2022-2023学年度重庆市南开中学校九年级上学期10月月考数学试题

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数学（二）
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给了了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号左侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中，比小的数是（　　）
A. -3 B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】有理数大小比较的法则：①正数负数，②两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：，
比小的数是．
故选：A．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，解题的关键是会方法，可借助数轴，可直接比较大小．
2. 下列电动车的品牌图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 下列运算错误的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据整式的加减运算法则、整式的除法运算，积的乘方运算以及分式的加减运算法则即可求出答案．
【详解】解：A．原式，故符合题意．
B．原式，故不符合题意．
C．原式，故不符合题意．
D．原式，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查整式的加减运算法则、整式的除法运算，积的乘方运算以及分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
4. 某玩具模型可看成如图所示的几何体，则该几何体的主视图是（　　）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看，可得如下图形：

故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5. 将以点O为位似中心缩小后得到，若相似比为1：2，则和的面积之比为（　　）

A. 2：1 B. 1：2 C. 4：1 D. 1：4
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：以点为位似中心缩小得到，位似比为1：2，
与位似，
，
，
，则与的面积之比为，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念，相似三角形的性质，掌握试试图形的对应边平行是解题的关键．
6. 估计的值应在（　　）
A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间
【答案】A
【解析】
【分析】根据计算得出原式的结果，然后根据无理数的大小得出结论即可．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，二次根式的混合运算，熟练运算法则是解题的关键．
7. 某班拟开展“坚持阅读，打卡30天”活动，原计划打卡30次，打卡表格设计为5行6列．为了让学生能养成更好的阅读习惯，老师决定打卡次数再增加26次，同时为了美观，打卡表格要求增加的行数和列数相同．设增加了行，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据增加的行数及列数可得出增加后的打卡表格有行、列，根据打卡的次数为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：增加了行，且增加的行数和列数相同，
增加后的打卡表格有行、列．
依题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 下列命题是真命题的是（　　）
A. 一组邻边相等的平行四边形是矩形
B. 三个角都是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形
D. 有一组对边平行且一组邻边垂直的四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题是假命题；
B、三个角都是直角的四边形是矩形，故原命题是真命题；
C、对角线互相垂直平分的四边形不是矩形是菱形，故原命题是假命题；
D、有一组对边平行且一组邻边垂直的四边形不一定是矩形，故原命题是假命题．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理，熟练掌握矩形的判定是解决本题的关键．
9. “吉祥物趣事”，某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速行走3600米、当墩墩领先容融1000米时，墩墩停下来休息，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，在整个行走过程中，墩墩和容融之间的距离（米）与它们出发时间（分钟）的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）

A. 容融的速度为40米/分钟 B. 墩墩休息了23分钟
C. 第85分钟时，墩墩到达终点 D. 领先者到达终点时，两者相距200米
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出各个选项中的结果是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：由图象可得，
容融的速度为：（米分钟），故选项A正确，不符合题意；
墩墩休息了：（分钟），故选项B错误，符合题意；
墩墩的速度为：（米分钟），
（分钟），
即第85分钟时，墩墩到达终点，故选项C正确，符合题意；
（米），
即领先者到达终点时，两者相距200米，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AF、EF，过点E作交AD于点G，连接GF，若，且，则（　　）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过作于，由，可得，即得，而四边形是矩形，有，，证明，知，从而，在中，，因此．
【详解】解：过作于，交于，如图：

四边形是正方形，
，，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
11. 从，，，，1，3这六个数中，随机抽取一个数，记为，若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的不等式组无解，则这六个数中所有满足条件的的值之和是（　　）
A. B. -1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解分式方程，利用分式方程的解为整数，可能产生增根的情形，分母不等于0，解不等式组，利用已知条件确定的范围，从而将不符合题意的值排除，得到符合条件的的值，则结论可求．
【详解】解：分式方程的解为：，
分式方程有可能产生增根2，
，
．
关于的分式方程有整数解，
，
要使分式有意义，
．
关于的不等式组无解，
，
．
综上，符合条件的值有：，，
所有满足条件的的值之和是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，分式的性质，一元一次不等式组的解，利用排除法解答是解题的关键．
12. 对于任意不为零的实数，，若定义新运算，则下列说法中正确的个数为（　　）
①；②；③若，则；④若且为整数，则代数式的最小值为．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】利用新运算的定义分别进行运算即可．
【详解】解：①△，故①错误；
②△，△，故②错误；
③若，则，
解得，故③正确；
④△△△△



又且为整数，
当时，有最小值为，故④错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，解分式方程，求最值问题，本题是新定义型，理解并熟练应用新运算是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上．
13 计算：___________；
【答案】
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
14. 有三张外观一样的正面分别是红色、黄色、蓝色的卡片，将其背面朝上并洗匀．从中随机抽取一张，记下卡片的颜色后放回，再从中随机抽取一张记下其颜色．则抽取的两张卡片的颜色就能配成紫色的概率是___________（红色和蓝色可以配成紫色）
【答案】
【解析】
【分析】画树状图表示出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片是红色和蓝色的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片的颜色就能配成紫色的结果有2种，
抽取的两张卡片的颜色就能配成紫色的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．注意：概率=所求情况数÷总情况数．
15. 如图，在中，D为BC上一点，连接，将沿着翻折得到，E点恰好在边上且，若，，则线段___________；

【答案】
【解析】
【分析】过作交的延长线于，得到，设，，根据折叠的性质得到，，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过作交的延长线于，
，
，
，
，
设，，
将沿着翻折得到，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．

【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
16. 学校组织了“快乐农场”的活动，旨在让学生体会劳动的意义，某班级开展了种植小米辣的劳动实践，他们将农场划分为A、B、C、D、E、F六个地块，A、B、C三个地块的小米辣苗种植株数之比为2：3：1，C地块平均每株产量是A地块平均每株产量的2倍．D、E、F三个地块的小米辣苗种植株数之比为1：2：3，D地块平均每株产量是A地块平均每株产量的3倍，E地块平均每株产量是B地块平均每株产量的倍，F地块平均每株产量是A地块平均每株产量与B地块平均每株产量之和的3倍．经统计A、B、C三个地块平均产量之和比D、F两个地块总量之和多1730克．若各个地块的平均每株产量均为整数，F地块平均每株产量大于108克且小于258克，则F地块平均每株产量为___________克．（总产量=平均每株产量×株数）
【答案】216
【解析】
【分析】设地块的小米辣苗种植株数为，则地块的小米辣苗种植株数为，地块的小米辣苗种植株数为，设地块的小米辣苗种植株数为，则地块的小米辣苗种植株数为，地块的小米辣苗种植株数为，设地块平均每株产量为克，则地块平均每株产量为克，地块平均每株产量为克，设地块平均每株产量为克，则地块平均每株产量为克，地块平均每株产量为克，依题意有：且，再根据各个地块的平均每株产量均为整数，地块平均每株产量是地块平均每株产量的倍，可得是9的倍数，可得，依此即可求解．
【详解】解：设地块的小米辣苗种植株数为，则地块的小米辣苗种植株数为，地块的小米辣苗种植株数为，设地块的小米辣苗种植株数为，则地块的小米辣苗种植株数为，地块的小米辣苗种植株数为，设地块平均每株产量为克，则地块平均每株产量为克，地块平均每株产量为克，设地块平均每株产量为克，则地块平均每株产量为克，地块平均每株产量为克，依题意有：
且，
则且，
各个地块平均每株产量均为整数，地块平均每株产量是地块平均每株产量的倍，
是9的倍数，
，
．
故答案为：216．
【点睛】本题考查了应用类问题，找准等量关系和不等关系，正确得出是解题的关键．
三、解答题（本题4个小题，17题8分，18题8分，19题10分，20题10分，共36分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答题过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后合并同类项；
（2）先通分除式，再把分式的分子分母因式分解算乘法，最后利用异分母分式加减法法则计算．
【小问1详解】
解：

；
【小问2详解】







．
【点睛】本题考查了整式、分式的混合运算，掌握整式、分式的运算法则是解决本题的关键．
18. 如图，四边形为平行四边形，

（1）在图中完成以下基本作图，作的角平分线，与AD交于点E，与CD的延长线交于点F；（保留作图痕迹，不下结论）
（2）在（1）问条件下，求证：．
证明：四边形为平行四边形，
　　　　，，
　　，
平分
　　　　，

　　，
，
．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本作图作的角平分线；
（2）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，再推出，即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
证明：四边形为平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质．解决本题的关键是熟练掌握基本作图方法．
19. 为了解某区域甲、乙两个公司外卖员的收入情况，某调查小组从这两个公司中各随机抽取20名外卖员，收集他们2021年的收入数据（单位：万元），并对数据进行统计，分析．（收入用表示，共分成五组：A：，B：，C：，D：，E：）．下面给出了部分信息，甲公司外卖员的收入在C组的数据为：10.3，10.4，10.6，10.7，11.0，11.3，11.5；乙公司20名外卖员的收入是：7.2，13.5，8.2，10.2，6.1，10.2，10.2，11.2，8.4，10.6，11.0，11.2，12.2，12.7，12.7，11.3，10.2，15.7，13.0，14.2；

根据以上信息，解答下列问题：
（1）___________，___________，___________；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个公司，哪个公司的外卖员2021年收入水平更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若甲公司有外卖员160人，乙公司有外卖员240人，请估计这两个公司2021年收入大于等于12万元的外卖员总人数．
【答案】（1）35，10.5，10.2
（2）乙公司的外卖员2021年收入水平更高，理由见解析
（3）112人
【解析】
【分析】（1）根据题意和统计图中的数据，可以得到，，的值；
（2）从中位数和众数可以判断乙公司的外卖员2021年收入水平更高；
（3）根据整理数据表格中的数据，可以估计这两个公司2021年收入大于等于12万元的外卖员总人数．
【小问1详解】
解：由题意可得，
，
，
乙公司20名外卖员的收入中10.2最多，所以，
故答案为：35，10.5，10.2；
【小问2详解】
乙公司的外卖员2021年收入水平更高，
理由：乙公司的外卖员2021年收入众数、中位数都大于甲公司的，故乙公司的外卖员2021年收入水平更高．
【小问3详解】
（人），
答：估计这两个公司2021年收入大于等于12万元的外卖员总人数为112人．
【点睛】本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点，点B的横坐标为．

（1）求一次函数与反比例函数的表达式，并在图中画出一次函数的图象；
（2）D为x轴上一点，若的面积为6，求点D的坐标；
（3）根据函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1），，图象见解析
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）由点坐标，通过待定系数法可得反比例函数解析式，从而可得点坐标，进而求解．
（2）设直线与轴交点为，由直线解析式可得点坐标，设点坐标为，由求解．
（3）根据各象限内直线与双曲线的交点坐标求解．
【小问1详解】
解：将代入得，
反比例函数解析式为，
将代入得，
点坐标为，
将，代入得
，解得，
，
图象如下：
【小问2详解】
设直线与轴交点为，
将代入得，
直线与轴交点坐标为，
设点坐标为，

则，
或，
解得或．
点坐标为或．
【小问3详解】
由图象可得或时，．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解．
四、解答题：（本题5个小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将每小题的演算过程或推理步骤写在答题卡中对应的空白处．
21. 如图，是某城市定向徒步挑战赛的四边形赛道，点B位于点A的东北方向千米处．点C位于点B的正东方向5.7千米处，点D位于点A的正东方向且．

（1）赛道上有一医疗救护站E，且点E位于点B的南偏东30°方向，求DE的长；
（2）主办方现准备从起点A开始沿该赛道顺次设置工作点，根据完事组织标准，主办方每5千米需设置1个工作点，每个工作点需安排至少3名志愿者，由于A点也是赛道的终点，额外再需要5名志愿者．若主办方拟安排35名志愿者．那么本次定向徒步挑战赛能否达到完事组织标准？请通过计算说明理由．
【答案】（1）2.5千米
（2）能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据一个角是的直角三角形和一个叫是的直角三角形的三边关系求解即可；
（2）先求四边形的总长度的近似值，然后根据题干要求进行计算比较即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，，交于点，

由题意可知，，为等腰直角三角形，，
四边形为长方形，
，
，
（千米）；
【小问2详解】
由（1）可知，
，
需要设置的工作点：，
需要的工作人员：（人），
，
本次定向徒步挑战赛可以达到完事组织标准．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和方向角，能够灵活运勾股定理是解答本题的关键．
22. 2022年8月重庆缙云山突发山火，灾情紧急，源源不断的救援力量齐聚山火现场，从崎岖不平的山路到蜿蜒连绕的山脊，我们看到的全是救火英雄的身影．某救援队计划购买头灯和防火手套参与救援，头灯单价比防火手套单价低5元，花400元能买到的头灯数量是花300元能买到的防火手套数量的2倍．
（1）头灯和防火手套的单价各为多少元？
（2）救援队原计划购买头灯和防火手套各200份，遇热心店家打折销售，头灯单价比原来下降，防火手套单价比原来下降．救援队便在原计划的基础上多购买了的头灯和的防火手套，实际所花的钱比原计划多，求的值．
【答案】（1）头灯的单价为10元，防火手套的单价为15元
（2）6
【解析】
【分析】（1）设头灯的单价为元，则防火手套的单价为元，利用数量总价单价，结合花400元能买到的头灯数量是花300元能买到的防火手套数量的2倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出头灯的单价，再将其代入中即可求出防火手套的单价；
（2）利用总价单价数量，结合实际所花的钱比原计划多，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出的值．
【小问1详解】
解：设头灯单价为元，则防火手套的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：头灯的单价为10元，则防火手套的单价为15元．
【小问2详解】
依题意得：
，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：的值为6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23. 材料一：一个三位数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上的数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k倍（k为整数），则称M为“k阶比例中项数”；
材料二：一个三位数，它的百位数字和十位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，规定；
例如：244，因为，其中，2是整数，所以244是“2阶比例中项数”，；
又如：321，因为，但不是整数，所以321不是一个“阶比例中项数”，．
（1）363是“___________阶比例中项数”；最大的“3阶比例中项数”为___________；
（2）若（其中，，，均为正整数，且为偶数）是一个“阶比例中项数”，且被7除余1，求出所有满足条件的N．
【答案】（1）4；993
（2）221或461
【解析】
【分析】（1）根据“阶比例中项数”的含义直接作答即可；
（2）经过分析确定个位数为1，根据是“阶比例中项数”得到与的数量关系，根据被7除余1，得到另外一个与的数量关系，通过列举法确定的值．
【小问1详解】
解：（1），
是“4阶比例中项数”；
若一个三位数是“3阶比例中项数”那百位和个位数字积的3倍是十位上数字的平方，
设这个三位数为，
则，且，其中，均为整数，且均在1到9之间，
为3的倍数，
可能是3，6，9，
若这个数最大，即当时，
此时，
当，时，这个三位数最大，为993．
故答案为：4；993．
【小问2详解】
由题意可知，
，
，
是7的倍数，
，，，均为正整数，且为偶数，
可能2，4，6，8，
当时，的值为1、2、4，
，
当，时，不是7的倍数，不符合题意；
当，时，是7的倍数，符合题意，此时；
当，时，不是7的倍数，不符合题意；
当时，的值为1、2、4，
，
同理，当时，均不符合题意；
当时，的值为1、2、3、4，
，
同理，当时，符合题意，此时；
当时，的值为1、2、4，
，
同理，当时，均不符合题意；
综上，符合条件的有221或461．
【点睛】本题考查因式分解的应用，能够运用题干当中的新定义是解答本题的关键，方法不唯一．
24. 如图，抛物线与轴交于A、两点（点A在点的左侧），与y轴交于点C．点D在y轴正半轴上，直线AD：与抛物线交于点E．

（1）求线段的长度；
（2）如图，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求的最大值；
（3）如图，将抛物线向左平移4个单位长度，将沿直线平移，平移后的记为，在新抛物线的对称轴上找一点，当是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）分别求出、点的坐标，再求的长即可；
（2）设，，可求，，则，当时，有最大值；
（3）求出平移后的抛物线的解析式，设，由题意可得，设沿轴向左平移个单位长度，则沿轴向下平移个单位长度，则，，再由①，②，联立①②可得或，即可求或．
【小问1详解】
解：令，则，
解得或，
，，
令，则，
，
；
【小问2详解】
将点代入，
，
解得，
，
，
联立方程组，
解得或，
，
设，，
轴，
，
，
，
，
当时，有最大值；
【小问3详解】
，
平移后的抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为，
设，
，，
，
，
△是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
，
设沿轴向左平移个单位长度，则沿轴向下平移个单位长度，
，，
①，，
，
②，
联立①②可得或，
或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
25. 已知和均为等腰直角三角形，其中，，，，连接，点F是的中点，连接、．

（1）如图，点E在线段上，且，，求线段的长；
（2）如图，连接，求证：；
（3）如图，，，将绕着点B逆时针旋转，将线段沿直线翻折得到线段，连接，当CF最大时，请直接写出的长度．
【答案】（1）8 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线定理求出，利用等腰直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，可得，即可解决问题；
（2）如图2中，延长到，使得，连接，，，延长交的延长线于点，交于点．证明是等腰直角三角形，可得结论；
（3）如图3中，取的中点，连接，．利用三角形中位线定理证明，推出当点落在上时，的值最大（如图4中），连接，，过点作于点，延长交于点．求出，，再利用勾股定理求解．
【小问1详解】
解：如图1中，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：如图2中，延长到，使得，连接，，，延长交的延长线于点，交于点

，，，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
；
【小问3详解】
如图3中，取的中点，连接，．

，，
，
，，
，
，，
，
当点落在上时，的值最大（如图4），

连接，，过点作于点，延长交于点．
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．