数学九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数精品当堂达标检测题

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2022-2023学年九年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第22章《二次函数》
22.3 实际问题与二次函数

知识点01：二次函数的实际应用—几何问题
1．（2021九上·涟水月考）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）.如果、分别从、同时出发，那么经过（　　）秒，四边形的面积最小.

A．0.5 B．1.5 C．3 D．4
【答案】B
【完整解答】解：设移动时间为x秒，四边形APQC的面积为，
由题意得：，，
，
，
，
，
整理得：，
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，
即经过秒，四边形APQC的面积最小，
故答案为：B.
【思路引导】设移动时间为秒，四边形APQC的面积为，再求出BQ和把AP表示出来，根据列出函数式，再根据二次函数的性质求最小值即可.
2．（2021九上·交城期中）如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊥BD，CE= BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【完整解答】解： AB=AD，△ABD的周长为20cm，设





故答案为：C
【思路引导】用含x的表示方法表示出再利用三角形的面积公式列出方程即可。
3．（2021九上·平邑期中）如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】∵正六边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，
∴y= =2πx2（0＜x≤5）．
当x=5时，y=2π×25=50π．
故答案为：A．

【思路引导】根据正六边形的性质可得：阴影部分的面积为两个半径为x的圆的面积，再利用圆的面积公式可得y= =2πx2（0＜x≤5），再根据解析式即可得到函数图象。
4．（2021九上·普陀期末）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， 的半径为2． 为 上一动点， 为 的中点，则 的最小值为　 　， 的最大值为　 　．

【答案】3；
【完整解答】解：如图，

当y=0时 ，
解之：x1=-4，x2=4，
∴点A（-4，0），点B（4，0），
∴OB=OA=4，
当x=0时y=3，
∴点C（0，3）
∴OC=3；
∵圆C的半径为2，
∴CG=2，
∵点P为AG的中点，点O为AB的中点，
∴，
∴当BG最大时OP的值最大，
∴当点B，C，G在同一直线上时，BG最大即OP的值最大，
在Rt△BOC中

∴BG=CG+BC=2+5=7
∴OP的最大值为；
如图，

连接AC交圆C于点G1，则点G与点G1重合，此时AG的长最短，
∵OC垂直平分AB，
∴AC=BC=5，
∴AG的最小值为5-2=3.
故答案为：3，.
【思路引导】利用函数解析式，由y=0可求出点A，B的坐标，从而可求出OA，OB的长；由x=0求出y的值，可得到点C的坐标，即可得到OC的长；再利用三角形的中位线定理可证得；当BG最大时OP的值最大，当点B，C，G在同一直线上时，BG最大即OP的值最大，利用勾股定理可求出BG的长，即可得到OP的最大值；连接AC交圆C于点G1，则点G与点G1重合，此时AG的长最短，可得到AC的长，然后求出AG的最小值.
5．（2021九上·运城期末）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用米的长篱笆围成，则矩形面积的最大值是　 　平方米．

【答案】
【完整解答】解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：S=x（16-2x）=-2x2+16x=-2（x-4）2+32，
∴当x=4时，S取得最大值，此时S=32，
即，与墙垂直的矩形的边长为4m时，矩形ABCD面积的最大值是32平方米．
故答案为：32．

【思路引导】设与墙垂直的矩形的边长为xm，根据题意列出函数解析式S=x（16-2x）=-2x2+16x=-2（x-4）2+32，再利用函数的性质求解即可。
6．（2021九上·宁波月考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 是抛物线 y=2x2+bx 上一点，顶点 B 的横坐标是1，当△AOB 是直角三角形时，点 A 的坐标为　 　．

【答案】 或 或
【完整解答】解：∵顶点 B 的横坐标是1，

解之：b=-4
∴抛物线的解析式为：y=2x2-4x=-2（x-1）2+2，
∴点B（1，2）
设点A（m，2m2-4m），
∴OA2=m2+（2m2-4m）2，OB2=22+1=5，AB2=（m-1）2+（2m2-4m+2）2
当AB2+OB2=OA2时
∴（m-1）2+（2m2-4m+2）2+5=m2+（2m2-4m）2，
整理得：4m2-9m+5=0
解之：m1=，m2=1（舍去），
∴2m2-4m=
∴点A；
当∠OAB=90°时，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作EM⊥y轴于点E，交NA的延长线于点M，

∴∠ONA=∠AMB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，∠NAO+∠BAM=90°，
∴∠ABM=∠NAO，
∴△NAO∽△ABM，
∴
设ON=a，NA=c，
∴AM=2-c，BM=a-1，点A（a，-c）
∴-c=2a2-4a，
∴
∴a2-a=2c-c2，
解之：
∴点A（）；
当OB2+OA2=AB2时，
5+m2+（2m2-4m）2=（m-1）2+（2m2-4m+2）2，
整理得：4m2-9m=0
解之：m1=，m2=0
当m=时，2m2-4m=
∴点A .
∴点A或或.
故答案为：或（或.
【思路引导】利用顶点的横坐标为1，可求出b的值，即可得到函数解析式，利用函数解析式求出顶点B的坐标；设点A（m，2m2-4m），利用勾股定理分别表示出AB2、OB2、OA2，利用勾股定理分情况讨论：当AB2+OB2=OA2时；当OB2+OA2=AB2时；分别建立关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，即可得到点A的坐标；当∠OAB=90°时，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作EM⊥y轴于点E，交NA的延长线于点M，易证△NAO∽△ABM，利用全等三角形的性质可得对应边成比例，设ON=a，NA=c，可表示出AM，BM的长，同时可得到点A的坐标，将点A的坐标代入函数解析式，可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，可得点A的坐标；综上所述可得到符合题意的点A的坐标.
7．（2020九上·安庆期末）如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 的住房墙，另外三边用 长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？

【答案】解：设猪舍的宽为 ，则长为 ，
由题意得 ，
对称轴为 ，
， ，
，
在 中，
∵ ，
∴在对称轴右侧 随着 的增大而减小，
所以当 米时，
即矩形猪舍的长、宽分别为12米、8米时，猪舍的面积最大，
最大面积是96平方米．
【思路引导】设猪舍的宽为 ，则长为 ， 根据矩形的面积公式建立函数解析式求出其最值即可。
8．（2019九上·长兴月考）如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G。点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF。

（1）求证：CG=2AG；
（2）若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长；
（3）若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动。当一个点到达，另一个随即停止运动。在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值。
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中,AB∥DC,
∴∠DCG=∠MAG,∠CDG=∠AMG,
∴△AGM∽△CGD, ∴
∵点M是边AB的中点,∴DC=AB=2AM,
∴=2,CG即CG=2AG
（2）证明：在Rt△ADC中,由勾股定理得AC= ,由(1)得,CG=2AG,:CG= AC=4 同理可得DG=10
①当∠DEF=∠DCG时,△DEF∽△DCG
∴ 即 ,解得EF=
②当∠DEF=∠DGC时,△DEF∽△DGC
∴ ,即 ,解得EF=
（3）证明：作GH⊥DC,FN⊥DC,

∵∠DNF=∠DAM,∠NDF=∠AMD,∴△DNF∽△MAD
∴ 即 ，解得NF=
∵S四边形CEFG=S△DCG-S△DEF=
∴所以当t=5时,S四边形CEFG最小=52
【思路引导】（1）利用矩形的性质及平行线的性质，可证得∠DCG=∠MAG，,∠CDG=∠AMG，△AGM∽△CGD，再利用相似三角形的对应边相等，可得比例线段，然后证明DC=AB=2AM，即可证得CG与AG的数量关系。
（2）利用勾股定理，分别求出AC、DG的长，再分情况讨论：①当∠DEF=∠DCG时，△DEF∽△DCG；②当∠DEF=∠DGC时，△DEF∽△DGC，分别利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求出EF的长。
（3）作GH⊥DC,FN⊥DC，易证△DNF∽△MAD，可证对应边成比例，求出NF的长，再根据 S四边形CEFG=S△DCG-S△DEF，可得到S与t的函数解析式，再利用二次函数的性质，可求出四边形CEFG的面积的最小值。
知识点02：二次函数的实际应用—销售问题
9．（2021九上·江干月考）某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（　　）元。
A．3元 B．4元 C．5元 D．8元
【答案】B
【完整解答】解：设每件降价x元，每天获得的利润为w元，
则
.
，
时， ，
故答案为：B.
【思路引导】设每件降价x元，每天获得的利润为w元，根据总利润=单件利润×销售量可得w与x之间的函数关系式，配成顶点式并根据二次函数的性质可求解.
10．（2020九上·垦利期末）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元．
A．60 B．65 C．70 D．75
【答案】C
【完整解答】解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故答案为：C．
【思路引导】先求出w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，再计算求解即可。
11．（2020九上·安新期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为 （元/千克）（ ，且 是按0.5的倍数上涨），当日销售量为 （千克）．有下列说法：
①当 时， ② 与 之间的函数关系式为 ③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
【答案】B
【完整解答】当 时， ，故①符合题意；
由题意得： ，故②符合题意；
日销售利润为 ，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴ 不合题意，
即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③不符合题意；
由上问可知： ，
即 ，
∵ ，
∴当 时， ，
即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④符合题意；
故正确的是①②④；
故答案为：B．

【思路引导】利用“每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克 ”列出y和x的函数关系式，再利用“总利润=每件利润×数量”可得w和x的函数关系式，再逐项判断即可。
12．（2021九上·平谷期末）某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1-8月份这种药材售价（元）与月份之间存在如下表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断　 　 月份出售这种药材获利最大．
月份
...
3
6
...
每千克售价
...
8
6
...

【答案】5
【完整解答】解：设每千克的售价是y元，月份为x，则可设
把（3，8），（6，6）代入得，
解得，
∴
设每千克成本是z元，根据图象可设
把（3，4）代入，得
∴
∴
∴设利润为w，则有：

∵
∴有最大值，
∴当x=5时，w有最大值，
∴5月份出售这种药材获利最大．
故答案为：5

【思路引导】先求出售价的函数解析式，再求出成本的函数解析式再设利润为w，列出函数解析式，最后利用抛物线的性质求解即可。
13．（2020九上·黄岛期末）为庆祝嫦娥五号登月成功，某工艺厂生产了一款纪念品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．则该工艺厂将每件的销售价定为　 　元时，可使每天所获销售利润最大．
【答案】80
【完整解答】解：设销售单价降低x元时，则销售单价是（100-x）元时，每天获利y元．
根据题意，得
y=（100-50-x）（50+5x）
=-5x2+200x+2500
=-5（x-20）2+4500
∵-5＜0，当x=20时，y有最大值，
即100-x=80，80＞50，
答：当销售单价是80元时，每天获利最多．
故答案为80．

【思路引导】设销售单价降低x元时，则销售单价是（100-x）元时，每天获利y元．根据题意列出y=（100-50-x）（50+5x），即可求解。
14．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为　 　元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
【答案】22
【完整解答】解：设定价为x元，
根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）]
=﹣2x2+88x﹣870
∴y=﹣2x2+88x﹣870，
=﹣2（x﹣22）2+98
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=22时，y最大值=98．
故答案为：22
【思路引导】理解题意，根据利润等于销量乘以单价的等量关系列出函数关系式，再配方找出自变量为多少时函数有最大值
15．（2021九上·任城期中）某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费80元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高10元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以10元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天应提高多少元？
【答案】解：设每张床位提高x个10元，每天收入为y元．
则有y＝（80+10x）（100﹣10x）
＝﹣100x2+200x+8000．
当x＝﹣ ＝1时，可使y有最大值．
则x＝1时，y＝8100，
答：每张床位每天应提高10元．
【思路引导】设每张床位提高x个10元，每天收入为y元，根据题意列出函数解析式y＝（80+10x）（100﹣10x），再利用二次函数的性质求解即可。
16．（2021九上·甘井子月考）某商品现在的售价每件60元，每星期可卖出300；市场调查发现，每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品进价为40元，如何定价，才能使利润最大？
【答案】解：设每件商品降价 元时，对应的利润为 元，据题意得 ，
其中 ，整理得 ．
配方得 ．
，
∴当 时， 有最大值6125．
∴ ．
答：当商品定价为57.5元时，利润最大．
【思路引导】先求出 ， 再求出 当 时， 有最大值6125，最后计算求解即可。
17．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为 ，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．

（1）请直接写出k1、k2和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
【答案】（1）解：将x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；
将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y2=k2x+b，得： ，
解得：
（2）解：当0≤x＜600时，
W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，
∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500，
∴当x=500时，W取得最大值为32500元；
当600≤x≤1000时，
W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，
∵﹣0.01＜0，
∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，
∴当x=600时，W取最大值为32400，
∵32400＜32500，
∴W取最大值为32500元
（3）解：由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，
由x≥700，
则700≤x≤900，
∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，
∴当x=900时，W取得最小值。
即W最小值=﹣0.01x2+36000=﹣0.01×9002+36000=27900（元）
【思路引导】（1）将x=600、y=18000代入y1=k1x；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y2=k2x+b，分别求解即可；
（2）分0≤x＜600，600≤x≤1000两个范围求出解析式，然后分别得出最大值，再比较即可；
（3）根据题意得出1000﹣x≥100，x≥700，解出x的取值范围，再求解即可.
18．（2021九上·诸暨月考）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（　　）

A．1m B．2m
C．（2 ﹣4）m D．（ ﹣2）m
【答案】C
【完整解答】解：如图，建立直角坐标系，

设y=a（x-2）（x+2），
∴2=a（0-2）（0+2），
∴a=-，
∴y=-（x-2）（x+2），
当水面下降1米时，y=-1，
∴-1=-（x-2）（x+2），
解得x=±，
∴水平宽度增加：（2-4）m.
故答案为：C.

【思路引导】根据题意建立直角坐标系，结合数据求出二次函数解析式，再把y=-1代入抛物线解析式，则可求出此时的水面宽度，即可得出答案.
知识点03：二次函数的实际应用—拱桥问题
19．（2021九上·虹口期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　）

A．米 B．10米 C．米 D．12米
【答案】B
【完整解答】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，

设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为-4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（-10，-4），B（10，-4），
将A代入y=ax2，
-4=100a，
∴，
∴，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故答案为：B．

【思路引导】先建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，再求出解析式，最后利用二次函数的性质求解即可。
20．（2021九上·安阳期中）有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（　　）

A．y＝ x2＋ x B．y＝－ x2＋ x
C．y＝－ x2－ x D．y＝－ x2＋ x＋16
【答案】B
【完整解答】解：由图可知，该抛物线开口向下，对称轴为x＝20，
最高点坐标为（20，16），且经过原点，
由此可设该抛物线解析式为 ，
将原点坐标代入可得 ，
解得： ，
故该抛物线解析式为 .
故答案为：B.
【思路引导】由题意可设抛物线解析式为y=a(x-20)2+16，将（0，0）代入可得a的值，据此可得抛物线的解析式.
21．（2021九上·建华期末）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在1时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是　 　．

【答案】
【完整解答】解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（-2，-3）点，
∴-3=4a，
a=-，
∴抛物线解析式为y=-x2．
故答案为：．
【思路引导】先求出-3=4a，再求出a=-，最后计算求解即可。
22．（2021九上·鹿城期中）图 1 是世界第一高桥-北盘江大桥， 其桥底呈拋物线， 主桥底部跨度 米， 以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系 （如图2所示）， 桥面 ， 拋物线最高点 离桥面距离 米， 米， 桥面 上点 作 交抛物线于点 若 三点恰好在同一直线上， 则 　 　米.

【答案】21.6
【完整解答】解：据题意，作图如下：

设抛物线的表达式为： （ ）
∵ 米， 米
∴E(250，-62500a) ， F(250，-62500a+12)
∴B(500，-62500a+12)
∵ 米
∴ ，
∴
∴D(350，-52500a)
∴
=
∵ 三点恰好在同一直线上，且
∴
∴
∴
经检验， 是原方程的根
∴ 米.
故答案为：21.6.
【思路引导】设抛物线的表达式为：y=ax(x-500)，根据OA、EF的值可得E（250，-62500a），F（250，-62500a+12），则B（500，-62500a+12），D（350，-52500a），表示出CD，根据平行线分线段成比例的性质可得 ，代入求解可得a的值，进而可得CD.
23．（2021九上·防城期中）如图抛物线形拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽6m，连续降雨后，水面上涨1m，水面宽度减少多少？

【答案】解：依题意建立如图所示直角坐标系，

设函数解析式为y=ax2(a≠0)，把B(3，-3)代入得a= ，∴解析式为y= x2．因为水位上升1m，设点D(x1，-2)，把点D代入解析式得x1= ，x2=- (不合题意，舍去)
∴CD =2 m
答：水面宽度减少(6-2 )m
【思路引导】 建立如图所示直角坐标系， 设抛物线的解析式为y=ax2，把点B的坐标代入抛物线的解析式，得出a的值，从而求出抛物线的解析式，把y=-2代入抛物线的解析式，得出点C、D的坐标，从而得出CD的长，即可的出场答案.
24．（2021九上·南通月考）为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面 的距离为6米，宽度 为12米，隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带.如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？

【答案】解：根据题意，顶点P的坐标为（6，6），
设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+6，
把点O（0，0）代入得：36a+6=0，
解得：a=− ，
即所求抛物线的解析式为：y=− (x−6)2+6（0≤x≤12）；
当x=6-0.5-3.5=2时，
y=− (2−6)2+6= ＜4，
∴这辆货车不能安全通过.
【思路引导】根据题意得出抛物线的顶点P的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+6，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出当x=2时y的值，即可得出答案.
25．（2020九上·黄岛期末）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．

（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
【答案】（1）解：根据题意，顶点P的坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，
把点 代入得： ，
解得： ，
即所求抛物线的解析式为： ．
（2）解：根据题意，当 时，
，
这辆货车不能安全通过．
（3）解：设A点的坐标为 ，
则 ， ，
根据抛物线的对称性可得 ，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
三根支杆AB，AD，DC的长度之和：

，
三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值为15m．
【思路引导】（1）根据图像的顶点坐标，先把函数解析式设为顶点式，再把原点坐标带入解析式，求出a即可；
（2）根据隧道是双向车道，把 代入（1）中带入解析式，求出y的值与4进行比较即可；
（3）设A点的坐标为 ，从而得出OB、AB的长度，再根据二次函数的对称性求出CM、BC的长度，则AB、AD、DC的长度之和是关于m的二次函数，再根据函数的性质求最值即可。
26．（2020九上·越城期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：
①抛物线型；②圆弧型. 已知这座桥的跨度L＝32米，拱高h＝8米.

（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴， AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度.
【答案】（1）解：抛物线的解析式为y＝ax2+c，
又∵抛物线经过点C（0，8）和点B（16，0），
∴0＝256a+8，a＝﹣ .
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+8（﹣16≤x≤16）
（2）解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，

设⊙O的半径为R，在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2
∴R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；
（3）解：①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，x＝OE＝16﹣4＝12，
EF＝y＝3.5米；
②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，

OH⊥F′E′于H，则OH＝D E′＝16﹣4＝12，O F′＝R＝20，
在Rt△OH F′中，H F′＝ =16，
∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米）
∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米.
【思路引导】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+c，把点C（0，8）和点B（16，0）代入抛物线的解析式，求出b，c的值，即可求解；
（2） 设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点， 设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出R的值，即可求解；
（3） ①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，求出EF=3.5， ②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′， 求出HF′=16，HE′=12，从而求出E′F′＝HF′﹣HE′=4，即可求解.
知识点04：二次函数的实际应用—抛球问题
27．（2022九上·萧山期末）竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为，其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（　　）

A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4秒 D．第4.5秒
【答案】C
【完整解答】解：因为，且小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，
所以此抛物线的对称轴为直线 ，
又因为此抛物线的开口向下，
所以当 时， 取得最大值，
即小球发射后第4秒的高度最高，
故答案为：C.
【思路引导】根据题中已知条件可以求出函数 的对称轴，所给四个选项中的时间越接近4，小球就越高.
28．（2021九上·临海期末）一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（　　）

A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m
【答案】C
【完整解答】解：如图，以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系

由题意可知，点C的坐标为（0，3.5），点B的坐标为（1.5，3.05），
设函数解析式为y=ax2+3.5，
代入B（1.5，3.05）得，2.25a+3.5=3.05
解得，a=-0.2，
因此函数解析式为：y=-0.2x2+3.5，
当x=-2.5时，y= =2.25；
所以，球出手时离地面2.25米时才能投中.
故答案为：C.

【思路引导】以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系，利用已知条件可得到点C，B的坐标，设函数解析式为y=ax2+3.5，将点B代入可求出函数解析式；再求出当x=-2.5时的y的值，即可求解.
29．（2021九上·新昌期中）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　）

A．此抛物线的解析式是y＝﹣ x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
【答案】A
【完整解答】解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5.
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，
∴a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2+3.5.
故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，
∴当x＝﹣2.5时，
h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25（m）.
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m.
故本选项错误.
故答案为：A.
【思路引导】由图形可知：抛物线的顶点坐标为（0，3.5），故设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5，将（1.5，3.05）代入求出a，据此判断A；根据图形可直接判断B、C；令解析式中的x＝-2.5，求出y的值，据此判断D.
30．（2021九上·朝阳期末）一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩为　 　米．
【答案】12
【完整解答】解：设铅球出手点为点A，根据题意建立平面直角坐标系，如图：

∵当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，
∴抛物线的对称轴为直线x＝5，
∴﹣＝﹣＝＝5，
则b＝，
又∵抛物线经过（0，），
∴c＝，
∴，
当y＝0时，＝0，
整理得：x2﹣10x﹣24＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝12，
故答案为：12．
【思路引导】设铅球出手点为点A，根据题意建立平面直角坐标系，如图，可得对称轴为x=﹣=5，求出b＝，将A（0，）代入解析式中求出c值即得，求出y=0时x值即可.
31．（2021九上·柯桥期中）以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：h＝20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是 　 　s．
【答案】4
【完整解答】解：∵球从飞出到落地，
∴当h=0时20t﹣5t2=0
解之：t1=0，t2=4
∵t＞0
∴t=4.
故答案为：4.
【思路引导】利用已知条件，要求出球从飞出到落地要用的时间，也就是求出当h=0时t的值，根据t＞0，可得答案.
32．（2021九上·温州期中）如图所示，从高为2m的点A处向右上抛一个小球P，小球路线呈抛物线L形状，小球经过2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶上弹起，已知MN＝4m，ON＝1m，FM＝DE＝BC＝1.2m，CD＝EF＝1m，若小球弹起形成一条与L形状相同的抛物线，且落点Q与B，D在同一直线上，则小球弹起时的最大高度是 　 　m．

【答案】
【完整解答】解：以O为原点，OQ为x轴，OA为y轴，建立平面直角坐标系，
则点A（0，2），抛物线的顶点为（2，6），
设y=a(x-2)2+6
∴2=4a+6，
解得a=-1，
∴y=-（x-2）2+6=-x2+4x+2，
∵MN=4，FM=DE=BC=1.2，CD=EF=ON=1，
∴M（1，4），F（2.2，4），E（22，3），D（3.4，3），C（3.4，2），B（4.6，2），
A关于对称轴x=2的对称点为（4，2），
∴小球落在CB上的点（4，2）处，
设BD的解析式为y=kx+b，
则46k+b=23.4k+b=3，
解得k=-56b=356，
∴y=-x+，
令y=0，则x=7，
∴Q（7，0），
设弹起后抛物线为y=-x2+mx+n，
则-16+4m+n=2-49+7m+n=0，
解得m=313n=-703，
∴y=-x2+x-=-(x-)2+，
∴小球弹起的最大高度为： m .
故答案为：.

【思路引导】根据题意建立直角坐标系，再根据顶点法设抛物线的解析式，然后根据二次函数图象的对称性得出小球落在CB上的点（4，2）处，利用待定系数法求出直线BD的解析式，则可令y=0，求出Q点坐标，然后再根据待定系数法求出重新弹起后的抛物线解析式，再化成顶点式，即可求出最大高度.
33．（2021九上·大兴期中）在体育课掷实心球活动中，小华通过研究发现：实心球所经过的路线是一条抛物线的一部分，如果球出手处点 距离地面的高度为 ，当球运行的水平距离为 时，达到最大高度 的 处（如图），问实心球的落地点 与出手处点 的水平距离是多少？（结果保留根号）

【答案】解：建立平面直角坐标系，如图所示．

则 ，
设抛物线解析式为 （ ），
在抛物线上，
代入得： ，
．
令 ，
（舍）， ，
．
答：实心球的落地点 与出手处点 的水平距离是 ．
【思路引导】设抛物线解析式为 （ ），再将代入抛物线求出a的值，即可得到抛物线的解析式，再将y=0代入抛物线求解出x的值，即可得到OC的值。
34．（2020九上·台安月考）在高尔夫球训练中，运动员在距球洞 处击球，其飞行路线满足抛物线 ，其图象如图所示，其中球飞行高度为 ，球飞行的水平距离为 ，球落地时距球洞的水平距离为 .

（1）求 的值；
（2）若运动员再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线，求抛物线的解析式；
（3）若球洞 处有一横放的 高的球网，球的飞行路线仍满足抛物线 ，要使球越过球网，又不越过球洞（刚好进洞），求 的取值范围.
【答案】（1）解： 由题意得点 在抛物线 上，
，
；
（2）解：要使球刚好进球洞，则抛物线 需经过 ， 两点，
要使球飞行的高度不变，则最高点的纵坐标为 ，
抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，
抛物线经过 ，
， ，
；
（3）解：把 ， 代入 中，得 ，
把 ， 代入 中，得 ，
要使球越过球网，又不越过球洞（刚好进洞），
则 的取值范围是 .
【思路引导】（1）把 代入 ，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）根据飞行高度不变可得抛物线的顶点坐标，设出顶点式，进而把原点坐标代入即可求得相应的解析式；
（3）把 ， ， ， 分别代入 中即可得到结论.
知识点05：二次函数的实际应用—喷水问题
35．（2021九上·定州期中）某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（　　）

A．2m B．3m C．4m D．5m
【答案】B
【完整解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+ ，
把点A（0，10）代入a（x﹣1）2+ ，得a（0﹣1）2+ ＝10，
解得a＝﹣ ，
因此抛物线解析式为y＝﹣ （x﹣1）2+ ，
当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
即OB＝3米．
故答案为：B．

【思路引导】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，再将y=0代入抛物线求解即可。
36．（2021九上·青县月考）如图，水从山坡下的水管的小孔喷出，喷洒在山坡上，已知山坡AB：OB=1：2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y=− x2+4x来刻画，下列结论错误的是（　　）

A．山坡可以用正比例函数 来刻画
B．若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米
C．水柱落到斜面时距O点的距离为7米
D．水柱距O点水平距离超过4米呈下降趋势
【答案】C
【完整解答】解：A.∵山坡AB：OB=1：2，
∴斜坡可以用正比例函数y= x刻画，不符合题意；
B.当y=1.875时，即− x2+4x=1.875，
解得：x1=0.5，x2=7.5，
∴若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米，不符合题意；
C.解方程组 得， ， ，
∴当小球落在斜坡上时，它离O点的水平距离是7m，符合题意；
D.∵y=− x2+4x=- （x-4）2+8，
则抛物线的对称轴为x=4，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，
即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，不符合题意；
故答案为：C．
【思路引导】根据二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
37．（2020九上·夏津期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子 恰为水面中心，安置在柱子顶端 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过 的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度 与水平距离 之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（　　）

A．柱子 的高度为
B．喷出的水流距柱子 处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是
D．水池的半径至少要 才能使喷出的水流不至于落在池外
【答案】C
【完整解答】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴当x=0时，y=3，即OA=3m，故A不符合题意，
当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B不符合题意，C符合题意
当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D不符合题意，
故答案为：C．
【思路引导】先求出y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，再判断求解即可。
38．（2021九上·柯城月考）准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图1），已知遮阳棚DB与竖杆OB垂直，遮阳棚的高度OB＝3米，喷水点A与地面的距离OA＝1米（喷水点A喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的C处，C到竖杆的水平距离BC＝2米（如图2），此时水柱的函数表达式为 　 　，现将遮阳棚BD绕点B向上旋转45°（如图3），则此时水柱与遮阳棚的最小距离为 　 　米.（保留根号）

【答案】y＝﹣ x2+2x+1；
【完整解答】解：将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，
过点B作BG⊥MN于G，如图：

∵抛物线的顶点C的坐标为（2，3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
把点A （0，1）的坐标代入y＝a（x﹣2）2+3，得：
1＝a×（0﹣2）2+3，
解得：a＝﹣ ，
∴y＝﹣ （x﹣2）2+3＝﹣ x2+2x+1，
∵∠DBC＝45°，BC⊥y轴，
∴BD与直线y＝x平行，且BD与y轴的夹角是45°，
∵BD//MN，
∴MN与直线y＝x平行，∠BMG＝45°，
∴设MN的解析式为y＝x+b，
∵MN与抛物线只有一个交点，
方程组 只有一组解，
∴方程x+b＝﹣ x2+2x+1有两个相等的实数根，
将方程整理得： x2﹣x+b﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4× ×（b﹣1）＝0，
解得：b＝ ，
∴MN的解析式为y＝x+ ，
令x＝0，得y＝ ，
∴M（0， ），
∵B（0，3），
∴BM＝3﹣ ＝ （米），
在Rt△BMG中，∠BGM＝90°，∠BMG＝45°，
∵sin∠BMG＝ ，
∴BG＝BM•sin∠BMG＝ sin45°＝ ×＝ （米），
∴此时水住与遮阳棚的最小距离为 米.
故答案为：y＝﹣ x2+2x+1， .

【思路引导】将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，过点B作BG⊥MN于G，利用抛物线的人顶点坐标设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，将点A的坐标代入求出函数解析式，利用已知可证得MN与直线y＝x平行，∠BMG＝45°，根据BD∥MN，因此设MN的解析式为y＝x+b，将直线MN和抛物线的解析式联立方程组，可得到关于x的方程，利用抛物线与MN只有一个交点，可求出b的值，由此可得到直线MN的函数解析式；由x=0求出对应的y的值，可得到点M的坐标，继而可求出MB的长；在Rt△BMG中，利用解直角三角形求出水住与遮阳棚的最小距离BG的长.
39．（2021九上·富县期末）某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面 米，则水流下落点B离墙距离OB是　 　m.

【答案】3
【完整解答】解：根据题意建立如图所示的坐标系

设抛物线的解析式为 ，
由题意，得：当x=0时， ，
解得： .
∴抛物线的解析式为：
当y=0时， ，
解得：x1=﹣1（舍去），x2=3.
OB=3m.
故答案为：3.
【思路引导】先根据题意建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为 ，把（0，5）代入解析式求出a的值，进而得到函数解析式，接着让y=0，即可求出OB.
40．（2021九上·大石桥期中）某幢建筑物，从5米高的窗口 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图所示），如果抛物线的最高点 离墙1米，此时高度为10米．如图，在所示的平面直角坐标系中，求水流落地点 离墙距离 ．（结果保留根号）

【答案】解：由题意可得：点 ，抛物线的顶点 ，点 的纵坐标为 ，
∴可设该抛物线的解析式为： ，
把点 代入，得：
解得： ，
∴该抛物线的解析式为： ，
∴当 时，有
解得： ， （不合题意，舍去）
∴水流落地点 离墙距离 （米）．
【思路引导】先根据题意求出抛物线的解析式，再将y=0代入计算即可。
41．（2018九上·丰台期末）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离.

【答案】解：建立平面直角坐标系，如图，于是抛物线的表达式可以设为 ，根据题意，得出A，P两点的坐标分别为A（0，2），P（1，3.6），∵点P为抛物线顶点，∴ ，∵点A在抛物线上，∴ ， ，∴它的表达式为 ，当点C的纵坐标y=0时，有 ， （舍去）， ，∴BC=2.5，∴水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m
【思路引导】将实际问题转化为数学问题，根据喷水口A距地面2m，可得出点A的坐标为（0,2），根据水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，得出抛物线的顶点P的坐标为（1,3.6），因此设函数解析式为顶点式，再将点A的坐标代入即可求出函数解析式，然后由y=0建立方程求出x的值，根据实际情况取值即可。
42．（2021九上·澄海期末）如图，从某建筑物的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），点A离地面的高度为6米，抛物线的最高点P到墙的垂直距离为2米，到地面的垂直距离为8米，如图建立平面直角坐标系．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求水落地离墙的最远距离OB．
【答案】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标为（2，8），且经过点A（0，6），
∴设抛物线的解析式为，
把A（0，6）代入得，
解得：，
∴．
（2）解：令，得，
解得：，（舍去），
∴水落地离墙的最远距离为6米．
【思路引导】（1）设抛物线的解析式为，再将点A的坐标代入计算即可；
（2）将y=0代入抛物线求出x的值即可。
43．（2021九上·湖北月考）一台自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管在高出地面1.5米的A处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线状，喷头A与水流最高点B连线与y轴成 角，水流最高点B比喷头A高2米.

（1）求抛物线解析式；
（2）求水流落地点C到O的距离；
（3）若水流的水平位移s米（抛物线上两对称点之间的距离）与水流的运动时间t之间的函数关系为 ，求共有几秒钟，水流的高度不低于2米？
【答案】（1）解：作BD⊥y轴于点D，

∴∠ADB＝90°.
∵∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝∠DBA＝45°，
∴AD＝BD＝2，
∵OA＝1.5，
∴B（2，3.5），A（0，1.5）.
设抛物线的解析式为y＝a（x−2）2＋3.5，由题意，得
1.5＝4a＋3.5，
解得：a＝−0.5.
∴y＝−0.5（x−2）2＋3.5.
答：抛物线解析式为y＝−0.5（x−2）2＋3.5
（2）解：当y＝0时，
0＝−0.5（x−2）2＋3.5.
解得：x1＝2＋ ，x2＝2− （舍去），
∴水流落地点C到O点的距离为2＋
（3）解：当y＝2时，
2＝−0.5（x−2）2＋3.5.
解得：x3＝2＋ ，x4＝2− ，
∴水流位移的距离为：2＋ −（2− ）＝2 ，
∴t＝0.8×2 ＝ ，
∴共有 秒钟，水流高度不低于2米
【思路引导】（1）作BD⊥y轴于点D，易得∠ABD＝∠DBA＝45°，则AD＝BD＝2，进而得B（2，3.5），A（0，1.5），设抛物线的解析式为y＝a(x−2)2＋3.5，将点A坐标代入求出a，据此可得抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的y=0，求出x，据此可得水流落地点C到O点的距离；
（3）令抛物线解析式中的y=2，求出x，得到水流位移的距离，进而求出t.
知识点06：二次函数的实际应用—百分率问题
44．（2021九上·平阳期中）小杰把班级勤工俭学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（　　）
A．y=500(x+1)2 B．y=x2+500 C．y=x2+500x D．y=x2+5x
【答案】A
【完整解答】解：设两年到期后，本利和为y元，则y与x之间的函数关系式为：y=500(x+1)2.
故答案为：A.
【思路引导】抓住已知条件，可得到y与x之间的函数解析式.
45．（2021九上·蜀山月考）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1-x）2
C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2
【答案】C
【完整解答】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，
则y关于x的函数表达式是：y=2.4（1+x）2．
故答案为：C．
【思路引导】根据合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币， 列方程即可。
46．（2019九上·北京期中）为拉动内需促进消费，某品牌的电视机经过两次降价，从原来每台6000元降到现在的每台4860元，求平均每次的降价率是多少？设每次降价率为x，由题意列方程为　 　．
【答案】6000(1- x)2 =4860
【完整解答】解：设每次降价率为x，
依题意，得：6000（1−x）2＝4860．
故答案为：6000（1−x）2＝4860．
【思路引导】设每次降价率为x，根据该电视机的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
47．（2021九上·覃塘期中）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，则平均每次降价的百分率是　 　.
【答案】10%
【完整解答】设平均每次降价的百分率是
根据题意，得：
∴
根据题意，得：
∴
∴ ，即
故答案为：10%.

【思路引导】设平均每次降价的百分率是 ，经过两轮降价后“现价=原价×（1-降价率）2，依此列方程求解即可.
48．（2019九上·韶关期中）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资10亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2012年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2014年该市计划投资“改水工程”864万元。
（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
（2）从2012年到2014年，A市三年共投资“改水工程”多少万元?
【答案】（1）解：设年平均增长率为x，可得600×（1+x）2=864，解得x=0.2或x=-2.2（不合题意，舍去）
∴A市投资的年平均增长率为20%。
（2）600+600×（1+x）+864=2184（万元）
【思路引导】（1）可以设年平均增长率为x，根据2014年的数据列出方程，得到解即可；

（2）根据题意，将三年的数据计算求和，即可得到答案。
49．大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间存在一次函数关系如表：
销售价x（元/件）
…
110
115
120
125
130
…


销售量y（件）
…
50
45
40
35
30
…


若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡（其中支出=商品成本+员工工资+应支付其它费用）：已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其它费用为200元（不包括集资款）．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大：（毛利润═销售收入一商品成本一员工工资一应支付其他费用）
（3）在（2）的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天（取整数）才能还清集资款？
【答案】（1）解：由表可知，y是关于x的一次函数，设y=kx+b，
将x=110、y=50，x=115、y=45代入，
得： ，
解得： ，
∴y=-x+160
（2）解：由已知可得：50×110=50a+3×100+200，
解得：a=100，
设每天的毛利润为W，
则W=（x-100）y-2×100-200
=（x-100）（-x+160）-2×100-200
=-x2+260x-16400
=-（x-130）2+500，
∴当x=130时，W取得最大值，最大值为500，
答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大利润为500元
（3）解：设需t天能还清借款，
则500t≥50000+0.0002×50000t
解得：t≥102 ，
∵t为整数，
∴t的最小值为103，
答：该店最少需要103天才能还清集资款
【思路引导】（1）由表格中的信息用待定系数法可求一次函数的解析式；
（2）根据当天正好收支平衡（其中支出=商品成本+员工工资+应支付其它费用）列出关于成本a的值，再根据毛利润═销售收入一商品成本一员工工资一应支付其他费用列出解析式，并将求得的解析式配成顶点式用二次函数的性质即可求解；
（3）由（2）知，W的最大值为500，设需t天能还清借款，则由题意可得t天所还的款大于或等于本金+利息，列不等式即可求解。
50．（2018九上·云安期中）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，对称轴交x轴于点M．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为　 　．
【答案】（1）解：抛物线与x轴交于点A、B，且AB=2， 根据对称性，得AM=MB=1， ∵对称轴为直线x=2， ∴OA=1，OB=3， ∴点A、B的坐标分别为（1，0）、（3，0）， 把A、B两点坐标代入y=x2+bx+c，得到 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3。
（2）解：如图1中，连结BC，与对称轴交点则为点P，连接AP、AC． 由线段垂直平分线性质，得AP=BP， ∴CB=BP+CP=AP+CP， ∴AC+AP+CP=AC+BC， 根据“两点之间，线段最短”，得△APC周长的最小， ∵C为（0，3） ∴OC=3， 在Rt△AOC中，有AC= ， 在Rt△BOC中，有BC= ， ∴△APC的周长的最小值为： + ．
（3）（2，﹣1）
【完整解答】（3）如图2中，当点D为抛物线的顶点时，EM=DM时，以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，此时点D（2，﹣1）

【思路引导】（1）根据抛物线上关于对称轴x=2对称的点间距离为2可以写出点A、B的坐标，再根据点的坐标可以代入抛物线的解析式即可求出b、c的值；
（2）△APC的周长=AP+PC+AC,因为A、B关于直线x=2对称，故PC=PB，在AC长为定值时根据 “两点之间，线段最短” 可确定p点位置即为BC与对称轴的交点。确定了点p位置后再利用勾股定理即可求出周长的最小值。
（3）根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”可得到点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标，即（2，-1）。