【易错精编讲义】苏教版数学五年级下册：第6讲《质数与合数》知识梳理讲义+易错练习

第6讲 质数与合数（讲义）

（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）

1、质数和合数。

只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）；除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。

2、质因数。

如果一个数的因数是质数，那么这个因数就是它的质因数。

3、分解质因数。

把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。

1、1既不是质数，也不是合数。

2、最小的质数是2，最小的合数是4。

3、2是唯一的一个偶质数。

4、分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数。

5、只有1和它本身两个因数的数是质数，1的因为只有它本身。

6、判断一个数是不是另一个数的质因数，不仅要看这个数是不是另一个数的因数，还要看这个数是不是质数。

【易错一】数学家哥德巴赫很早就提出了一个猜想：任意大于2的偶数都可以写成两个质数的和。下面的式子中，反映了这个猜想的是（    ）。

A． B． C．

【解题思路】

根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2，由此解答即可。

【完整解答】

A．4＝1＋3，1不是质数，不符合哥德巴赫猜想；

B．10＝2＋8，8不是质数，不符合哥德巴赫猜想；

C．36＝31＋5，符合哥德巴赫猜想。

故选：C。

【易错点】

此题考查的目的是理解掌握质数的意义及应用，熟记100以内的质数表是解答关键。

【易错二】一个三位数，十位上是最小的质数，百位上是最小的合数，个位上是0，这个三位数是（    ），把它分解质因数是（    ）。

【解题思路】

最小的合数是4，最小的质数是2，个位数为0，即可求出这个三位数。分解质因数的方法是：一个合数可以写成几个质数连乘的形式，叫做分解质因数，由此解答。

【完整解答】

这个三位数，十位上是最小的质数2，百位上是最小的合数4，个位上是0，则这个三位数是420。把它分解质因数为：420＝2×2×3×5×7。

故答案为：420；420＝2×2×3×5×7

【易错点】

明确最小的质数与合数是解决本题的关键，还需熟练掌握分解质因数的方法。

【易错三】改建学校危房的施工队要利用一面墙，另外用15米长的铁丝围一个面积是28平方米的长方形存料棚（靠墙一边为长方形的长）。存料棚的长和宽各是多少米（长和宽都是整米数）？

【解题思路】

由题意，围成的长方形存料棚的长＋两条宽＝15，长×宽＝28，因为长和宽都是整米数，所以首先把28分解质因数，再看哪种情况符合题意即可求解。

【完整解答】

28＝1×28＝2×14＝4×7

1＋1＋28＝30（米）

2＋2＋14＝18（米）

4＋4＋7＝15（米）

符合题意的只有长7米宽4米这一种情况。

答：存料棚的长是7米，宽是4米。

【易错点】

根据长方形面积＝长×宽，把28分解质因数是解答本题的关键。

【易错四】在一次满分是100分的数学考试中，小明的分数与名次的积是485，他得了（    ）分，排第（    ）名。

【解题思路】

把485分解质因数即可求解。

【完整解答】

485＝5×97

答：他得了（97）分，排第（5）名。

故答案为：97；5；

【易错点】

本题考查了分解质因数在生活中的具体应用，大数可以用“短除法”分解质因数。

一、选择题

1．一个质数一定有（    ）个因数。

A．1 B．2 C．3

2．下面图中关系表示不正确的是（    ）。

A． B． C．

3．36可以化成质数（    ）。

A．1和36 B．3和12 C．2、2、3和3

4．如果“数”“学”代表不同的质数，且满足关系式：3×数＋5×学＝31，那么数＋学＝（    ）。

A．3 B．5 C．6 D．9

5．一个三位数，百位上是最大的一位合数，个位上是最小的一位奇数，这个数最大是（    ）。

A．901 B．991 C．891

6．30的质因数有（    ）个。

A．3 B．4 C．5

7．下面各式中，分解质因数的是（    ）。

A． B．15＝2＋13 C．18＝3×6 D．

8．小玉和爷爷两人今年的年龄都是合数，且他们的岁数相乘的积是390，小玉今年（    ）岁。

A．6 B．10 C．13 D．15

二、填空题

9．著名的“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。比如8＝3＋5，10＝3＋7＝5＋5，……请你仿照填写：24＝______＋______＝______＋______＝______＋______。

10．最小的质数是(        )，最小的合数是(        )。两个质数的和是20，积是91，这两个质数分别是(        )和(        )。

11．一个数最大因数是28，它的最小倍数是(        ) ，把它分解质因数是(          )。

12．你知道吗？任何一个大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。请你把28、20、15、21写成几个质数相乘的形式。

15＝__________________    28＝__________________

21＝__________________    20＝__________________

13．长方体的左面和上面之和为91平方厘米，它的长、宽、高都是质数，则这个长方体的体积可能是(        )立方厘米。

14．在1、5、18、30、35、47中，2的倍数有(        )，3的倍数有(        )，既是3的倍数又是5的倍数的数是(        )，质数有(        )，(        )既是奇数又是合数。

15．元旦联欢活动中，我班进行摸球游戏，口袋中有10个相同的球，分别写着数字1－10，任意摸一个，摸到合数的可能性(        )，摸到质数的可能性(        )（填“大”或“小”）。

16．张叔叔的手机锁屏密码是一个六位数。第一位数既是偶数又是质数，第二位数既是5的倍数又是5的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数既不是质数也不是合数也不是0，第五位数是9的最小因数，最后一位数是0。张叔叔的手机锁屏密码是(          )。

三、判断题

17．最小的质数和最小的合数都是18的因数。(        )

18．所有的质数都是奇数，所有的偶数都是合数。(        )

19．因为8×9＝72，所以9是72的因数，又是72的质因数。(        )

20．把42写成质数相乘的形式是42＝1×2×3×7。(        )

四、解答题

21．阅读并举例。

伟大数学家陈景润在研究著名的“哥德巴赫猜想”（任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式）中取得了一系列重大成就，赢得了极高的国际声誉。请你根据划线部分内容举出一个例子。

22．学生1430人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数在100至200之间，问有哪几种分法？

23．选出点数为5，6，7，8，9，10的6张扑克牌反扣在桌面上。依依和糕糕利用这6张扑克牌做游戏。游戏规则如下：依依从中任意抽一张，若抽到的卡片是质数，依依胜，否则糕糕胜。这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，设计一个对双方都公平的游戏规则。

24．张老师按从前往后的顺序说出了他的电话号码：①比最小质数与最小合数的积少2；②比最大的一位数少3；③比最小的奇数多2；④既不是质数也不是合数；⑤10以内既是合数又是奇数的数；⑥5的最大因数；⑦最小的质数。同学们，你知道张老师家的电话号码是多少吗？

25．如果一个直角三角形的两个锐角的度数均为质数，则称这种三个角形为“质数直角三角形”。那么，有一边长度为1的“质数直角三角形”有多少个？

26．同学们排队做操，每行的人数都是相等的。下面是霏霏、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。你认为谁数对了呢？写出你的理由。

27．一个长方形的长和宽都是以米为单位的质数，周长是24米，这个长方形的面积是多少？

28．明明的出生年份的第一个数既不是质数也不是合数，第二个数的最小倍数是9，第三个数是10以内最大的奇数，第四个数是10以内最大的质数。你知道明明是哪年出生的吗？

29．植树节到了，何老师带五（1）班同学去植树，一共植了123棵，已知五（1）班人数不超过50人，何老师植树的棵数和每个同学植树棵数一样。这个班有多少名同学？每个同学植树多少棵？

30．实验小学同学春游，共516人，学校租了几辆客车，同学们正好坐满，每辆客车乘坐人数在40人～50人之间。学校租了多少辆客车？每辆客车能乘坐多少人？

参考答案

1．B

【分析】一个数的因数只有1和本身，那么这个数是质数。据此分析解题。

【详解】一个质数一定有2个因数，分别是1和本身。

故答案为：B

【点睛】本题考查了质数，掌握质数的概念是解题的关键。

2．B

【分析】自然数可分为奇数和偶数；方程是等式，等式不一定是方程；1既不是质数也不是合数；据此解答。

【详解】A．自然数可分为奇数和偶数，该图示正确；

B．方程是等式，等式不一定是方程，该图示表示错误；

C．1既不是质数也不是合数，该图示正确。

故答案为：B

【点睛】本题考查知识点较多，牢记基础知识是解题的关键。

3．C

【分析】质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数；分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；据此解答。

【详解】36＝2×2×3×3

其中，2、2、3、3叫作36的质因数，所以36可以化成质数2、2、3、3。

故答案为：C

【点睛】理解质因数、分解质因数的意义，明确分解质因数的方法（例如短除法），是解题关键。

4．D

【分析】根据题意，“数”“学”代表不同的质数，且满足关系式：3×数＋5×学＝31，所以“数”“学”代表的数只能在10以内的质数（2、3、5、7）里面，分别将数代入进行检验是否成立即可；据此解答。

【详解】根据分析，

当：3×7＋5×2

＝21＋10

＝31

对应位置，数＝7，学＝2，那么数＋学＝9；

当：3×2＋5×5

＝6＋25

＝31

对应位置，数＝2，学＝5，那么数＋学＝7；

结合选项情况，符合的是：数＋学＝9；

故答案为：D

【点睛】此题考查了质数的认识，以及推理论证思维，关键熟记常用质数。

5．B

【分析】合数是除了1和它本身还有别的因数的数。在整数中，不是2的倍数的数是奇数。据此先分别找出最大的一位合数和最小的一位奇数；再根据求最大的三位数来确定十位上的数是最大的一位数；最后写出这个三位数。

【详解】最大的一位合数是9，所以百位上的数字是9；最小的一位奇数是1，所以个位上的数字是1；最大的一位数是9，所以十位上的数字是9。所以这个数最大是991。

故答案为：B

【点睛】解决此题的关键是明确合数、奇数的意义。

6．A

【分析】根据分解质因数的方法：就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，由几个数相乘，就有几个质因数；据此解答。

【详解】30＝2×3×5，30有质因数2、3、5一共3个。

故答案为：A

【点睛】根据分解质因数的方法进行解答。

7．A

【分析】把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，依此选择。

【详解】A．12＝2×2×3；

B．15＝3×5；

C．18＝2×3×3；

D．21＝3×7。

故答案为：A

【点睛】此题考查了分解质因数，应熟练掌握分解质因数的方法。

8．A

【分析】分解质因数得：390＝2×3×5×13。即：390是由2、3、5、13四个质数组成。因为小玉和爷爷的年龄都是合数，所以小玉和爷爷的年龄都只能是2、3、5、13四个质数中的两个相乘的结果。据此解答。

【详解】小玉的年龄    爷爷的年龄

2×3＝6          5×13＝65 （年龄差正常）

2×5＝10         3×13＝39 （年龄差不正常舍去）

3×5＝15          2×13＝26 （舍去）

爷爷今年65岁，小玉今年6岁。

故选：A。

【点睛】掌握分解质因数的方法，理解质数、合数的意义是解题的关键。

9．     11     13     7     17     5     19

【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。据此解答。

【详解】根据分析，仿写如下：

24＝11＋13＝7＋17＝5＋19

11、13、7、17、5、19都是质数，24是偶数，符合要求。

【点睛】掌握质数和偶数的意义是解答本题的关键。

10．     2     4     7     13

【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。最小的质数是2，最小的合数是4，因为两个质数的乘积是91，把91分解质因数即可解决此题。

【详解】最小的质数是2，最小的合数是4。

因为91＝7×13

又符合7＋13＝20

所以这两个质数分别是7和13。

【点睛】此题主要明确质数与合数的定义，解答此题关键是把乘积分解质因数即可解决问题。

11．     28     28＝2×2×7

【分析】一个数最大因数和最小公倍数都是它本身，将这个数写成几个质数相乘的形式即可。

【详解】28＝2×2×7

一个数最大因数是28，这个数是28，它的最小倍数是28 ，把它分解质因数是28＝2×2×7。

【点睛】关键是理解因数和倍数的含义，掌握分解质因数的方法。

12．     3×5     2×2×7     3×7     2×2×5

【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。将一个数写成几个质因数相乘的形式，叫做分解质因数。据此解答。

【详解】15＝3×5

28＝2×2×7

21＝3×7

20＝2×2×5

【点睛】本题考查了质数的认识和分解质因数。

13．154

【分析】设长方体的长为a厘米、宽为b厘米、高为h厘米，已知长、宽、高都是质数，首先把91分解质因数，进而求出长、宽、高，然后根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。

【详解】设长方体的长为a厘米、宽为b厘米、高为h厘米。

91＝13×7，

13＝11＋2，

ab＋ah＝91

a（b＋h）＝91

由此得：长是7厘米、宽是2厘米、高是11厘米，

7×2×11

＝14×11

＝154（立方厘米）

所以长方体的体积可能是154（答案不唯一）立方厘米。

【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出长、宽、高。

14．     18     18、30     30     5、47     35

【分析】2的倍数特征：末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数，则这个数就是3的倍数，5的倍数特征：末尾是0、5的数是5的倍数；质数：除了1和它本身，没有其它因数的数是质数；合数：除了1和它本身，还有其它因数的数是合数，据此即可填空。

【详解】由分析可知：

在1、5、18、30、35、47中，2的倍数有18、30，3的倍数有18、30，既是3的倍数又是5的倍数的数是30，质数有5、47，35既是奇数又是合数。

【点睛】本题主要考查2、3、5倍数的特征是以及质数和合数的意义，熟练掌握它们的倍数特征以及质数和合数的意义并灵活运用。

15．     大     小

【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；在自然数中，除了1和它本身外，还有其它因数的数为合数；找出1－10中的质数和合数，比较它们个数，数量越多，摸到的可能性越大，反之，数量越少，摸到的可能性越小，进行解答。

【详解】1－10中质数有：2，3，5，7一共有4个；

合数有：4，6，8，9，10一共有5个；

5＞4，摸到合数的可能性大，摸到质数的可能性小。

元旦联欢活动中，我班进行摸球游戏，口袋中有10个相同的球，分别写着数字1－10，任意摸一个，摸到合数的可能性大，摸到质数的可能性小。

【点睛】本题考查质数和合数的意义，以及可能性大小，解答本题不需要计算，可以根据数量的多少，直接判断出可能性的大小。

16．259110

【分析】第一位数既是偶数又是质数就是最小的质数2，第二位数既是5的倍数又是5的因数是这个数的本身5；第三位数既是奇数又是合数是9；第四位数既不是质数也不是合数也不是0是1；第五位数是9的最小因数是1；最后一位数是0，据此写出密码即可。

【详解】张叔叔的手机锁屏密码是一个六位数。第一位数既是偶数又是质数，第二位数既是5的倍数又是5的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数既不是质数也不是合数也不是0，第五位数是9的最小因数，最后一位数是0。张叔叔的手机锁屏密码是259110。

【点睛】先根据给出的编号，找出各个位上数字表示的含义，再根据这个含义求解。掌握奇数和偶数、质数和合数、因数和倍数的概念及特征是解答本题的关键。

17．×

【分析】最小的质数是2，最小的合数是4，写出18的因数即可判断。

【详解】最小的质数是2，最小的合数是4，18的因数有1、2、3、6、9、18，2是18的因数，但4不是18的因数。原说法错误。

故答案为：×

【点睛】明确最小的质数和合数是几是解答本题的关键。

18．×

【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。最小的偶数是0，没有最大的偶数，最小的奇数是1，也没有最大的奇数；

在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数；

一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数，据此判断即可。

【详解】由分析可得：

最小的质数是2，而2是偶数，所以并不是所有的质数都是奇数；

2是偶数，但是2不是合数，所以并不是所有的偶数都是合数。

故答案为：×

【点睛】本题考查了质数和合数，偶数和奇数的概念，需要熟练掌握，并且能通过举出反例的方式做题。

19．×

【分析】把一个合数写成几个质数相乘的形式就是分解质因数，这几个质数都是这个合数的因数，据此判断即可。

【详解】根据分析可得：

因为8×9＝72，所以9是72的因数；9是合数不是质数，所以9不是72的质因数。原题说法错误。

故答案为：×

【点睛】本题考查了因数和质因数的认识，明确一个数的质因数必须是一个质数。

20．×

【分析】每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，先用短除法分解质因数，再把这个数写成几个质数相乘的形式，据此解答。

【详解】

把42写成质数相乘的形式是42＝2×3×7。

故答案为：×

【点睛】掌握合数分解质因数的方法是解答题目的关键。

21．见详解

【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。据此解答。

【详解】根据分析举例如下：

20＝3＋17

20是偶数，3和17都是质数，符合题意。（答案不唯一）

【点睛】掌握质数和偶数的意义是解答本题的关键。

22．①每队110人，分13队；②每队130人，分11队；③每队143人，分10队。

【分析】将总人数分解质因数，将质因数进行组合，找到在100至200之间的乘积就是每队人数，总人数÷每队人数＝队伍数量。

【详解】1430＝2×5×11×13

①2×5×11＝110（人），即每队110人，分13队；

②2×5×13＝130（人），即每队130人，分11队；

③11×13＝143（人），即每队143人，分10队。

答：①每队110人，分13队；②每队130人，分11队；③每队143人，分10队。

【点睛】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

23．见详解。（答案不唯一）

【分析】一个自然数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；首先明确在5，6，7，8，9，10中，质数有5，7共2个，不是质数的有6，8，9，10共4个，然后判断规则是否公平，制定公平合理的规则即可。

【详解】这个游戏规则不公平。在5、6、7、8、9、10这六个数中，质数有5、7共2个，则依依获胜的可能性有2种，糕糕获胜的可能性有4种，所以这个游戏不公平。

对双方都公平的游戏规则：若抽到的卡片数字是奇数，则依依获胜，否则糕糕获胜。（游戏规则不唯一）

【点睛】本题考查了游戏规则的公平性知识，结合质数、合数知识，进行分析解答即可。

24．6631952

【分析】根据质数、合数、奇数、因数等意义，找出每个数位上的数字即可。

【详解】①最小的质数是2，最小的合数是4，

它们的积是：

2×4＝8

所以第一位上的数字是：

8－2＝6

②最大的一位数是9，

所以第二位上的数字是：

9－3＝6

③最小的奇数是1，

所以第三位上的数字是：

1＋2＝3

④既不是质数也不是合数是1；

⑤10以内既是合数又是奇数的数是9；

⑥5的最大因数是5；

⑦最小的质数是2；

综上所述，电话号码为6631952。

答：张老师家电话号码是6631952。

【点睛】解答此题的关键是要明确电话号码中每一位上的数字都是一位数，且要熟记一些特殊的数字：1既不是质数也不是合数，9是奇数也是合数以及奇数、合数、质数的含义。

25．27个

【分析】先找出和为90的质数共有多少对，每一对角度中可构成边长为1的“质数直角三角形”3个，再用求出和为质数有多少对×3，就是有一边长为1的“质数直角三角形”有多少个；据此解答。

【详解】和为90的质数有：

83＋7、79＋11、73＋17、71＋19、67＋23、61＋29、59＋31、47＋43、53＋37，一共有9对。

9×3＝27（个）

答：有一边长为1的“质数直角三角形”有27个。

【点睛】本题考查合数与质数，关键是找出和为90的质数一个有多少对。

26．淘淘；理由见详解

【分析】因为每行的人数是相等的，总人数＝每行的人数×行数，那就说明总人数是一个合数。判断他们数出的人数是不是合数，如果不是，那就没有数对。

一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。

一个大于1的自然数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。

【详解】71、73、79都是质数，76是合数。

所以只有淘淘数对了。

答：是淘淘数对了。因为每行的人数是相等的，说明总人数是一个合数，只有76是合数。

【点睛】本题的考查的是对质数、合数的理解与应用。

27．35平方米

【分析】一个长方形的长和宽都是以米为单位的质数，周长是24米，又长方形周长＝（长＋宽）×2＝24米，则长＋宽＝24÷2＝12米，在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，据此即可确定此长方形的长与宽是多少米，然后求出面积即可。

【详解】由于（长宽）米

即长宽米

长与宽分别是以米为单位的质数，

即宽是5米，长是7米

则长方形面积是平方米

答：长方形的面积是35平方米。

【点睛】此题考查的是已知长方形周长求面积，解答此题关键是根据长方形周长公式及质数的意义确定长方形的长与宽是完成本题的关键。

28．1997年

【分析】0和1既不是质数也不是合数，明明的出生年份的第一个数既不是质数也不是合数，则明明的出生年份的第一个数是1，不能是0。第二个数的最小倍数是9，则第二个数应是9。第三个数是10以内最大的奇数，则第三个数是9。第四个数是10以内最大的质数，则第四个数是7。据此解答即可。

【详解】根据分析可知，明明的出生年份的第一个数是1，第二个数是9，第三个数是9，第四个数是7，则明明是1997年出生的。

【点睛】本题考查质数、合数、奇数、倍数的认识，需熟练掌握。

29．40名；3棵

【分析】由何老师和学生每人植树一样多，可知：每人植树棵数×人数＝植树总棵数；每人植树棵数和人数都应是整数，将植树总棵数分解质因数，123＝3×41；依此可知学生人数43－1＝40名，据此解答。

【详解】123＝41×3

学生人数：41－1＝40（名），每名学生植树3棵。

答：这个班有40名同学，每个同学植树3棵。

【点睛】解答本题的关键是把123分解质因数，从而得到这个班的学生人数。

30．12辆；43人

【分析】由题意可知，516应是每辆客车能乘坐的人数与辆数的乘积，且每辆客车乘坐人数在40人～50人之间，所以可把516进行分解，且让其中的一个因数在40人～50人之间，据此解答。

【详解】因为，

所以每辆客车乘坐人数应是43，客车应是12辆；

答：学校租了12辆客车，每辆客车能乘坐43人。

【点睛】解答此题关键是把516分解成两个因数的积，且要满足一个因数在40人～50人之间。