2022-2023学年度重庆市育才中学校九年级上学期第一次月考数学试题

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重庆育才中学初2023届初三（上）第一次定时作业数学试题
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 3的相反数为（　　）
A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．
【详解】解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．
2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解本题的关键．
3. 如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）

A. 20° B. 40° C. 50° D. 140°
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行内错角相等可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解本题的关键．
4. 匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空水瓶的形状可知空水瓶的横截面先增大后减小，横截面为圆形，所以水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线，整体为水面高度增长速度先快、后慢、再快，对应函数图像先陡、后缓、再陡．
【详解】解：下面的容器较粗，中间最粗，上面最细，
∵容器横截面为圆形，横截面，
∴水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线，
∴对应函数图像先陡、后缓、再陡，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图像，解决本题的关键是根据底面积在变化从而判断水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线．
5. 如图，与位似，点O为位似中心，已知，周长为8，则的周长是（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用位似的性质得，，然后根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，
∴，，
∵周长为8，
∴周长：的周长，
∴的周长为，
故选：C．
【点睛】题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
6. 估计的值应在（ ）之间．
A. 6和7 B. 5和6 C. 4和5 D. 3和4
【答案】B
【解析】
【分析】先根据二次根式的运算法则将原式化简，然后根据无理数的估算进行判断即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴的值在5和6之间，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解本题的关键．
7. 将相同的“〇”按如图中的规律依次摆放，观察每幅图中“〇”的个数，则第10幅图中“〇”有（ ）个．

A. 54 B. 55 C. 65 D. 66
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知第幅图中“〇”有个，代入即可求出答案．
【详解】解：第1幅图中“〇”有个；
第2幅图中“〇”有个；
第3幅图中“〇”有个；
第4幅图中“〇”有个
．．．
第幅图中“〇”有；
∴第10幅图中“〇”有个，
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，根据题意得出第幅图中“〇”有个是解本题的关键．
8. 两年前生产某种药品的成本是65400元，现在生产该种药品的成本是55300元，设该种药品成本的年平均下降率为x，则可列方程为：（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据现在的成本两年前的成本（年平均下降率）列出方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程增长率问题，发生了两年变化，根据现在的成本两年前的成本（年平均下降率）列方程是解本题的关键．
9. 如图，在正方形中，E、F分别为边、上一点，且，连接，，平分交于点G．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质以及题目所给条件证明，然后根据全等三角形的性质以及平行线的性质得出，然后根据角平分线的定义得出，结论可得．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
在和中，
,
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．
10. 如图，△ABC中，，，O为内一点，且，，则的面积为（ ）

A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】延长交于点D，先证出，然后求出，再利用勾股定理得，进而求出，即可求得面积．
【详解】解：延长交于点D，过点O作于点M，作于点N，

∵，AO为与公共的底
∴与的高相等，即
∵，
∴是的角平分线
∵
∴为底边上的高线，即
∴
在中，利用勾股定理得
∴
∴的面积：
故选A．
【点睛】本题考查了等腰三角形和勾股定理的性质，能发现三线合一是解答此题的关键．
11. 若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A. -6 B. -4 C. -2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式组，然后根据一元一次不等式组无解确定的取值范围，最后根据分式方程的解为正数确定的值即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得：，
，
去分母得：，
解得：且，
∴或或或或，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
12. 多项式，满足，对这个多项式任意添加绝对值运算后仍然只含有减法运算，并将所得式子化简，称为“取正数运算”．例如：，…，下列说法正确的个数为（ ）
①存在“取正数运算”的结果与原多项式相等；
②存在“取正数运算”的结果一定为负数；
③所有的“取正数运算”共有8种不同的结果．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】通过添加绝对值和“取正数运算的概念”进行解答即可．
【详解】解：①由=原式，故①正确；
②要使存在“取正数运算”的结果为负，解结果需为或，而无论如何添加绝对值都不可能实现，故②错误；
③所有的“取整数运算”结果如下：
；
；






共8个结果，即③正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查了新的定义运算和绝对值的定义，根据题意理解“取正数运算”是解答本题的关键．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 计算：=______．
【答案】
【解析】
【分析】先算零指数幂，去绝对值，再算减法．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查零指数幂，绝对值．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，带入求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟知：关于的一元二次方程， 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根；是解本题的关键．
15. 如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，若▱ABCD的面积为16，且AH：HD=1：3．则图中阴影部分的面积为_______．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和平行四边形的面积，可以求得阴影部分的面积．
【详解】解：由题意可得，四边形HPFD是平行四边形，四边形AEPH、四边形PGCF均为平行四边形，且它们的面积相等，四边形EBGP是平行四边形，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为 ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质求面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16. 为了改善贫困山区儿童学习用品不足问题，某慈善组织筹集资金准备分别购买相同数量的笔和作业本捐献给甲、乙、丙三所学校．预计三所学校所需笔的数量之比为3：4：2，甲、乙两所学校所需作业本之比为2：3，其中甲、乙两所学校各需两种物品数量和之比为5：7．在实际购买时，笔和作业本的价格分别比预算上涨20%，为了保证实际所花费用与预算费用相同，决定笔的购买数量比预计减少20%，作业本的购买数量比预计减少12.5%，则实际购买笔的总费用与实际购买作业本的总费用之比为______．
【答案】
【解析】
【分析】设购买的笔和作业本的数量为单位量1，笔原单价为 x，作业本原单价为 y，根据实际所花费用与预算费用相同，得，
【详解】解：设笔原单价为 x，作业本原单价为 y，根据题意，得：
化简整理得：
∴，
∴实际购买笔的总费用与实际购买作业本的总费用之比为：




故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式．
三、解答题：（本大题共8小题，17题8分，18题8分，19−24题各10分，共76分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用完全平方公式，平方差公式展开，之后合并同类项即可；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法分式把除法变成乘法，算乘法即可．
【小问1详解】
解：


；
【小问2详解】
解：





．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，平方差公式，合并同类项，分式的化简，掌握运算法则是解题的关键．
18. 在学习平行四边形的过程中，小聪想利用平行四边形构造出一个矩形．他的思路是：在中，过点D作的垂线（小聪已完成），过B作的垂线，然后去证明三角形全等，再利用三角形全等得到的结论去说明四边形是矩形．按以上思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点B作的垂线BF，垂足为F（只保留作图痕迹）．
∵，
∴，
∵，
∴① ， ②，
∴，
∴，
又∵，
∴即：，
又，
∴③ 又，
∴④ ．
【答案】作图见解析；①；②；③四边形为平行四边形；④四边形为矩形
【解析】
【分析】以点为圆心，任意长度为半径画弧，与交于点，分别以为圆心大于长度为半径画弧，两弧交于点，连接的直线与交于点，则即为所作，然后根据题目所给信息补全步骤即可．
【详解】如图：即为所作，

∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴即：，
又，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴四边形为矩形；
故答案为：①；②；③四边形为平行四边形；④四边形为矩形．
【点睛】本题考查了尺规作图－作垂线，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定等知识点，熟练掌握尺规作图的方法是解本题的关键．
19. 2022年9月，九龙坡区“三捐集花日行一善”公益嘉年华活动开始，每人每天可通过“答题捐”、“走路捐”、“一元捐”方式进行捐助集花．某公司为了解9月甲、乙两个部门参与集花的情况，从甲、乙两个部门各抽取10人，记录下集花的数量（单位：朵），并进行整理、描述和分析（集花数量用x表示，共分为四组：A：0£x<15，B：15£x<30，C：30£x<45，D：45£x£60），下面给出了部分信息：
甲部门10人的集花数量：14，25，28，38，40，40，42，50，53，60
乙部门10人的集花数量在C组中的数据是：39，43，44，44
抽取的甲、乙两个部门集花数量统计表
部门
平均数
中位数
众数
甲
39
40
a
乙
39
b
44
抽取的乙部门集花数量扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=___，b=___，m=___．
（2）9月甲部门共有100人参与集花活动，乙部门共有120人参与集花活动，估计该月甲、乙两个部门集花数量在C组的一共有多少人？
（3）根据以上数据，你认为哪个部门参与9月集花活动的积极性更高？请说明理由（写出一条即可）．
【答案】（1）40、41、30
（2）估计该月甲、乙两个部门集花数量在C组的一共有88人
（3）乙更积极，因为甲乙平均数相同，而乙的中位数和众数均大于甲年级．
【解析】
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出m的值；
（2）用样本估计总体即可；
（3）乙更积极，因为甲乙平均数相同，而乙的中位数和众数均大于甲年级．
【小问1详解】
解：甲集花数量出现次数最多的是40，故众数a=40；
∵D组人数为
∴乙从大到小排列，排在中间的两个数位于C组，为第5名和第6名，
则中间两个数即39、43，故中位数，
由题意可得，
即；
故答案为：40、41、30．
【小问2详解】
人
故估计该月甲、乙两个部门集花数量在C组的一共有88人．
小问3详解】
乙更积极，因为甲乙平均数相同，而乙的中位数和众数均大于甲年级．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
20. 已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，．

（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图像；
（2）过B作轴，垂足为C点，点D在第一象限的反比例函数图像上，连接，若，求点D的坐标；
（3）直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）一次函数的解析式为，图形见解析
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数解析式求出点和点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）画出图形得出的长度，然后根据三角形的面积求出点的纵坐标，代入反比例函数解析式可得结果；
（3）直接根据函数图像可得结果．
【小问1详解】
解：∵反比例函数过点，，
∴，
∴，
∴，，
∵一次函数的图像过点和点,
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
一次函数的图像如下：
；
【小问2详解】
过B作轴，

∴,
∵，
∴的边上的高，
∵点D在第一象限的反比例函数图像上，
∴点的纵坐标为，
∴点的横坐标为，
∴的坐标为；
【小问3详解】
根据一次函数图像和反比例函数图像可知，
关于x的不等式的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方的部分，
∴关于x的不等式的解集为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像与性质是解本题的关键．
21. 如图所示，A、B、C三地在同一直线上，已知A、B两地分别与C地的距离为10km和8km，甲、乙两人分别从A、B两地同时匀速前往C地．

（1）若甲、乙的速度之比为3：2，则甲出发40分钟后追上乙，求甲的速度；
（2）若甲在距离C地2km处追上乙，结果甲比乙提前5分钟到达C地，求甲的速度．
【答案】（1）甲得速度为
（2）甲的速度为
【解析】
【分析】（1）先求出A、B两地的距离，设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设甲得速度为，乙得速度为，根据甲在距离C地2km处追上乙，可得出之间的关系，然后根据甲比乙提前5分钟到达C地，列出分式方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵A、B两地分别与C地的距离为10km和8km，
∴A、B两地相距，
设甲的速度为，乙的速度为，
则根据题意得：，
解得：，
∴甲得速度为，
答：甲得速度为；
【小问2详解】
解：设甲得速度为，乙得速度为，
∵甲在距离C地2km处追上乙，
∴甲和乙在相同的时间内分别走了和，
则：，
整理得：，
∵甲比乙提前5分钟到达C地，
则：，
将代入得：，
解得：，
经检验，是原分式方程得解，
∴甲的速度为，
答：甲的速度为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，读懂题意，根据题意列出方程是解本题的关键．
22. 如图所示，在大楼的正前方有一斜坡 （坡角），在它们之间有一片水域，现要测量大楼的高度．小明在斜坡上的点D处利用热气球探测器测得楼顶点B处的仰角为；当热气球探测器竖直向上上升到点F处，测得楼顶点B处的仰角为 ；已知米，米，其中点在同一直线上．（参考数据：，）

（1）求斜坡的高度（精确到十分位）；
（2）求大楼的高度（精确到十分位）．
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】（1）根据题意可得是等腰直角三角形，然后根据勾股定理可得结果；
（2）过点作于点，过点作于点，先证明是等腰三角形，可得，然后根据所对的直角边等腰斜边的一半可得的值，然后根据矩形的判定与性质得出，，结果可得．
【小问1详解】
解：∵米，，
∴是等腰直角三角形，
设，则根据勾股定理得：，
解得：米（负值舍去），
∴米；
【小问2详解】
过点作于点，过点作于点，

∵，，，
∴，，
∴，
即，
∴米，
在中， ，，
∴米，
∵，
∴四边形矩形，
∴米，
同理可得：米，
∴米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，所对直角边等于斜边的一半等知识点，读懂题意，熟练掌握相关定理是解本题的关键．
23. 若一个各数位上数字均不为0的四位数M的千位数字大于百位数字，且千位数字与百位数字和的平方等于十位数字与个位数字组成的两位数，则称这个四位数M为“完全平方和数”．
例如：，∵且，∴3116是“完全平方和数”；
又如：，∵但，∴7295不是“完全平方和数”．
（1）判断5481，9185是否是“完全平方和数”，并说明理由．
（2）一个“完全平方和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，．当与均能被2整除时，求出所有满足条件的M．
【答案】（1）5481是“完全平方和数”； 9185不是“完全平方和数”
（2）满足条件的M的值为：或或
【解析】
【分析】（1）根据“完全平方和数”的定义进行解答即可；
（2）根据与均能被2整除，可得均为偶数，同奇或同偶，根据“完全平方和数”的定义取值即可．
【小问1详解】
解：∵且，
∴5481是“完全平方和数”；
∵且，
∴9185不是“完全平方和数”；
小问2详解】
根据题意可得：，
∵与均能被2整除，
要满足能被整除，
则同奇同偶，
∴
，
其中、、均能被整除，
∴必然能被整除，即为偶数，
∴均为偶数，
∴为偶数，
∴也为偶数，
∴同奇或同偶，
根据“完全平方和数”可知，，
当时，，则，c，d不满足均为偶数；
当时，，则，不满足均为偶数；
当时，或，则或，
故满足题意；
当，，则，
故满足题意；
当时，，则，
故满足题意；
当时，没有满足题意得的值，
综上：满足条件的M的值为：或或．
【点睛】本题考查了数的整除性，用新定义解题，理解新定义以及运用分类讨论的思想解题是关键．
24. 如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中，．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
（3）在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）
（2）3，
（3），，
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴，交CB于点H，过点C作，得，从而得到，根据为等腰直角三角形，再结合二次函数的解析式，将换算为，最后结合二次函数的图形性质即可得到△PBC面积的最大值；
（3）根据不同的情况展开讨论，通过全等三角形的性质计算出点N的横坐标，再根据二次函数的解析式计算出纵坐标即可．
【小问1详解】
解：∵过点，，
∴ ，
解方程组得，
∴该抛物线的函数表达式为：；
【小问2详解】
解：如下图所示，过点P作轴，交CB于点H，过点C作，垂足为E，

∵，，，
∴
∵，
∴,
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴当时，最大，且最大值为；
【小问3详解】
解：∵当时，，
∴点，
∵，
∴抛物线的对称轴为，
当时，，
解得，
∴点，
∴，
如下图所示，当四边形AMPN为平行四边形时，作PF垂直对称轴，垂足为F，过点N作轴，垂足为E，

由题意得，
∵，
∴NF、AM、MF、NP构成的四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
设点，
∴，，
∴点；
如下图所示，当四边形AMNP为平行四边形时，作NE垂直对称轴，垂足为E，过点P作轴，垂足为F，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点，
∴，，
∴点；
如下图所示，当四边形ANMP为平行四边形时，作PF垂直对称轴，垂足为F，过点N作轴，垂足为E，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点，
∴，，
∴点；
故符合条件的点N的坐标为：，，．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是通过待定系数法求出二次函数的解析式，灵活运用二次函数的顶点式，掌握将三角形面积的最值转换成二次函数最值的方法，根据平行四边形的多种情况展开讨论，此题属于典型题．
四、（解答题：（本大题共1小题，共10分）解答时每小题必给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25. 在中，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接．

（1）如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度；
（2）如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：；
（3）如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得和均为等腰直角三角形，先求出的长度，根据等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上中线的性质得出，根据点D恰好为中点可得的长度，根据勾股定理求出的长度，则结果可得；
（2）在上取一点，使得，连接，根据可得四点共圆，则根据圆周角定理证明，然后证明，则可得，根据等腰直角三角形的性质可得结论；
（3）作点关于的对称点，作点关于的对称点，得出四点共圆，然后证明点是的外接圆圆心，从而证明和均为顶角为的等腰三角形，然后根据等腰三角形性质以及等腰直角三角形的性质将进行等量代换即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵中，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是的中点，
∴，
∵点D恰好为中点，
∴,
在中，，
∵将绕着D点逆时针方向旋转得到，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
【小问2详解】
根据题意可知均为等腰直角三角形，
在上取一点，使得，连接，

∵，
∴四点共圆，
∵，，
∴为直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小问3详解】
根据题意可知：和均等腰直角三角形，
∴，，
作点关于的对称点，

∵平分，
∴，
∴,
即当时，取得最小值，
∵，
∴四点共圆，
∵,
∴，
∵沿直线得到，
∴，
∴，
∴点是的外接圆圆心，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴和均为顶角为的等腰三角形，
∴，
即：，
∴，
则，
即．
【点睛】本题考查了三角形综合题，全等三角形的判定与性质，四点共圆，等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，折叠的性质以及旋转的性质，熟练掌握以上知识点是解本题的关键，本题设计知识点较多，难度较大．