【同步讲义】北师大版数学七年级下册：3.1-3.3 用表格、关系式、图象表示变量之间的关系 讲义
展开3.1-3.3 用表格、关系式、图象表示变量之间的关系
变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】1）变量可变，而常量不变。
2）常量和变量的区分：在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
| 优点 | 缺点 |
关系式法 | 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 | 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 |
列表法 | 自变量和与它对应的函数值数据一目了然
| 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 |
图象法 | 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 | 图像中只能得到近似的数量关系 |
【题型一】用表格表示变量之间的关系
【典题】（2022春·四川广元·七年级校考期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（cm）与所挂的物体的质量（kg）间有下面的关系：
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
10 | 10.5 | 11 | 11.5 | 12 | 12.5 |
下列说法不正确的是（ ）
A．与都是变量，且是自变量，是因变量
B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm
D．与之间的关系式为
巩固练习
1（）（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间有如表关系：
x（kg） | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y（cm） | 10 | 10.5 | 11 | 11.5 | 12 | … |
下列说法不正确的是（ ）
A．在弹性限度内，y随x的增大而增大
B．在弹性限度内，所挂物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm
C．在弹性限度内，所挂物体为7kg时，弹簧长度为13.5cm
D．不挂重物时弹簧的长度为0cm
2（）（2022春·辽宁沈阳·七年级统考期末）某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如下图所示：
支撑物高度h（cm） | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
小车下滑时间t（s） | 4.23 | 3.00 | 2.45 | 2.13 | 1.89 | 1.71 | 1.59 |
根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（ ）
A．支撑物的高度为50cm，小车下滑的时间为1.89s
B．支撑物的高度h越大，小车下滑时间t越小
C．若支撑物值高度每增加10cm，则对应的小车下滑时间的变化情况都相同
D．若小车下滑的时间为2.5s，则支撑物的高度在20cm至30cm之间
3（）（2022春·内蒙古包头·七年级统考期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度y与空气温度x关系的一些数据
温度x(/C) | - 20 | - 10 | 0 | 10 | 20 | 30 |
声速y(/m/s) | 318 | 324 | 330 | 336 | 342 | 348 |
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m
D．温度每升高10℃，声速提高6m/s．
4（）（2022春·陕西西安·七年级校考期末）小明一家自驾车到离家的某景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了行驶路程与油箱余油量之间的部分数据：
行驶路程 | … | |||||
油箱余油量 | … |
下列说法不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶 耗油
C．油箱余油量与行驶路程之间的关系式为
D．当小明一家到达景点时，油箱中剩余油
5（）（2022春·广东佛山·七年级统考期末）如图，正方形边长为12cm，在四个角分别剪去全等的等腰直角三角形．当三角形的直角边由小变大时，阴影部分的面积变化如下表所示：
三角形的直角边/cm | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
阴影部分的面积 | 142 | 136 | 126 | 112 | 94 | 72 |
若等腰直角三角形的直角边长为3cm，则图中阴影部分的面积是______．
6（）（2022春·广东揭阳·七年级校考期末）某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如表：
t（小时） | 0 | 1 | 2 | 3 |
y（升） | 120 | 112 | 104 | 96 |
由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶_____小时，油箱的余油量为0．
7（）（2022春·江西九江·七年级统考期中）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：）之间有如下关系（其中）：
提出概念所用的时间x | 2 | 5 | 7 | 10 | 12 | 13 | 14 | 17 | 20 |
学生对概念的接受能力y | 47.8 | 53.5 | 56.3 | 59.0 | 59.8 | 59.9 | 59.8 | 58.3 | 55.0 |
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当提出概念所用的时间是时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据回答：当提出概念所用的时间是几分钟时，学生的接受能力最强？
(4)根据表格中的数据回答：当x在什么范围内时，学生的接受能力在增强？当x在什么范围内时，学生的接受能力在减弱？
8（）（2022春·山西晋中·七年级统考期中）据统计，某公交车每月的支出费用为3000元，每月利润（利润＝票款收入－支出费用）（元）与每月的乘车人数（人）的变化关系如下表所示（公交车票价固定不变）．
每月的乘车人数/人 | 600 | 900 | 1200 | 1500 | 1800 | … |
每月利润/元 | －1800 | －1200 | －600 | 0 | 600 | … |
(1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)观察表中数据可知，每月乘车人数达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
(3)由表中数据可推断出该公交车的票价为 元；
(4)求每月乘车人数为5000人时的每月利润．
【题型二】用关系式表示变量之间的关系
【典题】（2022春·重庆·七年级校考期中）若三角形底边长为a，底边上的高为h，则三角形的面积S＝ah．若h为定长，则（ ）
A．S，a是变量，，h是常量 B．S，h，a是变量，是常量
C．S，是常量，a，h是变量 D．以上答案均不对
巩固练习
1（）（2022春·四川达州·七年级统考期末）甲以每小时的速度行驶时，他所走的路程与时间之间的关系式可表示为，则下列说法正确的是（ ）
A．数18，6和s，t都是变量 B．s是常量，数18，6和t是变量
C．数18，6是常量，s和t是变量 D．t是常量，数18，6和s是变量
2（）（2022春·四川广元·七年级统考期末）在圆的周长计算公式中，对于变量和常量的说法正确的是（ ）
A．2是常量，，，是变量 B．2，是常量，，是变量
C．2，，是常量，是变量 D．2，，是常量，是变量
3（）（2022春·山西运城·七年级统考期中）某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费6元，超过3千米后，每超1千米就加收1元．若某人乘出租车行驶的距离为千米，则需付费用为元与（千米）之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
4（）（2022春·四川成都·七年级统考期中）某汽车油箱中盛有油100L，装满货物行驶的过程中每小时耗油8L，则油箱中的剩油量Q（L）与时间t（h）之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
5（）（2022春·山东青岛·七年级统考期中）某商店销售一批玩具时，其收入y（元）与销售数量x（个）之间有如下关系：
销售数量x（个） | 1 | 2 | 3 | 4 | …… |
收入y（元） | 8＋0.3 | 16＋0.6 | 24＋0.9 | 32＋1.2 | …… |
则收入y与销售数量x之间的关系式可表示为（ ）
A． B． C． D．
6（）（2022春·陕西西安·七年级校考期中）某市倡导低碳生活，节约用电节能环保，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过150度时，按0.5元每度计费；月用电量超过150度时，其中的150度仍按0.5元每度计费，超过部分按0.65元每度计费．设每户家庭月用电量为度时，则应交电费与之间的关系式为____．
7（）（2022春·辽宁铁岭·七年级统考期末）某辆汽车油箱中有油40升，开始行驶后每小时耗油8升，则油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系式是______．
8（）（2022春·广东深圳·七年级校考期中）写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围：
(1)圆的周长是半径的函数；
(2)火车以千米/时的速度行驶，它驶过的路程（千米）是所用时间（时）的函数；
(3)边形内角和的度数S是边数的函数．
【题型三】用图象表示变量之间的关系
【典题】（2022春·福建漳州·七年级福建省诏安县第二实验中学校考期中）甲、乙两人在一次赛跑中，路程s（米）与时间t（秒）的关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．甲的速度为8米/秒 B．甲比乙先到达终点
C．乙跑完全程需12.5秒 D．这是一次100米赛跑
巩固练习
1（）（2022春·陕西西安·七年级校考期末）小明从家骑自行车上学，先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，途经超市时，买文具用了5分钟，为按时到校，再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校．设小明骑自行车的速度为v（千米/分），离家路程为s（千米），上学时间为t（分）．下列图象能表达这一过程的是（ ）
A． B． C．D．
2（）（2022春·广东佛山·七年级统考期末）甲、乙两车沿同一条路从地出发匀速行驶至相距的地，甲出发1小时后乙再出发，如图表示甲、乙两车离开地的距离与乙出发的时间之间的关系，下列结论错误的是（ ）
A．甲车的速度是 B．乙车的速度是
C．的值为60，的值为4 D．甲车出发后被乙车追上
3（）（2022春·四川达州·七年级校考期中）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．则体育场离张强家_____千米，张强在体育场锻炼了_____分钟，张强从早餐店回家的平均速度是_____千米/小时．
4（）（2022春·四川达州·七年级校考期中）如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1、y2（千米）与行驶时间 x（时）的关系如图2所示．
(1)A，B两地之间的距离为 千米；
(2)图中点M代表的实际意义是什么？
(3)分别求出甲，乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离点C多少千米．
5（）（2022春·福建漳州·七年级福建省诏安县第二实验中学校考期中）如图，是骆驼的体温随时间变化而变化的的关系图，据图回答下列问题：
(1)一天中，骆驼体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？
(2)从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？
(3)在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？
(4)A点表示的是什么？
6（）（2022春·四川·七年级校考期中）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园． 如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）图中自变量是____，因变量是______；
（2）小明家到滨海公园的路程为____km，小明在中心书城逗留的时间为____ h；
（3）小明出发______小时后爸爸驾车出发；
（4）图中A点表示___________________________________；
（5）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为______km/h，小明爸爸驾车的平均速度为______km/h；（补充；爸爸驾车经过______追上小明）；
（6）小明从家到中心书城时，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为________．
