2022-2023学年福建省龙岩二中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省龙岩二中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.若代数式有意义，则实数的取值范围是( )
A. B. C. 且D. 且
3.下列式子中，与为同类二次根式的是
( )
A. B. C. D.
4.在下列以线段，，的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( )
A. ，，B. ，，
C. ：：：：D. ，
5.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是正方形
D. 当时，它是矩形
6.如图，数轴上点所表示的数为，则的值是( )
A. B. C. D.
7.顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为和的菱形，它的中点四边形的对角线长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在菱形中，对角线、相交于点，若，，则菱形的周长为( )
A. B. C. D.
9.如图，在平行四边形中，，的平分线与的平分线交于点，若点恰好在边上，则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，则点到的距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.______．
12.如图，在中，点、分别是、边的中点，若，则线段______．
13.如图，在▱中，，则的度数为______．
14.在中，，，，如果，满足，那么的形状是______．
15.如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为______．
16.如图，四边形纸片中，点，分别在边，上，将纸片沿直线折叠，点恰好落在点处；再将，分别沿，折叠，点，均落在上的点处．
的大小为______；
若四边形是菱形，点为中点且四边形纸片的面积是，则______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
如图，四边形是平行四边形，点、在对角线上，，分别平分和，证明：．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
如图，是菱形的对角线，．
请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；不要求写作法，保留作图痕迹
在的条件下，连接，求的度数．
21.本小题分
如图，在四边形中，，，，，．
求证：；
求四边形的面积．
22.本小题分
如图，在▱中，，，垂足分别为，，且．
求证：▱是菱形；
若，，求▱的面积．
23.本小题分
在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
．
，．
．
，．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
化简：；
若，求的值．
24.本小题分
如图，已知，，．

求证：四边形为矩形；
为的中点，在上取一点，使．
如图，若为中点，，求的长；
如图，若，，求的长．
25.本小题分
已知，如图，在正方形中，点、分别是边、上的动点．
如图，若，垂足为，求证：；
如图，点是边上一点，且，垂足为．
判断与是否相等？并说明理由；
如图，若垂直平分，交对角线交于点，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
解：、原式，故此选项不符合题意．
B、原式，故此选项不符合题意．
C、是最简二次根式，故此选项符合题意．
D、原式，故此选项不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分别判断得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
2.【答案】
解：由题意可知：
，
且，
故选：．
根据分式、二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
3.【答案】
解：、与不是同类二次根式，故A不符合题意；
B、，与是同类二次根式，故B符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故D不符合题意；
故选：．
根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．
根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边的平方和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
【解答】
解：、，，能构成直角三角形；
B、，，不能构成直角三角形；
C、设，，，则，，能构成直角三角形；
D、，，能构成直角三角形．
故选B．
5.【答案】
解：、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据菱形、矩形、正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
6.【答案】
解：直角三角形斜边长，
点表示的数为．
故选：．
本题可以通过勾股定理及数轴上的运算求解．
本题考查数轴上点的运算及勾股定理，解题在直角三角形中利用勾股定理求解．
7.【答案】
解：、、、分别为各边中点，
，，，．
，
，
四边形是矩形，
，，
．
故选：．
顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，问题得解．
本题考查菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半以及勾股定理的运用．
8.【答案】
解：四边形是菱形，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
菱形的周长为，
故选：．
根据菱形的性质得到，，再根据勾股定理和含度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键．
9.【答案】
解：、 分别平分 和，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
同理可证，，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，，可得，再根据勾股定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
10.【答案】
解：在正方形中，，，
点是的中点，，
，
，
，
在中，，
，
的面积，
是斜边的中点，
面积，
设点到的距离为，则，
，
解得，
点到的距离为．
故选：．
由正方形的性质及三角形的中位线的性质可求得，利用勾股定理及直角三角形的斜边上的中线的性质可求解，的长，进而求出面积为，设点到的距离为，则，可得点到的距离．
本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、点到直线的距离、勾股定理等知识，解题的关键是求出面积，用等面积法解决问题．
11.【答案】
解：．
故答案为．
先把的分子分母都乘以得到，再利用二次根式的除法法则得到，然后利用二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：也考查了二次根式的除法．
12.【答案】
解：点，点分别是，边的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】
解：四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角性质是解题关键．
14.【答案】直角三角形
【解析】【解答】
解：，
，
即，
是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【分析】
由，推出，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
15.【答案】
解：如图，连接，
根据作图过程可知：是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，，
，
，
在中，，，，
，
解得．
故答案为：．
根据作图过程可得是的平分线，然后证明≌，再利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了矩形的性质，作一个角的平分线，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
16.【答案】
解：如图，由翻折的性质得：
，，，，，
，
，
四边形内角和为，
，
，
，
．
故答案为：；
四边形是菱形，
，，
点为中点，
，
设，则，
，
四边形纸片的面积是：，
解得：，
．
故答案为：．
由翻折的性质得：，，，，，再结合四边形内角和为，即可求出；
由边形是菱形得、，由点为中点，，设，勾股定理求出，由四边形纸片的面积解出，即可求得．
本题主要考查了翻折的性质、四边形内角和、菱形的性质，利用翻折性质：对应角相等、对应边相等是本题的关键．
17.【答案】解：原式
；
原式

．
【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先进行二次根式的乘法和除法法则计算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，．
．
，分别平分和，
，．
，
．
在与中，
，
≌．
．
【解析】先由平行四边形的性质得到，，，求得，再证≌，然后由全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
19.【答案】解：原式

，
当时，原式．
【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，求出后代入，即可求出答案．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20.【答案】解：如图所示，直线 即为所求；
四边形 是菱形，
，，
．
又，
．
，
垂直平分线段，
．
．
．
【解析】分别以、为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
利用菱形的性质得，，则，再利用平行线的性质得，接着根据线段垂直平分线的性质得，则，然后计算即可．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
21.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
是直角三角形，即是直角，
；
解：


．
【解析】连接，根据勾股定理可知，再根据即可得出结论；
根据即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在与中，
≌，
，
四边形是菱形．
连接交于．
四边形是菱形，，
，
，
，，
，
，
．
【解析】利用全等三角形的性质证明即可解决问题；
连接交于，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；
本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：原式

；



．


．
原式


．
【解析】分子、分母都乘以，化简得结果；
表示数的分子、分母都乘以，化简后代入代数式里，计算得结果．
本题考查了二次根式的运算，掌握分母有理化和二次根式的运算法则是解决本题的关键．
24.【答案】证明：如图中，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是矩形．
如图中，延长、交于点．
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
如图中，延长、交于点．
由可知，≌，，
，，设，则，
，
，
．
【解析】只要证明即可．
如图中，延长、交于点，只要证明≌，得到，再证明即可解决问题．
如图中，延长、交于点设，则，由此列出方程即可解决问题．
本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线．构造全等三角形，属于中考考查图形．
25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
；
解：；理由如下：
作于，如图所示：
则，，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
；
；理由如下：
连接、，过作于，交于，如图所示：
则，，，
则，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
垂直平分，
，，
在和中，，
≌，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由得：，
，
．
【解析】由证明≌，即可得出结论；
作于，则，，由证明≌，即可得出结论；
连接、，过作于，交于，则，，，则，证明是等腰直角三角形，得出，证出，由线段垂直平分线的性质得出，，由证明≌得出，证出，得出是等腰直角三角形，得出，证出是等腰直角三角形，得出，由得：，得出，即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．