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数学五年级下册七 解决问题的策略精品同步练习题
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这是一份数学五年级下册七 解决问题的策略精品同步练习题，共22页。试卷主要包含了用转化法解决特殊的计算问题等内容，欢迎下载使用。
第17讲 解决问题的策略（讲义）
（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）
1、用转化法解决求复杂图形周长和面积的问题。
把复杂的图形通过切割、拼接、平移、旋转等方法转化成简单规则的图形。
2、用转化法解决特殊的计算问题。
借助数形结合从不同的角度灵活地分析问题，使复杂的计算简单化。
1、在用转化的策略解决分数问题时，单位“1”是经常变动的，这时要按照单位“1”的确定方法，及时转变思路，准确定位单位“1”。
2、特殊计算问题数值较大或较多，表面看来非常复杂。如果利用数与数之间的联系，可以将一部分数据相互抵消，最后形成几个数值进行计算。
【易错一】根据，，那么
A． B． C．
【分析】分子是1，分母是连续自然数的两个分数相减，等于分子是1，分母两个连续自然数乘积的分数。即可求。
【解答】解：
故选：。
【点评】仔细观察，比较总结规律是解决本题的关键。
【易错二】如图，正方形的边长是10厘米，阴影部分的面积是 平方厘米。取
【分析】把图中两个半圆拼成一个圆，则阴影部分面积正方形的面积圆的面积，根据正方形面积公式：，圆的面积公式：，代入数据求解即可。
【解答】解：
（平方厘米）
答：阴影部分的面积是21.5平方厘米。
故答案为：21.5。
【点评】解决本题的关键在于能看出图中的两个半圆可以拼成一个圆。
【易错三】计算下图的面积（单位：厘米）。聪聪的算法是：。下面能表示聪聪的思考过程的图示是
A． B． C． D．
【分析】表示上底是7厘米，下底是12厘米，高是8的梯形的面积，表示底是10厘米，高是厘米的三角形，据此解答。
【解答】解：能表示聪聪的思考过程的图示是图。
故答案为：。
【点评】本题主要考查了组合图形的面积公式。
【易错四】按规律填空。，，， ， 。
【分析】观察前面三个算式可知，这些算式都是乘加混合运算，第一个乘数最高位上的数是1，且相邻数位上的数相差，第二个乘数是9；第一个乘数个位上的数与9的积的个位上的数是几，则减数就减几，最后所得的差的最后两位数字都是0，其它位上的数字都是1，1的个数等于9与减数的差，依此解答。
【解答】：解：，即。
，积的末尾是数字2，即。
故答案为：111100，2。
【点评】此题考查的是算式的规律，应先根据已知的算式找到规律后再解答。
【易错五】下边三个正方形的边长都是。求出图1中阴影部分的面积。你观察发现这三个图中阴影部分的面积有什么关系吗？
【分析】通过观察可知，三个图形中阴影部分的面积都等于正方形面积减去圆的面积。据此解答。
【解答】解：
（平方厘米）
答：三个图形中阴影部分的面积都是0.86平方厘米。
【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键利用正方形面积公式：、圆的面积公式：计算即可。
【易错六】在13世纪，欧洲人采用“双倍法”计算乘法。例如：
计算的过程是：
因为：
所以：
上面的计算过程可以用乘法分配律解释：
请用“双倍法”计算：
【分析】，把15看作，原式就变为，即可作答。
【解答】解：
【点评】此题主要考查了利用“双倍法”计算两位数乘法。
一、选择题
1．如图所示，涂色部分的面积是（ ）平方厘米。
A．18.84 B．9.42 C．28.26 D．18
2．下面三个正方形同样大，那么哪个图形的涂色部分面积大？（ ）
A．第一个图形 B．第二个图形 C．第三个图形 D．一样大
3．如果、、，则＝（ ）。
A．1234210 B．12343210 C．12345210
4．下面运用了“转化”思想方法的是（ ）
A．① B．②③ C．②③④ D．①②③④
5．下面运用了“转化”思想方法的是（ ）。
①求内角和 ②小数乘法 ③求面积
A．①② B．②③ C．①②③
6．找规律填数。11×11＝121，111×111＝12321，1111×1111＝1234321，11111×11111＝（ ）。
A．1234512345 B．123454321 C．12341234
7．观察下列式子：0.2＝123÷999，0.3＝237÷999，0.4＝45÷999，那么，0.5等于（ ）。
A．0.45÷999 B．4.5÷999 C．45÷999 D．450÷999
8．下图中长方形草坪长20米，宽16米，被4条2米宽的小路分成了9块，草坪的面积是（ ）平方米。
A．320 B．192 C．252
二、填空题
9．下图中阴影部分面积占正方形面积的。
10．运用转化策略可以把图下中阴影部分转化成( )形；图中阴影部分的面积是( )平方分米。
11．先找规律，再用规律填空。
99×1＝99 99×2＝198 99×3＝297
99×4＝396 99×5＝( ) 99×6＝( )
99×7＝( ) 99×8＝( ) 99×9＝( )
12．找规律再填空。5×9＝45，55×99＝5445，555×999＝554445，5555×9999＝( )。
13．列竖式计算4.8÷0.12时，把被除数和除数的小数点同时向_____，将原式转化成_____。
14．用火柴棒搭成如下图的三角形，按照上面的规律排下去：第五个图形一共有( )个小三角形组成；第n个图形一共有( )个小三角形组成。
15．观察下列式子：，，，……
请计算( )。
16．观察算式与图形之间的联系（见图），找规律填空。
（1）从1起，连续8个奇数的和是( )。
（2）从1起，连续n个奇数的和是( )。
三、解答题
17．如下图，李师傅从一张三角形铁皮上剪下三个扇形，将这三个扇形拼在一起，这三个扇形的面积和是多少平方厘米？
18．正方形的周长是32厘米，求阴影部分的面积。
19．观察下面的等式和相应的图形（每一个正方形的边长均为1），探究其中的规律：
①1×＝1－←→
②2×＝2－←→
③3×＝3－←→
④4×＝4－←→
（1）写出第5个等式，并在下面给出的5个正方形上画出与之对应的图形。
________←→
（2）猜想并写出与第100个图形相对应的等式。
20．如图所示：一块长方形草地，长20米，宽16米。中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形。铺草的部分面积有多大？
21．如图，一块长方形草坪，长60米，宽36米，中间有一条2米宽的小路（如图），这条小路的占地面积是多少平方米？周长是多少米？
22．王大伯有一块梯形的菜地（如图），菜地阴影部分的土地种西红柿，那么种西红柿的面积是多少公顷？如果这个菜地共收西红柿504吨，每公顷可以收西红柿多少吨？
23．先完成下面的计算，再探索规律，回答问题。
前2个奇数的和：（ ）
前3个奇数的和：（ ）
前4个奇数的和：（ ）
前5个奇数的和：（ ）
……
（1）前9个奇数的和是奇数还是偶数？前100个奇数的和是奇数还是偶数？请说明理由。
（2）在自然数中，按奇数从小到大的顺序，前n个奇数的和有什么规律？试着用这个规律求出前86个奇数的和。
24．利用九宫格里的数字，可以按一定的顺序写出不同的算式。观察每组算式的特点，并算出每个算式的和，看看你发现了什么？
你还能再写一组这样的算式吗？
25．找规律，并计算。
观察下列两组等式：
第一组：；；。
第二组：；；；。
回答下列问题：
（1）我发现的规律：两个分数的（ ）相同，并且等于分母之（ ），则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）根据这个规律计算：
①；
②若，则正整数m等于（ ）。
26．疫情防控期间，各学校都采取扫健康码、测量体温、错峰入校等措施保障学生安全上课。学生入校后按照指定路线直接到达教室，不聚集，不打闹。
（1）如图是某学校路牌标志，这个标志的面积是多少？
（2）如果每平方厘米的标志需要0.78千克的油漆，那么刷完这个标志牌（双面，厚度不计）需要多少千克的油漆？
27．先计算出前三题，再试着写出后两题的得数。
（1）12×8＋2＝ （2）123×8＋3＝
（3）1234×8＋4＝ （4）12345×8＋5＝
（5）123456×8＋6＝
你能照样子再编一道题，并写出得数吗？
参考答案
1．C
【分析】观察图形可知，图中涂色部分的面积等于大直角三角形的面积减去左下角空白部分的面积；左下角空白部分的面积等于正方形面积减去半径是6厘米的圆的面积；根据三角形、正方形和圆的面积计算公式即可解题。
【详解】左下角空白部分的面积：
6×6－3.14×62÷4
＝6×6－3.14×36÷4
＝36－113.04÷4
＝36－28.26
＝7.74（平方厘米）
涂色部分的面积：
（6＋6）×6÷2－7.74
＝12×6÷2－7.74
＝72÷2－7.74
＝36－7.74
＝28.26（平方厘米）
所以，涂色部分的面积是28.26平方厘米。
故答案为：C
【点睛】本题考查了用转化方法求涂色部分的面积，注意观察图形是由哪几个部分组成的。
2．D
【分析】根据题意，假设正方形的边长是1厘米；第一幅图涂色部分的面积＝半径是1厘米的圆的面积；第二幅图涂色部分的面积＝半径是（1÷2）厘米的圆的面积；第三幅图涂色部分的面积＝4个半径是（1÷4）厘米的圆的面积和；分别计算出各个图形中涂色部分的面积，再比较即可。
【详解】假设正方形的边长是1厘米；可得：
第一幅图涂色部分的面积：
3.14×12÷4
＝3.14×1÷4
＝3.14÷4
＝0.785（平方厘米）
第二幅图涂色部分的面积：
3.14×（1÷2）2
＝3.14×0.52
＝3.14×0.25
＝0.785（平方厘米）
第三幅图涂色部分的面积：
3.14×（1÷4）2×4
＝3.14×0.252×4
＝3.14×0.0625×4
＝0.19625×4
＝0.785（平方厘米）
0.785＝0.785＝0.785
所以，这个三个图中涂色部分的面积一样大。
故答案为：D
【点睛】解答本题的关键是周长每幅图中每个圆的半径与正方形边长之间的关系，由此根据圆的面积公式，求出各个图形中涂色部分的面积即可。
3．B
【分析】观察每组算式，两个因数每增加1个2和5，积就增加两位，并且积的位数等于两个因数的位数和。把积按位数从中间分开看，可以发现，前一半是从高位以1开始往低位递增，后一半从低位以0开始往高位递增。据此解答。
【详解】据分析：。
故答案为：B。
【点睛】能够根据已知算式总结出规律是解题的关键。
4．D
【分析】转化思想是数学学习中常用的数学思想，逐项分析，新内容是转化成了哪个已学内容即可。
【详解】①是将小数乘法转化为整数乘法；
②是将平行四边形面积转化为长方形面积；
③把异分母分数相加减转化为同分母分数进行计算；
④是将五边形内角和转化为三角形内角和。
故答案为：D
【点睛】转化的目的是不断发现问题，分析问题，最终解决问题。
5．C
【分析】将未知或难以解决的问题，选择恰当的方法进行变换，化归为已知知识内已经解决或容易解决的问题的方法，叫做转化思想方法。据此解答。
【详解】①求多边形的内角和时，转化为求几个三角形内角和，运用了“转化”思想方法；②小数乘法，转化为整数乘除法的计算，运用了“转化”思想方法；③求平行四边形的面积，转化为长方形面积的计算，运用了“转化”思想方法。
故答案为：C
【点睛】理解“转化”思想方法的意义是解题的关键。
6．B
【分析】根据给出的式子发现，相乘的积为对称数，即从数字1开始递增到最大数后，又递减到1，中间的数最大且等于因数中的1的个数，据此解答即可。
【详解】11×11＝121
111×111＝12321
1111×1111＝1234321
11111×11111＝123454321
故选：B。
【点睛】解答此题的关键是，根据所给出的数列，找出数与数的关系，找出规律，再根据规律解决问题。
7．D
【分析】观察已知三个算式，当除数是999时，将被除数小数点向左移动3位，然后在十分位和千分位的数字上加上循环符号，就是算式的商，据此反推。
【详解】观察已知三个算式，当除数是999时，将被除数小数点向左移动3位，然后在十分位和千分位的数字上加上循环符号，就是算式的商，
所以，已知商为0.5，将循环符号去掉，然后小数点向右移动三位就是被除数，即450，得到算式：0.5＝450÷999
故选：D。
【点睛】本题主要考查了“式”的规律，发现已知算式商和被除数之间的关系，是本题解题的关键。
8．B
【分析】由图可知，将小路平移，可得下图：
则实际草坪面积为图示右上角阴影部分，这部分是一个长方形，长20－4＝26（米），宽16－4＝12（米），代入面积公式计算即可。
【详解】（20－2×2）×（16－2×2）
＝（20－4）×（16－4）
＝16×12
＝192（平方米）
故答案为：B
【点睛】考查了巧用平移求面积的实际应用。此题有一定的难度，需要理解。
9．
【分析】如图：；左边阴影部分面积等于红色阴影部分面积，很容易看出，原来阴影部分的面积等于正方形面积的一半，据此解答即可。
【详解】由分析可得，阴影部分的面积等于正方形面积的一半，即阴影部分面积占正方形面积的。
【点睛】熟练掌握转化思想，将阴影部分转化成三角形是解题关键。
10． 三角 32
【分析】连接小阴影部分的两个端点，把小阴影部分分成相等的两个部分，这两部分与大阴影部分正好是底是8厘米，高是8厘米三角形的面积，阴影部分面积转化成三角形面积，再根据三角形面积公式：底×高÷2，求出阴影部分面积。
【详解】8×8÷2
＝64÷2
＝32（平方分米）
运用转化策略可以把图下中阴影部分转化成三角形；图中阴影部分面积是32平方分米。
【点睛】本题考查利用“转化”思想方法，把阴影部分转化成三角形，再进行解答。
11． 495 594 693 792 891
【分析】通过观察发现，两个因数中，第一个因数都是99，第二个因数依次多1，结果是9与第二个因数相乘中间是9即可。
【详解】因为：
99×1＝99
99×2＝198
99×3＝297
99×4＝396
所以：
99×5＝495
99×6＝594
99×7＝693
99×8＝792
99×9＝891
【点睛】此题考查了学生观察能力，以及分析问题、总结规律的能力。
12．55544445
【分析】每个算式的积都是由4和5组成，5的个数与乘数中5的个数相同，4的个数与乘数中9的个数相同，从第二个算式开始，5在前后，4在中间，积的末尾有一个5，其余的5在前面。据此即可解答。
【详解】5555×9999＝55544445
【点睛】本题主要考查学生的观察和分析问题的能力。
13． 右移动两位 480÷12
【分析】除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算；据此解题即可。
【详解】4.8÷0.12＝40
0.12的小数点向右移动两位是12，4.8的小数点向右移动两位是480。
所以，列竖式计算4.8÷0.12时，把被除数和除数的小数点同时向右移动两位，将原式转化成480÷12。
【点睛】熟练掌握除数是小数的除法计算方法，是解答此题的关键。
14． 25 n2
【分析】观察图形可知，第一个图中有1个三角形，可以写成12；第二个图形有1＋3＝4（个）三角形，可以写成22；第三个图形有1＋3＋5＝9（个）三角形，可以写成32；第四个图形中有1＋3＋5＋7＝16（个）三角形，可以写成42，……，第n个图形有n2个三角形。
【详解】根据分析可知：
第一个图中有1个三角形，即12；
第二个图形有1＋3＝4个三角形，即22
第三个图形有1＋3＋5＝9个三角形，即32；
……
所以第n个图形有n2个三角形。
当n＝5时，图中有三角形：52＝25（个）。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，找到图形与小三角形个数之间的关系是解本题的关键。
15．
【分析】将原式化为：（）＋（）＋（）＋……（－），再去括号简算即可。
【详解】
＝（）＋（）＋（）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）
＝＋＋＋－＋－＋－＋－＋－＋－
＝1－
＝
【点睛】本题主要考查的灵活应用。
16． 64 n2
【分析】利用第1、2、3个图形与算式之间的计算方法，可以看出从1开始连续奇数的和等于数的个数的平方，由此写出规律即可。
【详解】因为从1起，连续n个奇数的和是n2
所以（1）从1起，连续8个奇数的和是82＝64
（2）从1起，连续n个奇数的和是n2
【点睛】此题主要考查了图形的变化规律，根据已知图形规律得出数字的变化规律是解题关键。
17．39.25平方厘米
【分析】观察图形可知，将三个扇形拼在一起，是一个半圆，根据圆的面积公式：，求出半径是5厘米的圆的面积，再除以2即可。
【详解】将三个扇形拼在一起，是一个半圆，可得：
3.14×52÷2
＝3.14×25÷2
＝78.5÷2
＝39.25（平方厘米）
答：这三个扇形的面积是39.25平方厘米。
【点睛】熟记圆的面积计算公式，是解答此题是关键。
18．32平方厘米
【分析】
如图，用割补法将阴影部分转化为一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的面积就是正方形面积的一半，根据正方形的周长可以求出边长，进而求得阴影部分的面积。
【详解】32÷4＝8（厘米）
8×8÷2
＝64÷2
＝32（平方厘米）
答：阴影部分的面积是32平方厘米。
【点睛】此题考查阴影部分面积的求法，关键是利用割补法将不规则的图形转化为规则的图形。
19．（1）5×＝5－；作图见详解
（2）100×＝100－
【分析】观察可知，第几个等式对应第一个乘数和第二个乘数的分子就是几，分母是分子＋1；图形对应规律是第几个等式就将图形平均分成几份，分子是几涂几份。
【详解】（1）5×＝5－；
（2）100×＝100－
【点睛】在探索数与形结合的规律时，要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法来解决问题。
20．285平方米
【分析】求铺草的部分面积，就是求长为（20－1）米、宽为（16－1）米的长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。
【详解】（20－1）×（16－1）
＝19×15
＝285（平方米）
答：铺草的部分面积有285平方米。
【点睛】关键是将不规则图形转化为规则图形，然后根据规则图形的面积公式解答。
21．面积：188平方米；周长：192米
【分析】根据题意可知，这条小路的面积可分为两部分：横着的与竖着的，可以把竖着的往右拼。横着的往上拼，横着的接起来是一个长为60米，宽为2米的长方形，竖着的接起来是一个长为（36－2）米，宽为2米的长方形，根据长方形的面积公式：长×宽，代入数据，求出这两个长方形面积，再相加，即可求出这条小路的占地面积；这条小路的周长等于长是60米，宽是36米长方形的周长，根据长方形周长公式：（长＋宽）×2，代入数据，即可解答。
【详解】面积：60×2＋（36－2）×2
＝120＋34×2
＝120＋68
＝188（平方米）
周长：（60＋36）×2
＝96×2
＝192（米）
答：这条小路的面积是188平方米，周长是192米。
【点睛】利用等积变形、平移的知识把曲折的小路拉直，再根据长方形周长公式和面积公式进行解答。
22．240吨
【分析】观察图形可知，种西红柿的面积等于上底是120米，下底是280米，高是150米的梯形面积，减去底是120米，高是150米的三角形面积；根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出种西红柿面积，1公顷＝10000平方米，再把种西红柿面积单位平方米化成公顷，再用共收西红柿的质量÷种西红柿的面积，即可求出每公顷可以收西红柿的质量。
【详解】（120＋280）×150÷2－120×150÷2
＝400×150÷2－18000÷2
＝60000÷2－9000
＝30000－9000
＝21000（平方米）
21000平方米＝2.1公顷
504÷2.1＝240（吨）
答：每公顷可以收西红柿240吨。
【点睛】本题考查梯形面积公式、三角形面积公式的应用，以及单位名数的换算。
23．4；9；16；25
（1）奇数；偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方。
（2）前n个奇数的和为n2；7396
【分析】先直接计算出算式的结果；再观察规律；
（1）可得规律为：求前几个奇数的和等于个数的平方，前9个奇数的和是：9×9＝81；前100个奇数的和是：100×100＝10000；据此解答；
（2）前n个奇数的和的规律为：n2，将n＝86代入算式计算出结果即可。
【详解】前2个奇数的和：1＋3＝（4）
前3个奇数的和：1＋3＋5＝（9）
前4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝（16）
前5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝（25）
（1）前9个奇数的和是奇数；前100个奇数的和是偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方，9×9＝81，81是奇数；100×100＝10000，10000是偶数。
（2）前n个奇数的和的规律为：n2
当n＝86，86×86＝7396
【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够结合算式找出规律。
24．见详解
【分析】观察算式可知，每个算式中的三个两位数的十位上的数分别对应同一列上的3个数，个位上的数也分别对应同一列上的3个数，由于九宫格每行、每列上三个数的和相等，所以上面算式的结果也应相等，据此即可解答。
【详解】43＋95＋27
＝138＋27
＝165
72＋59＋34
＝131＋34
＝165
48＋91＋26
＝139＋26
＝165
62＋19＋84
＝81＋84
＝165
三个两位数十位上的数分别对应同一列上的3个数，个位上的数也分别对应同一列上的3个数，然后相加，结果都等于165；据此规律写出算式如下：
38＋51＋76＝165
67＋15＋83＝165
【点睛】找出算式的规律，本题主要考查学生的分析推理能力。
25．（1）分子，和
（2）①
②19
【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积；
（2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可；
②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。
【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）①
②
＝
＝
所以6＋m＝25
m＝19
【点睛】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
26．（1）350平方厘米；
（2）546千克
【分析】（1）观察图形可知，这个标志牌的面积等于一个长20厘米、宽10厘米的长方形的面积加上一个底20厘米、高15厘米的三角形的面积，根据长方形、三角形面积计算公式解题即可。
（2）根据题意，用这个标志牌的面积乘2，求出需要刷油漆的面积，再乘每平方厘米需要油漆的质量即可。
【详解】（1）20×10＋20×15÷2
＝200＋300÷2
＝200＋150
＝350（平方厘米）
答：这个标志的面积是350平方厘米。
（2）350×2×0.78
＝700×0.78
＝546（千克）
答：刷完这个标志牌（双面，厚度不计）需要546千克的油漆。
【点睛】熟记三角形、长方形面积计算公式，求出标志牌的面积，是解答此题的关键。
27．（1）98；（2）987
（3）9876；（4）98765
（5）987654
1234567×8＋7＝？； 9876543
【分析】观察算式可得：算式为一个乘法加上一个数，第一个乘数是由从1开始的连续自然数组成的，第二个乘数都是8，加上的数和第一个乘数的个位相同，所得的和从9开始依次递减，且位数与第一个乘数的位数相同。由此根据规律写出其结果即可。
【详解】（1）12×8＋2
＝96＋2
＝98
（2）123×8＋3
＝984＋3
＝987
（3）1234×8＋4
＝9872＋4
＝9876
（4）12345×8＋5＝98765
（5）123456×8＋6＝987654
根据规律可得：1234567×8＋7＝？
1234567×8＋7＝9876543
照样子再编一道题为：1234567×8＋7＝？得数是9876543。（答案不唯一）
【点睛】此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。
第17讲 解决问题的策略（讲义）
（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）
1、用转化法解决求复杂图形周长和面积的问题。
把复杂的图形通过切割、拼接、平移、旋转等方法转化成简单规则的图形。
2、用转化法解决特殊的计算问题。
借助数形结合从不同的角度灵活地分析问题，使复杂的计算简单化。
1、在用转化的策略解决分数问题时，单位“1”是经常变动的，这时要按照单位“1”的确定方法，及时转变思路，准确定位单位“1”。
2、特殊计算问题数值较大或较多，表面看来非常复杂。如果利用数与数之间的联系，可以将一部分数据相互抵消，最后形成几个数值进行计算。
【易错一】根据，，那么
A． B． C．
【分析】分子是1，分母是连续自然数的两个分数相减，等于分子是1，分母两个连续自然数乘积的分数。即可求。
【解答】解：
故选：。
【点评】仔细观察，比较总结规律是解决本题的关键。
【易错二】如图，正方形的边长是10厘米，阴影部分的面积是 平方厘米。取
【分析】把图中两个半圆拼成一个圆，则阴影部分面积正方形的面积圆的面积，根据正方形面积公式：，圆的面积公式：，代入数据求解即可。
【解答】解：
（平方厘米）
答：阴影部分的面积是21.5平方厘米。
故答案为：21.5。
【点评】解决本题的关键在于能看出图中的两个半圆可以拼成一个圆。
【易错三】计算下图的面积（单位：厘米）。聪聪的算法是：。下面能表示聪聪的思考过程的图示是
A． B． C． D．
【分析】表示上底是7厘米，下底是12厘米，高是8的梯形的面积，表示底是10厘米，高是厘米的三角形，据此解答。
【解答】解：能表示聪聪的思考过程的图示是图。
故答案为：。
【点评】本题主要考查了组合图形的面积公式。
【易错四】按规律填空。，，， ， 。
【分析】观察前面三个算式可知，这些算式都是乘加混合运算，第一个乘数最高位上的数是1，且相邻数位上的数相差，第二个乘数是9；第一个乘数个位上的数与9的积的个位上的数是几，则减数就减几，最后所得的差的最后两位数字都是0，其它位上的数字都是1，1的个数等于9与减数的差，依此解答。
【解答】：解：，即。
，积的末尾是数字2，即。
故答案为：111100，2。
【点评】此题考查的是算式的规律，应先根据已知的算式找到规律后再解答。
【易错五】下边三个正方形的边长都是。求出图1中阴影部分的面积。你观察发现这三个图中阴影部分的面积有什么关系吗？
【分析】通过观察可知，三个图形中阴影部分的面积都等于正方形面积减去圆的面积。据此解答。
【解答】解：
（平方厘米）
答：三个图形中阴影部分的面积都是0.86平方厘米。
【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键利用正方形面积公式：、圆的面积公式：计算即可。
【易错六】在13世纪，欧洲人采用“双倍法”计算乘法。例如：
计算的过程是：
因为：
所以：
上面的计算过程可以用乘法分配律解释：
请用“双倍法”计算：
【分析】，把15看作，原式就变为，即可作答。
【解答】解：
【点评】此题主要考查了利用“双倍法”计算两位数乘法。
一、选择题
1．如图所示，涂色部分的面积是（ ）平方厘米。
A．18.84 B．9.42 C．28.26 D．18
2．下面三个正方形同样大，那么哪个图形的涂色部分面积大？（ ）
A．第一个图形 B．第二个图形 C．第三个图形 D．一样大
3．如果、、，则＝（ ）。
A．1234210 B．12343210 C．12345210
4．下面运用了“转化”思想方法的是（ ）
A．① B．②③ C．②③④ D．①②③④
5．下面运用了“转化”思想方法的是（ ）。
①求内角和 ②小数乘法 ③求面积
A．①② B．②③ C．①②③
6．找规律填数。11×11＝121，111×111＝12321，1111×1111＝1234321，11111×11111＝（ ）。
A．1234512345 B．123454321 C．12341234
7．观察下列式子：0.2＝123÷999，0.3＝237÷999，0.4＝45÷999，那么，0.5等于（ ）。
A．0.45÷999 B．4.5÷999 C．45÷999 D．450÷999
8．下图中长方形草坪长20米，宽16米，被4条2米宽的小路分成了9块，草坪的面积是（ ）平方米。
A．320 B．192 C．252
二、填空题
9．下图中阴影部分面积占正方形面积的。
10．运用转化策略可以把图下中阴影部分转化成( )形；图中阴影部分的面积是( )平方分米。
11．先找规律，再用规律填空。
99×1＝99 99×2＝198 99×3＝297
99×4＝396 99×5＝( ) 99×6＝( )
99×7＝( ) 99×8＝( ) 99×9＝( )
12．找规律再填空。5×9＝45，55×99＝5445，555×999＝554445，5555×9999＝( )。
13．列竖式计算4.8÷0.12时，把被除数和除数的小数点同时向_____，将原式转化成_____。
14．用火柴棒搭成如下图的三角形，按照上面的规律排下去：第五个图形一共有( )个小三角形组成；第n个图形一共有( )个小三角形组成。
15．观察下列式子：，，，……
请计算( )。
16．观察算式与图形之间的联系（见图），找规律填空。
（1）从1起，连续8个奇数的和是( )。
（2）从1起，连续n个奇数的和是( )。
三、解答题
17．如下图，李师傅从一张三角形铁皮上剪下三个扇形，将这三个扇形拼在一起，这三个扇形的面积和是多少平方厘米？
18．正方形的周长是32厘米，求阴影部分的面积。
19．观察下面的等式和相应的图形（每一个正方形的边长均为1），探究其中的规律：
①1×＝1－←→
②2×＝2－←→
③3×＝3－←→
④4×＝4－←→
（1）写出第5个等式，并在下面给出的5个正方形上画出与之对应的图形。
________←→
（2）猜想并写出与第100个图形相对应的等式。
20．如图所示：一块长方形草地，长20米，宽16米。中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形。铺草的部分面积有多大？
21．如图，一块长方形草坪，长60米，宽36米，中间有一条2米宽的小路（如图），这条小路的占地面积是多少平方米？周长是多少米？
22．王大伯有一块梯形的菜地（如图），菜地阴影部分的土地种西红柿，那么种西红柿的面积是多少公顷？如果这个菜地共收西红柿504吨，每公顷可以收西红柿多少吨？
23．先完成下面的计算，再探索规律，回答问题。
前2个奇数的和：（ ）
前3个奇数的和：（ ）
前4个奇数的和：（ ）
前5个奇数的和：（ ）
……
（1）前9个奇数的和是奇数还是偶数？前100个奇数的和是奇数还是偶数？请说明理由。
（2）在自然数中，按奇数从小到大的顺序，前n个奇数的和有什么规律？试着用这个规律求出前86个奇数的和。
24．利用九宫格里的数字，可以按一定的顺序写出不同的算式。观察每组算式的特点，并算出每个算式的和，看看你发现了什么？
你还能再写一组这样的算式吗？
25．找规律，并计算。
观察下列两组等式：
第一组：；；。
第二组：；；；。
回答下列问题：
（1）我发现的规律：两个分数的（ ）相同，并且等于分母之（ ），则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）根据这个规律计算：
①；
②若，则正整数m等于（ ）。
26．疫情防控期间，各学校都采取扫健康码、测量体温、错峰入校等措施保障学生安全上课。学生入校后按照指定路线直接到达教室，不聚集，不打闹。
（1）如图是某学校路牌标志，这个标志的面积是多少？
（2）如果每平方厘米的标志需要0.78千克的油漆，那么刷完这个标志牌（双面，厚度不计）需要多少千克的油漆？
27．先计算出前三题，再试着写出后两题的得数。
（1）12×8＋2＝ （2）123×8＋3＝
（3）1234×8＋4＝ （4）12345×8＋5＝
（5）123456×8＋6＝
你能照样子再编一道题，并写出得数吗？
参考答案
1．C
【分析】观察图形可知，图中涂色部分的面积等于大直角三角形的面积减去左下角空白部分的面积；左下角空白部分的面积等于正方形面积减去半径是6厘米的圆的面积；根据三角形、正方形和圆的面积计算公式即可解题。
【详解】左下角空白部分的面积：
6×6－3.14×62÷4
＝6×6－3.14×36÷4
＝36－113.04÷4
＝36－28.26
＝7.74（平方厘米）
涂色部分的面积：
（6＋6）×6÷2－7.74
＝12×6÷2－7.74
＝72÷2－7.74
＝36－7.74
＝28.26（平方厘米）
所以，涂色部分的面积是28.26平方厘米。
故答案为：C
【点睛】本题考查了用转化方法求涂色部分的面积，注意观察图形是由哪几个部分组成的。
2．D
【分析】根据题意，假设正方形的边长是1厘米；第一幅图涂色部分的面积＝半径是1厘米的圆的面积；第二幅图涂色部分的面积＝半径是（1÷2）厘米的圆的面积；第三幅图涂色部分的面积＝4个半径是（1÷4）厘米的圆的面积和；分别计算出各个图形中涂色部分的面积，再比较即可。
【详解】假设正方形的边长是1厘米；可得：
第一幅图涂色部分的面积：
3.14×12÷4
＝3.14×1÷4
＝3.14÷4
＝0.785（平方厘米）
第二幅图涂色部分的面积：
3.14×（1÷2）2
＝3.14×0.52
＝3.14×0.25
＝0.785（平方厘米）
第三幅图涂色部分的面积：
3.14×（1÷4）2×4
＝3.14×0.252×4
＝3.14×0.0625×4
＝0.19625×4
＝0.785（平方厘米）
0.785＝0.785＝0.785
所以，这个三个图中涂色部分的面积一样大。
故答案为：D
【点睛】解答本题的关键是周长每幅图中每个圆的半径与正方形边长之间的关系，由此根据圆的面积公式，求出各个图形中涂色部分的面积即可。
3．B
【分析】观察每组算式，两个因数每增加1个2和5，积就增加两位，并且积的位数等于两个因数的位数和。把积按位数从中间分开看，可以发现，前一半是从高位以1开始往低位递增，后一半从低位以0开始往高位递增。据此解答。
【详解】据分析：。
故答案为：B。
【点睛】能够根据已知算式总结出规律是解题的关键。
4．D
【分析】转化思想是数学学习中常用的数学思想，逐项分析，新内容是转化成了哪个已学内容即可。
【详解】①是将小数乘法转化为整数乘法；
②是将平行四边形面积转化为长方形面积；
③把异分母分数相加减转化为同分母分数进行计算；
④是将五边形内角和转化为三角形内角和。
故答案为：D
【点睛】转化的目的是不断发现问题，分析问题，最终解决问题。
5．C
【分析】将未知或难以解决的问题，选择恰当的方法进行变换，化归为已知知识内已经解决或容易解决的问题的方法，叫做转化思想方法。据此解答。
【详解】①求多边形的内角和时，转化为求几个三角形内角和，运用了“转化”思想方法；②小数乘法，转化为整数乘除法的计算，运用了“转化”思想方法；③求平行四边形的面积，转化为长方形面积的计算，运用了“转化”思想方法。
故答案为：C
【点睛】理解“转化”思想方法的意义是解题的关键。
6．B
【分析】根据给出的式子发现，相乘的积为对称数，即从数字1开始递增到最大数后，又递减到1，中间的数最大且等于因数中的1的个数，据此解答即可。
【详解】11×11＝121
111×111＝12321
1111×1111＝1234321
11111×11111＝123454321
故选：B。
【点睛】解答此题的关键是，根据所给出的数列，找出数与数的关系，找出规律，再根据规律解决问题。
7．D
【分析】观察已知三个算式，当除数是999时，将被除数小数点向左移动3位，然后在十分位和千分位的数字上加上循环符号，就是算式的商，据此反推。
【详解】观察已知三个算式，当除数是999时，将被除数小数点向左移动3位，然后在十分位和千分位的数字上加上循环符号，就是算式的商，
所以，已知商为0.5，将循环符号去掉，然后小数点向右移动三位就是被除数，即450，得到算式：0.5＝450÷999
故选：D。
【点睛】本题主要考查了“式”的规律，发现已知算式商和被除数之间的关系，是本题解题的关键。
8．B
【分析】由图可知，将小路平移，可得下图：
则实际草坪面积为图示右上角阴影部分，这部分是一个长方形，长20－4＝26（米），宽16－4＝12（米），代入面积公式计算即可。
【详解】（20－2×2）×（16－2×2）
＝（20－4）×（16－4）
＝16×12
＝192（平方米）
故答案为：B
【点睛】考查了巧用平移求面积的实际应用。此题有一定的难度，需要理解。
9．
【分析】如图：；左边阴影部分面积等于红色阴影部分面积，很容易看出，原来阴影部分的面积等于正方形面积的一半，据此解答即可。
【详解】由分析可得，阴影部分的面积等于正方形面积的一半，即阴影部分面积占正方形面积的。
【点睛】熟练掌握转化思想，将阴影部分转化成三角形是解题关键。
10． 三角 32
【分析】连接小阴影部分的两个端点，把小阴影部分分成相等的两个部分，这两部分与大阴影部分正好是底是8厘米，高是8厘米三角形的面积，阴影部分面积转化成三角形面积，再根据三角形面积公式：底×高÷2，求出阴影部分面积。
【详解】8×8÷2
＝64÷2
＝32（平方分米）
运用转化策略可以把图下中阴影部分转化成三角形；图中阴影部分面积是32平方分米。
【点睛】本题考查利用“转化”思想方法，把阴影部分转化成三角形，再进行解答。
11． 495 594 693 792 891
【分析】通过观察发现，两个因数中，第一个因数都是99，第二个因数依次多1，结果是9与第二个因数相乘中间是9即可。
【详解】因为：
99×1＝99
99×2＝198
99×3＝297
99×4＝396
所以：
99×5＝495
99×6＝594
99×7＝693
99×8＝792
99×9＝891
【点睛】此题考查了学生观察能力，以及分析问题、总结规律的能力。
12．55544445
【分析】每个算式的积都是由4和5组成，5的个数与乘数中5的个数相同，4的个数与乘数中9的个数相同，从第二个算式开始，5在前后，4在中间，积的末尾有一个5，其余的5在前面。据此即可解答。
【详解】5555×9999＝55544445
【点睛】本题主要考查学生的观察和分析问题的能力。
13． 右移动两位 480÷12
【分析】除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算；据此解题即可。
【详解】4.8÷0.12＝40
0.12的小数点向右移动两位是12，4.8的小数点向右移动两位是480。
所以，列竖式计算4.8÷0.12时，把被除数和除数的小数点同时向右移动两位，将原式转化成480÷12。
【点睛】熟练掌握除数是小数的除法计算方法，是解答此题的关键。
14． 25 n2
【分析】观察图形可知，第一个图中有1个三角形，可以写成12；第二个图形有1＋3＝4（个）三角形，可以写成22；第三个图形有1＋3＋5＝9（个）三角形，可以写成32；第四个图形中有1＋3＋5＋7＝16（个）三角形，可以写成42，……，第n个图形有n2个三角形。
【详解】根据分析可知：
第一个图中有1个三角形，即12；
第二个图形有1＋3＝4个三角形，即22
第三个图形有1＋3＋5＝9个三角形，即32；
……
所以第n个图形有n2个三角形。
当n＝5时，图中有三角形：52＝25（个）。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，找到图形与小三角形个数之间的关系是解本题的关键。
15．
【分析】将原式化为：（）＋（）＋（）＋……（－），再去括号简算即可。
【详解】
＝（）＋（）＋（）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）
＝＋＋＋－＋－＋－＋－＋－＋－
＝1－
＝
【点睛】本题主要考查的灵活应用。
16． 64 n2
【分析】利用第1、2、3个图形与算式之间的计算方法，可以看出从1开始连续奇数的和等于数的个数的平方，由此写出规律即可。
【详解】因为从1起，连续n个奇数的和是n2
所以（1）从1起，连续8个奇数的和是82＝64
（2）从1起，连续n个奇数的和是n2
【点睛】此题主要考查了图形的变化规律，根据已知图形规律得出数字的变化规律是解题关键。
17．39.25平方厘米
【分析】观察图形可知，将三个扇形拼在一起，是一个半圆，根据圆的面积公式：，求出半径是5厘米的圆的面积，再除以2即可。
【详解】将三个扇形拼在一起，是一个半圆，可得：
3.14×52÷2
＝3.14×25÷2
＝78.5÷2
＝39.25（平方厘米）
答：这三个扇形的面积是39.25平方厘米。
【点睛】熟记圆的面积计算公式，是解答此题是关键。
18．32平方厘米
【分析】
如图，用割补法将阴影部分转化为一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的面积就是正方形面积的一半，根据正方形的周长可以求出边长，进而求得阴影部分的面积。
【详解】32÷4＝8（厘米）
8×8÷2
＝64÷2
＝32（平方厘米）
答：阴影部分的面积是32平方厘米。
【点睛】此题考查阴影部分面积的求法，关键是利用割补法将不规则的图形转化为规则的图形。
19．（1）5×＝5－；作图见详解
（2）100×＝100－
【分析】观察可知，第几个等式对应第一个乘数和第二个乘数的分子就是几，分母是分子＋1；图形对应规律是第几个等式就将图形平均分成几份，分子是几涂几份。
【详解】（1）5×＝5－；
（2）100×＝100－
【点睛】在探索数与形结合的规律时，要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法来解决问题。
20．285平方米
【分析】求铺草的部分面积，就是求长为（20－1）米、宽为（16－1）米的长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。
【详解】（20－1）×（16－1）
＝19×15
＝285（平方米）
答：铺草的部分面积有285平方米。
【点睛】关键是将不规则图形转化为规则图形，然后根据规则图形的面积公式解答。
21．面积：188平方米；周长：192米
【分析】根据题意可知，这条小路的面积可分为两部分：横着的与竖着的，可以把竖着的往右拼。横着的往上拼，横着的接起来是一个长为60米，宽为2米的长方形，竖着的接起来是一个长为（36－2）米，宽为2米的长方形，根据长方形的面积公式：长×宽，代入数据，求出这两个长方形面积，再相加，即可求出这条小路的占地面积；这条小路的周长等于长是60米，宽是36米长方形的周长，根据长方形周长公式：（长＋宽）×2，代入数据，即可解答。
【详解】面积：60×2＋（36－2）×2
＝120＋34×2
＝120＋68
＝188（平方米）
周长：（60＋36）×2
＝96×2
＝192（米）
答：这条小路的面积是188平方米，周长是192米。
【点睛】利用等积变形、平移的知识把曲折的小路拉直，再根据长方形周长公式和面积公式进行解答。
22．240吨
【分析】观察图形可知，种西红柿的面积等于上底是120米，下底是280米，高是150米的梯形面积，减去底是120米，高是150米的三角形面积；根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出种西红柿面积，1公顷＝10000平方米，再把种西红柿面积单位平方米化成公顷，再用共收西红柿的质量÷种西红柿的面积，即可求出每公顷可以收西红柿的质量。
【详解】（120＋280）×150÷2－120×150÷2
＝400×150÷2－18000÷2
＝60000÷2－9000
＝30000－9000
＝21000（平方米）
21000平方米＝2.1公顷
504÷2.1＝240（吨）
答：每公顷可以收西红柿240吨。
【点睛】本题考查梯形面积公式、三角形面积公式的应用，以及单位名数的换算。
23．4；9；16；25
（1）奇数；偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方。
（2）前n个奇数的和为n2；7396
【分析】先直接计算出算式的结果；再观察规律；
（1）可得规律为：求前几个奇数的和等于个数的平方，前9个奇数的和是：9×9＝81；前100个奇数的和是：100×100＝10000；据此解答；
（2）前n个奇数的和的规律为：n2，将n＝86代入算式计算出结果即可。
【详解】前2个奇数的和：1＋3＝（4）
前3个奇数的和：1＋3＋5＝（9）
前4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝（16）
前5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝（25）
（1）前9个奇数的和是奇数；前100个奇数的和是偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方，9×9＝81，81是奇数；100×100＝10000，10000是偶数。
（2）前n个奇数的和的规律为：n2
当n＝86，86×86＝7396
【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够结合算式找出规律。
24．见详解
【分析】观察算式可知，每个算式中的三个两位数的十位上的数分别对应同一列上的3个数，个位上的数也分别对应同一列上的3个数，由于九宫格每行、每列上三个数的和相等，所以上面算式的结果也应相等，据此即可解答。
【详解】43＋95＋27
＝138＋27
＝165
72＋59＋34
＝131＋34
＝165
48＋91＋26
＝139＋26
＝165
62＋19＋84
＝81＋84
＝165
三个两位数十位上的数分别对应同一列上的3个数，个位上的数也分别对应同一列上的3个数，然后相加，结果都等于165；据此规律写出算式如下：
38＋51＋76＝165
67＋15＋83＝165
【点睛】找出算式的规律，本题主要考查学生的分析推理能力。
25．（1）分子，和
（2）①
②19
【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积；
（2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可；
②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。
【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）①
②
＝
＝
所以6＋m＝25
m＝19
【点睛】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
26．（1）350平方厘米；
（2）546千克
【分析】（1）观察图形可知，这个标志牌的面积等于一个长20厘米、宽10厘米的长方形的面积加上一个底20厘米、高15厘米的三角形的面积，根据长方形、三角形面积计算公式解题即可。
（2）根据题意，用这个标志牌的面积乘2，求出需要刷油漆的面积，再乘每平方厘米需要油漆的质量即可。
【详解】（1）20×10＋20×15÷2
＝200＋300÷2
＝200＋150
＝350（平方厘米）
答：这个标志的面积是350平方厘米。
（2）350×2×0.78
＝700×0.78
＝546（千克）
答：刷完这个标志牌（双面，厚度不计）需要546千克的油漆。
【点睛】熟记三角形、长方形面积计算公式，求出标志牌的面积，是解答此题的关键。
27．（1）98；（2）987
（3）9876；（4）98765
（5）987654
1234567×8＋7＝？； 9876543
【分析】观察算式可得：算式为一个乘法加上一个数，第一个乘数是由从1开始的连续自然数组成的，第二个乘数都是8，加上的数和第一个乘数的个位相同，所得的和从9开始依次递减，且位数与第一个乘数的位数相同。由此根据规律写出其结果即可。
【详解】（1）12×8＋2
＝96＋2
＝98
（2）123×8＋3
＝984＋3
＝987
（3）1234×8＋4
＝9872＋4
＝9876
（4）12345×8＋5＝98765
（5）123456×8＋6＝987654
根据规律可得：1234567×8＋7＝？
1234567×8＋7＝9876543
照样子再编一道题为：1234567×8＋7＝？得数是9876543。（答案不唯一）
【点睛】此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。
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