初一数学秋季讲义 第12讲 直线的相交

              相交还是…

平面内两条直线的位置关系：平行与相交

平行直线：  定义：在同一平面内，永不相交的两条线称为平行线．

相交直线：  定义：如果直线与直线只有一个公共点，则称直线与直线相                     交，为交点，其中一条是另一条的相交线．

相交线的性质：两直线相交只有一个交点．

对顶角：    一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做

对顶角．我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点

而没有公共边的两个角叫做对顶角．

如图中，和，和是对顶角．

对顶角的一个重要性质是：对顶角相等．

邻补角：    两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．

如图中，和，和，和，和互为邻补角．

注意：      互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角

【引例】       如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是______，的对顶角是          .

若，则_______，______，_______．

【解析】       和，，，，．

【例1】         ⑴ 如图1，直线两两相交，，求的度数．

⑵ 如图2，直线、交于点，且，求的度数．

⑶ 如图3，直线、、交于点，，，求的

对顶角和邻补角的度数．

⑷ 如图4，直线、交于，平分，，求的度

数．

【解析】       ⑴ ∵，，∴，∴，∴；

⑵ 由对顶角相等可知，，又，故

从而由、互为邻补角可知，；

⑶ 由对顶角相等可知，，故．

由、互为邻补角可知，

由对顶角相等可知，的对顶角；

⑷ 由、互为邻补角可知，．

又，故，．

由对顶角相等可知，．

又平分，故，又因为,所以,从而可知，．

【例2】         已知：如图所示，直线、、交于点，

，，求的度数．

【解析】       由对顶角相等可知，，

设，则，．

又，故，，故．

同位角：    两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（两个角分别在

  两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁）叫做同位角．

如图所示，与，与，与，与都是同位角．

内错角：    两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置

交错，（即分别在第三条直线的两旁），这样的一对角叫做内错角．

如图中，与，与都是内错角．

同旁内角：  两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角．如图中，与，与都是同旁内角．

【引例】       下列图形中和是同位角的是（    ）

A．        B．        C．        D．

（海淀区期末）

【解析】       B．

【例3】         ⑴ 如图1，

①与是两条直线     与     被第三条直线     所截构成的     角．

②与是两条直线     与     被第三条直线     所截构成的     角．

③与是两条直线     与     被第三条直线     所截构成的     角．

④与是两条直线     与     被第三条直线     所截构成的     角．

⑤与是两条直线     与     被第三条直线     所截构成的     角．

（清华附中统练）

⑵ 如图，图中与∠1成同位角的个数是（   ）

A．2        B．3       C．4       D．5

【解析】 ⑴ ①与是两条直线与被第三条直线所截构成的同位角；

②与是两条直线与被第三条直线所截构成的同位角；

③与是两条直线与被第三条直线所截构成的内错角；

④与是两条直线与被第三条直线所截构成的内错角；

⑤与是两条直线与被第三条直线所截构成的同旁内角；

⑵     B．

【备选】找出图中用数字表示的角中，所有的同位角、内错角和同旁内角，并指出它们分别是哪两

条直线被哪一条直线所截形成的．

【解析】 与是直线、被直线所截形成的同位角；

与是直线、被直线所截形成的内错角；

与是直线、被直线所截形成的同旁内角；

与是直线、被直线所截形成的同旁内角；

与是直线、被直线所截形成的同旁内角．

【例4】         ⑴ 如图1，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？

⑵ 如图2，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？

⑶ 如图3，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？

【解析】       ⑴ 图中，与是直线、被直线所截形成的同位角；与是直线、被直线所截成的内错角；与是直线、被直线所截成的同旁内角；

⑵ 图中，与是直线、被直线所截形成的内错角；

⑶ 图中，与是直线、被直线所截形成的同位角.

【点评】 三线八角的判定技巧：两条直线被第三条直线所截，所形成的三线八角中，究其实质，可简单概括为“、、”型．⑴“”型是找同位角的方法，即：如图，和就是一对同位角，现改变“”的方向，如图    等，各个图中与依然是同位角．⑵“”型是找内错角的方法，如图， 和就是一对内错角，改变“”的方向后，各个图中和还是内错角，如等．⑶“”型是找同旁内角的方法，如图，和就是一对同旁内角，改变“”的方向后，如 等，各个图中，和还是同旁内角．（仅作教学参考）

垂线：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条是另一条直线

的垂线，它们的交点为垂足．如图所示，可以记作“于”

性质1：在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线

垂直；简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

简单说成：垂线段最短．

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

【引例】       如图，直线与相交于，，，，求和的度数．

【解析】    ∵，，

∴（垂直定义）．

∴（对顶角相等）．

∵，∴（垂直定义）．

【例5】         ⑴ 如图1，已知．，垂足为，则点到直线的距离为线段      的 

长；线段的长为点     到直线     的距离．

⑵ 如图2，在直角三角形中，，，，，则

      ．

⑶ 如图，点P是直线外的一点，点A、B、C在直线上，且，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（　　）

A．线段PB的长是点P到直线的距离

B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短

C．线段AC的长是点A到直线PC的距离

D．线段PC的长是点C到直线PA的距离

【解析】       ⑴ ，，；⑵；⑶C．

【例6】         已知：如下图、、三点共线，为任意一条射线，平分，平分．求证：．

【解析】       ∵、、三点共线

∴

∵平分,平分

∴,

∴

=

==

又∵

∴

∴

【例7】         ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角.

⑵ 三条平行直线呢? 四条、五条呢?

⑶ 你发现了什么规律？

【解析】       ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有对同位角，对内错角，对同旁内角.

⑵ 当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角；

当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角；

当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角.

⑶ 当条线彼此平行时，被直线所截，即∥∥…∥，

则共有(，)、(，)、(，)、…(，)；(，)、(，)、…(，)、…、、共对平行线，每对平行线被所截，产生对同位角，对内错角，对同旁内角，则共有对同位角，对内错角，对同旁内角．

【铺垫】如下图，平行直线、与相交直线、相交，图中的同旁内角共有       对.

【解析】       图中有条线段，所以有对同旁内角．

训练1.  下列四个命题：

①如果两个角是对顶角，则这两个角相等．

②如果两个角相等，则这两个角是对顶角．

③如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等．

④如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角．其中正确的命题有 (    )

A．1个      B．2个      C．3个      D．4个

【解析】       B．

训练2.  用数码标出图中与是同位角的所有角．

【解析】 如图所示的同位角有，，，，，．

【点评】       的两条边所在的直线是、，若把看成是第三条直线，则有：

⑴截直线及，得的同位角为；

⑵截直线及，得的同位角为；

⑶截直线及，得的同位角为；

若把看成第三条直线，则有

⑷截直线及，得的同位角为；

⑸截直线及，得的同位角为；

⑹截直线及得的同位角为．

训练3.  若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有_________对同旁内角.

【解析】       共有12条线段，有24对同旁内角

训练4.  如图，为直线上的一点，、分别平分、，则图中互余的角有

      对.

【解析】       根据题意可得：，，，

所以互余的角有对：，，，．

题型一  两线四角 巩固练习

【练习1】   ⑴ 下列图中和是对顶角的有（    ）

    　　　　A．1对       B．0对      C．2对     D．3对

⑵ 下列四个图中，与成邻补角的是（    ）

A          B         C           D

⑶如右图所示，直线，相交于点，若，则  _____，____.

【解析】       ⑴B；⑵C；⑶∵，，∴，．

【练习2】   已知：如图，、交于点，平分，．

⑴ 写出图中所有的对顶角、邻补角；⑵ 求．

【解析】 ⑴ 对顶角：与、与

邻补角：与、与、与、  与、与、与．

⑵ ∵平分（已知），∴（角平分线的定义）

∵（已知），∴

∵（对顶角相等），∴．

【练习3】   如图，已知直线和相交于点，是直角，平

分．若，求的度数．

【解析】         ∵是直角，

∴．

又∵

∴．

∵平分，

∴．

∴．

∵，

∴．

题型二  三线八角 巩固练习

【练习4】   如图，判断下列各对角的位置关系：

⑴与；⑵与；⑶与；⑷与；⑸与.

【解析】       与是同位角，与是内错角，与是对顶角，与是同旁内角，与是内错角．

题型三  垂直的定义与表示 巩固练习

【练习5】   如图，直线、相交于点，是的平分线，若

，．判断把所分成的两个角的 

大小关系并证明你的结论．

【解析】      

证明：∵是直线上一点，∴，

∵，∴．

∵平分．

∴．

∵，∴

∴

∴．

∴

【练习6】   已知：如图、、共线，为任意一条射线，

平分,．求证：平分.

【解析】       ∵、、共线，

∴，

∴，

又∵平分，

∴

∴

即平分