+利润=进价（1+利润率），
利润率=（利润进价）．
⑵ 设用贵宾卡又享受了折优惠，依题意得，解得．
【备选】已知：某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为．当售出的乙种商品的件数比售出的甲种商品的件数多时，这个商人得到的总利润率为．那么，当每件甲种商品的进价为元，求每件乙种商品的进价为多少元？ 提示：

【解析】 设每件乙种商品的进价为元，再设甲种商品售出件，
则乙售出件，依题意可得，解得．
答：每件乙种商品的进价为元．
【点评】 ⑴⑵为直接设元；⑶为辅助设元．
【拓展1】某商店销售一种运动衣，每套的进价为元，按进价的标价，再打八折销售；
（1）用含的代数式表示销售一套这种运动衣的利润
（2）当这种运动衣每套的进价为元时，销售一套可获得利润多少元？
（3）如果销售一套这种运动衣获利元，这种运动衣每套的进价是多少元？
【解析】（1）销售一套的利润为
（2）将进价代入，得
（3）若，则
【拓展2】某种商品的进价是每件1000元，标价是每件1500元，
（1）商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折售出此商品？
（2）为了在十一黄金周获取更多利润，老板决定写上“大酬宾，8折优惠”进行广告促销，为了使利润仍不低于5%，最低需多少元标价？
【解析】（1）设售货员最低可以打折售出此商品．


答：售货员最低可以打7折售出此商品．
（2）设最低需元标价．


答：最低需1312.5元标价．

题型二：工程与行程问题


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工程问题中涉及的基本量有：工作总量，工作效率，工作时间．他们之间的关系为：全部工作量=各部分工作量之和=1；工作量=工作效率工作时间，所以一般来说，工作效率是工作时间的倒数，如果某人完成某项任务需要h，那么他的工作效率为．
行程问题基本公式：路程速度时间
总路程平均速度总时间；
行程问题的基本类型：相遇追及、火车问题、流水行船等.

相遇追及问题：相遇路程 ＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间
＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间
＝速度和×相遇时间.
追及路程 ＝甲走的路程乙走的路程＝甲的速度×追及时间乙的速度×追及时间
＝（甲的速度乙的速度）×追及时间
＝速度差×追及时间.
流水行船问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速水速.
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；
水速=(顺水速度逆水速度)÷2.

例题精讲


【引例】 某项工作，甲单独干需用小时完成，乙单独干需要小时完成，若甲先单独干小时，乙又单独干小时，剩下的工作两人合作，再用几小时可以完成全部任务？

【解析】 设再用小时可以完成全部任务，根据题意列方程：
解得
答：再用4小时可以完成全部任务.
典题精练

【例2】 ⑴ 某船顺水航行小时，逆水航行小时，已知轮船在静水中的速度为千米/时，水流速度
为千米/时，轮船共航行 千米.
（北京西城期末）
⑵ 一个邮递员骑自行车要在规定时间内把特快专递送到某单位．他如果每小时行千米，
可以早到分钟，如果每小时行千米，就要迟到分钟，问规定的时间是多少小时？他去的单位有多远？
（北京崇文期末）
⑶ 一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了小时，已知此人在水平路上每小时走千米，上山每小时走千米，下山每小时走千米，则此人所走的全程是 千米．
（北京西城期末）
【解析】 ⑴；
⑵ 设规定的时间为小时．
由题意，得
解方程，得
则路程为（千米）
答：规定的时间是1.5小时，他去的单位有20千米远.
⑶ 由题意可知 解得： ∴千米．
【拓展】在某学校的“小红帽周”中，初一三班全体同学老师组队进行野外拓展，前往目的地的路上，队伍以1.4米/秒的速度前行，队尾班长因事要通知领队的班主任，于是以2.6米/秒的速度从队尾赶到队头并立即返回队尾，共用了10分50秒.问：队伍有多长？
【解析】 这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和也为队伍长.
如果设通讯员从末尾到排头用了秒，那么通讯员从排头返回排尾用了秒，
依题意得
解得，推知队伍长为（米）.

题型三：储蓄问题


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储蓄问题与我们日常生活密切相关，在这类问题中有本金、利息、利率、本息和、存款期限等基本量，顾客存入银行的钱称为本金，银行付给顾客的酬金称为利息，存入的时间称为期数，每个期数后利息与本金的比称为利率，通常用百分数表示．
储蓄问题中基本量之间的关系．

利息=本金利率期数
利率=
我国从1999年11月1起开始对储蓄存款利息征收个人所得税，即征收存款所产生利息的％，但教育储蓄和购买国库券不需缴纳利息税．

典题精练


【例3】 ⑴妈妈用10000元钱为小彬存了6年期的教育储蓄，6年后能取得11728元，这种储蓄的年利率为 .
⑵某银行设有年利率为的助学贷款（助学贷款利息的由国家财政补贴），预计年后
大学生小王能一次性偿还万元，问小王现在可向银行贷款多少万元？（精确到万元）

【解析】 ⑴设这种储蓄的年利率为．
则：
解得：
故填：．
⑵ 设小王可向银行贷款万元.
根据题意，得
解得
答：小王现可向银行贷款万元.
【点评】，

题型四：日历方程问题



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在日历同月份中，左右相邻的两个数字相差，上下相邻的两个数字相差7．

典题精练


【例4】 如图所示是2013年6月的日历表．
星期六
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30





请回答下列问题：
⑴ 若一竖列的三个数的和为，这三个数分别是多少？若和为，能求出这三天是几号
吗？为什么？
⑵ 若的矩形块的四个数的和为，求出这四个数．
⑶ 如果是的矩形块，九个数的和是，你能说出这九个数吗？你能发现九个数的和与中间的数的关系吗？为什么？
【解析】 ⑴ 设中间的一个数为，根据题意可列方程，解得因此这三天是号，号，号，若和为，则的解不是整数．
⑵ 这四个数依次为，，，，可列方程，解得，这四天分别是号，号，号，号．
⑶ 设最中间的数为，则，得，这九个数依次为，，，，，，，，．

题型五：图表题


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很多应用题通过图形或表格来表达题意，同时也有很多题目可以通过画图或列表来找出题中的等量关系．解决这类题的关键是仔细观察，然后结合信息灵活地进行联系、探索、发现和综合处理，结合相应的数学知识和模型加以解决．

例题精讲


【引例】 如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 ．

50g砝码
巧克力
果冻

【解析】 设一块巧克力的质量是克，则一个果冻的质量是克，得解得．

典题精练

【例5】 ⑴ 2004年4月我国铁路第5次大提速，假设K120次空调快速列车的平均速度提速后比提速前提高了44km/h，提速前的列车时刻表如下所示：
行驶区间
车次
起始时刻
到站时刻
历时
全程里程
A地~B地
K120
2：00
6:00
4h
264km
请你根据题目提供的信息填写提速后的列车时刻表，并写出计算过程．
行驶区间
车次
起始时刻
到站时刻
历时
全程里程
A地~B地
K120
2：00


264km

⑵ 某工厂计划招聘、两个工种的工人共人，、两个工种的工人月工资分别为元和元．若某工厂每月支付的工人工资为元，那么、两个工种的工人各招聘多少人?设招聘工种的工人人．根据题意完成下列表格，并列方程求解．
项目

工种
工人每月工资（元）
招聘人数
工厂应付
工人的月工资（元）










【解析】 ⑴ 设列车提速后行驶时间是小时，
根据题意得：
解得：
故到站时刻为:，历时小时分钟；

⑵ 如图，依题意得：，解得，故．

项目

工种
工人每月工资（元）
招聘人数
工厂应付
工人的月工资（元）









题型六：面积问题


思路导航


面积问题，通常会给出图形，观察图形找到等量关系，列出方程，进行求解．

例题精讲

【引例】 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为，求这个长方形色块图的面积．


【解析】 设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形和的边长为，由图可得，解得，长方形的面积为．
答：这个长方形的面积为．

典题精练

【例6】 如图，在长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，试根据图中所给数据求出阴影部分面积的和．






（北京西城期末）
【解析】 设小长方形的宽为，则小长方形的长为．
依题意，得
解得
小长方形的长为
所以阴影部分面积为
答：阴影部分面积为．
【点评】 间接设元.
【拓展1】（第4届希望杯）如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母）．试求满足上述条件的矩形的面积的最小值．


【解析】如图，已有三个小正方形的边长为，我们通过表示其余正方形的边长，分别是，，，，，，，，，．因矩形对边相等，有方程组：化简并解得，因为与互质，所以最小的自然数解为，此时．代入长宽表达式及得长宽分别为，，则面积为

【拓展2】图中的三角形都是等边三角形，三角形的边长是，三角形的边长是．问：所夹三角形的边长是多少?
　　　　　　
【解析】 如图，设相应的三角形的边长是和，则可知：
　标号为的三角形的边长是：
　标号为的三角形的边长是：
　标号为的三角形的边长是：
　最小的三角形的边长是：；
　标号为的三角形的边长是：
　　或
　　所以，
　　解上述方程，，可以得到三角形的边长是．

题型七：数字问题


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表示一个多位数，它可以表示为：
数字型应用题的常见解题思路是抓住数字间或新数、原数间的关系列方程，多以间接设元求解为宜．解题时要注意区分数字与数之间的区别．
例题精讲


【引例】 一个两位数，十位数字与个位数字的和是．这个两位数除以十位数字与个位数字的差，
所得的商是，余数是．求这个两位数．

【解析】 设这个两位数的十位数字是，则个位数字是，从而这个两位数可以表示为，依题意得，解得，所以．
答：这个两位数为．

典题精练


【例7】 一个六位数的倍等于，求这个六位数．
【解析】 设为，故，，依题意得，解得，即这个六位数为．当然直接设这个六位数为也可以，大同小异．
【点评】 此题运用整体设元方法.一般地
（ 表示位数，、、…、表示它的各位数字）．

题型八：方案选择问题



思路导航


对于方案选择问题，通常根据具体情况，列出方程，进行求解，最后进行最优方案的选择．
典题精练


【例8】 某商场计划拨款千元从厂家购进台随身听，已知该厂家生产三种不同型号的随身
听，出厂价和商场的销售利润如下表：（单位：元/台）
型号
甲
乙
丙
出厂价



销售利润



⑴ 若商场用千元同时购进两种不同型号的随身听台，请你研究一下商场的进货方案；
⑵ 在同时购进两种不同型号随身听的进货方案中，为使销售利润最多，选择哪种进货方案？

【解析】 ⑴ 如果购进甲、乙两种型号，设购进甲型号台，购进乙型号台，则有
，解得
如果购进乙、丙两种型号，设购进乙型号台，购进丙型号台，则有
，解得（不合题意，舍!）
如果购进甲、丙两种型号，设购进甲型号台，购进丙型号台，则有
，解得
综上可知，商场的进货方案有以下两种：
购进甲、乙两种型号的随身听各台或购进台甲型号、台丙型号随身听．
⑵ 若购进甲、乙两种型号的随身听各台，则总利润为：元；
若购进甲型号台、丙型号台，则总利润为：元．
为使利润最多，应该选择购进甲型号台、丙型号台．

【备选题】

【备选1】调配问题：油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的的圆形铁片和长 方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套. 生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？

【解析】 设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为人，可列方程
.
解得：x=24.
则42-x=18.
答：生产圆形铁片的有24人，生产长方形铁片的有18人.

【备选2】配套问题：一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，已知1立方米木料可以制作方桌面50个或制作桌腿300条，现有5立方米木料，请你设计一下，用多少木料做桌面，多少木料做桌腿才能使桌面与桌腿恰好配套？配套成功的方桌是多少张？
【解析】 设用立方米木料做桌面，则用立方米木料做桌腿，根据题意得

解得
方桌：（张）
答：用3立方米木料做桌面才能配套，配套成功的方桌是150张.
【备选3】图形问题：有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm．最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等．

（1）直接写出其余四个圆的直径长；
（2）求相邻两圆的间距．
【解析】 （1）
（2）
解得
【备选4】行程问题：、两地相距31千米，甲从地骑自行车去地，1小时后乙骑摩托车也从 地去地.已知甲每小时12千米，乙每小时行28千米，（1）问乙出发后多少小时追上甲；（2）若乙到达地后立即返回，则在返回路上与甲相遇时距乙出发多长时间？
【解析】 （1）设乙出发后小时追上甲，根据题意得

解得
（2）设与甲相遇时距乙出发小时，根据题意得

解得
答：（1）乙出发后小时追上甲；（2）在返回路上与甲相遇时距乙出发小时.


【备选5】某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加．如果开放一个检票口，则要分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口，则分钟队伍就消失．设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟就消失？

【解析】 设检票开始时，等侯检票的队伍有人，每个检票口每分钟检票人，队伍每分钟增加人，则，，消去，得，，故同时开放三个检票，等候检票的队伍消失的时间是：（分钟）

【备选6】某学校在援助边远山区学校活动中，原计划赠书3000册，由于学生的积极响应，实际赠书3780册，其中初中部比原计划多赠了30%，高中部比原计划多赠了20%，问该校初、高中部原计划各赠书多少册？
（北京丰台期末）
【解析】 设原计划初中部赠书册，则高中部原计划赠书册，
根据题意，得
解得：
．
答：该校初中部原计划赠书1800册，高中部原计划赠书1200册．

【备选7】方案问题：某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机，已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台1500元，种每台2100元，种每台2500元.
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案.
（2）若商场销售一台种电视机可获利150元，销售一台种电视机可获利200元，销售一台种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视方案中，为了使销售获利最多，你选择哪种方案？

【解析】 （1）A,B：
解得
A 25台，B 25台。
B,C：
解得 （不合题意舍去）
A,C：
解得
A 35台，C 15台。
（2）方案一：（元）
方案二：（元）

思维拓展训练（选讲）



训练1.“福兴100型逐行扫描”DVD机的进价是1100元，“千佳”商场的标价能使其利润率高达30%，在一年一度的新年让利促销活动期间，“千佳”将DVD机的利润率下调至10%，请问在宣传广告上应注明对原标价打多少折？（结果保留两个有效数字）
（首师大附中期中）
【解析】 解：设应在广告上注明对原价打折，
根据题意得：（）（）
解得
故应打八五折

训练2. 一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，比百位上的数字小1，且三个数字之和的50倍比这个三位数小2，求这个三位数.

【解析】 设个位上的数字为，十位上的数字为，百位上的数字为，得方程为：
解得：
∴当时，，
这个三位数是．

训练3. 某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
① 西装和领带都按定价的90％付款；
② 买一套西装送一条领带.
现某客户要到该服装厂购买套西装()，领带条数是西装套数的4倍多5．
⑴若该客户按方案①购买，需付款________________元. (用含的代数式表示)
⑵若该客户按方案②购买，需付款____________元．(用含的代数式表示)
若=10，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算?
（实验中学期中）
【解析】 ⑴ ；
⑵ ；
当时，，，
所以按第二种方案购买较为合算．

训练4. 有甲、乙两支同样长的蜡烛，甲支蜡烛可使用小时，乙支蜡烛可使用小时．两支蜡烛同时开点，问几小时后乙支蜡烛的长度是甲支蜡烛长度的一半？

【解析】 设小时后乙支蜡烛的长度是甲支蜡烛长度的一半，依题意得
，解得．
答：小时后乙支蜡烛的长度是甲支蜡烛长度的一半．
【点评】把蜡烛的长度看为，简化了过程．





复习巩固




题型一 打折销售问题 巩固练习
【练习1】 天虹商场将某种商品按成本价提高50%后标价出售，元旦期间，为答谢新老顾客对商场的光顾，商场打八折销售，售价为336元，试问这种商品的成本是多少元？
【解析】设这种商品的成本是元．


答：这种商品的成本是280元．

题型二 工程与行程问题 巩固练习
【练习2】 京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，当时预计高速列车在北京、天津间单程直达运
行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？
（北京中考）
【解析】 解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时千米．
依题意，得．
解得．
答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时千米．

题型三 储蓄问题 巩固练习
【练习3】 某企业存入银行甲、乙两种不同性质和用途的款项共万元，甲种存款的年利率为%，
乙种存款的年利率为%，上缴国家的利息税率为%，该企业一年共获利息元，求甲、乙两种存款各为多少万元．
【解析】 设甲种存款为万元，则乙种存款为万元，
根据题意得：%+%
解得，所以甲种存款为万元，乙种存款为万元．

题型四 日历方程问题 巩固练习

【练习4】 如图，在日历中用十字形框圈的5个数中，若中间一个数为，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】 ，选A．


题型六 面积问题 巩固练习
【练习5】 三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形，其中，，设
．
（1）用含的代数式表示　　　　，　　　　．
（2）若，求的值．
（3）求长方形的面积．

【解析】（1）；
（2），解得
（3）

题型七 数字问题 巩固练习
【练习6】 一个四位数的首位数字是，如果将首位上的数字移到个位数字的右边，变成一个新的四
位数，那么所得到的新四位数比原四位数的一半多，求原四位数．
【解析】 设原四位数的后三位数为，则原四位数为，新四位数为，
则
解得，
∴
第十三种品格：公平

世上没有白吃的苦

大漠上，某位王公有大量的马匹和羊群，一个牧童显然不够，于是他又找来两个穷人家的孩子。
主人安排瘦弱一点的那个孩子放羊，另一个强壮的孩子牧马。因为马的食量大得惊人，牧马要跑很远很远的路，而且马的性子又暴烈，牧马显然要比放羊艰难。可是，强壮的孩子命令瘦弱的孩子去牧马，瘦孩子本来一点也不情愿，可是，瞧瞧同伴健壮的身板和露出凶光的双眼，他只好答应。
回家后，满腹委屈的瘦孩子把事情对母亲讲了。身为宗教徒的母亲安慰说：“孩子，你可能从此要比同伴多吃一些苦。可是，一个人吃苦不会是无缘无故的，有的是在为今后的幸福付出。所以，你不要为吃苦而抱怨。”
懵懂的少年对母亲的说法一知半解，但想到现在吃苦是为了今后的幸福，他不再为自己的工作烦恼。
从此，他每天要跑近百里的路到草原牧马，为了看好马群他被马踩伤过、从马背上摔下、被暴雨淋湿、饿肚子都是家常便饭。与此同时，他的同伴只要将羊群赶到离住处不远的地方，就可以躺在草地上晒晒太阳或者睡大觉。就在这样艰辛的日子里，瘦孩子一天天健壮起来，骑马的技能也越来越炉火纯青。日子飞快流逝，牧马的孩子因为在马背上身手矫健，被主人相中做了护卫。再后来，他投身军旅，成为闻名一时的纵马驰骋的将军。瘦孩子早年吃的苦终于换来了好收成。他的放羊的同伴，到死都只是一个为主子做事的羊倌。
瘦孩子就是成吉思汗的御前虎将--哲别。
世上没有白吃的苦。每吃一份苦，你就为自己未来的成功和辉煌积攒了一点儿本钱。

今天我学到了