【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第07讲 平面向量基本定理 讲义

第07课  平面向量基本定理

知识点  平面向量基本定理

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个      向量，那么对于这一平面内的    向量a，              实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内     向量的一个基底．

【即学即练】　（多选）下列结论正确的是（    ）

A．已知向量，且与的夹角为锐角，则

B．中，，则有两解

C．向量能作为所在平面内的一组基底

D．已知平面内任意四点O，A，B，P满足，则A，B，P三点共线

反思感悟　平面向量基本定理的作用以及注意点

(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．

(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．

考法01  平面向量基本定理的理解

【典例1】已知G是的重心，点D满足，若，则为（    ）

A． B． C． D．1

【变式训练】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（    ）

A． B． C． D．

考法02  用基底表示向量

【典例2】如图，在中，，则（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练】《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（    ）

A． B． C． D．和能构成一组基底

考法03  平面向量基本定理的应用

【典例3】在平行四边形中，，，点E是BC的中点，，则（    ）

A． B． C．2 D．6

【变式训练】锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足，且满足，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．

题组A  基础过关练

1．在中，点在边上，.记，则（    ）

A． B． C． D．

2．在四边形中，，若，且，则（    ）

A． B．3 C． D．2

3．如图，已知，则（    ）

A． B． C． D．

4．若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

5．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ）

A． B．

C． D．

6．（多选）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（    ）

A．若实数m，n使，则

B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数

C．对于m，，不一定在该平面内

D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使

7．（多选）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

8．（多选）已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的可能取值为（    ）

A． B． C．4 D．3

9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（    ）

A． B．

C． D．

10．在平行四边形中，，，若，，三点共线，则实数________.

11．如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝________.我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

12．已知下列四个命题：

①若，，则；

②设是已知的平面向量，则给定向量和，总存在实数和，使；

③第一象限角小于第二象限角；

④函数的最小正周期为.

正确的有________.

题组B  能力提升练

1．已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（    ）

①，；②，；

③，．

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（    ）．

A．和 B．和

C．和 D．和

4．如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ）

A．与  B．与

C．与 D．与

5．在给出的下列命题中，错误的是（    ）

A．设是同一平面上的四个点，若，则点必共线

B．若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的

C．已知平面向量满足，则为等腰三角形

D．已知平面向量满足，且，则是等边三角形

6．（多选）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（    ）

A．给定向量，总存在向量，使；

B．给定向量和，总存在实数和，使；

C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；

D．若，存在单位向量和正实数，使，则.

7．（多选）下列说法中正确的为（    ）

A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底

C．非零向量，，满足且与同向，则

D．非零向量，，满足，则与的夹角为30°

8．（多选）下列命题正确的是（    ）

A．

B．已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是

C．若向量，能作为平面内所有向量的一组基底

D．若，则在上的投影向量为

9．（多选）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（    ）

A．与能构成一组基底 B．

C． D．

10．设是两个不共线的非零向量，且．

（1）证明：可以作为一个基底；

（2）以为基底，求向量的分解式．

题组C  培优拔尖练

1．在中，，为线段的中点，为线段上靠近点的三等分点，两条直线与相交于点，则=（    ）

A． B． C． D．

2．如图，中，，，，，，则（    ）

A． B． C． D．

3．在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（    ）

A． B．

C． D．

4．如图，在中，点D是边AB上一点且，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是的平分线，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．

5．在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（    ）

A． B． C． D．

6．在三角形ABC中，已知D，E分别为CA，CB上的点，且，，AE与BD交于O点，若，则mn的值为___________.

7．如图，在中，已知.

(1)用向量分别表示与；

(2)证明：三点共线.

8．如图，在梯形中，，且，设.

(1)试用和表示；

(2)若点满足，且三点共线，求实数的值.