【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第02讲 平面向量的加法运算 讲义

第2课  平面向量的加法运算

知识点01  向量加法的定义及其运算法则

1．向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法．

2．向量求和的法则

位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型．

【即学即练1】化简等于（    ）

A． B． C． D．

答案C

解析 .故选:C.

知识点02  向量加法的运算律

【即学即练2】[多选]如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

解析：选ACD　由平行四边形加法法则可得：，A正确；

由三角形加法法则，B错误；

，C正确；

，D正确.

故选：ACD

知识点03  向量加法的实际应用

【即学即练3】在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).

答案　答案见解析.

解析　如图所示，

表示船速，表示水速，以、为邻边作，则表示船实际航行的方向.

所以

在中，.

所以船实际行进的方向的正切值为.

考法01  向量的加法法则

【典例1】已知在边长为2的等边中，向量，满足，，则（    ）

A．2 B． C． D．3

答案　C

解析　如图所示：

设点是的中点，

由题可知：

.

故选：C.

【变式训练】

1．已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　）

A．5 B．4

C．3 D．2

答案  A

解析  因为向量的加法满足交换律和结合律，

所以，，，，都等于，

故选：A

2．在中，是边上的点且，若则______．

答案  ##

解析  因为在中，是边上的点且，

所以，即，

所以，，即

故答案为：

考法02  相等加法运算律的应用

【典例2】如图所示，在中，与相交于点.

(1)用和分别表示和；

(2)若，求实数和的值.

答案  (1)，

(2)

解析 （1）由，可得.

（2）

（2）设，将

代入，则有，

即，解得，

故，即.

【变式训练】

1．如图，正六边形ABCDEF中，则（    ）

A． B． C． D．

答案  D

解析  由已知，ABCDEF为正六边形，所以，,

所以.

故选：D.

2．（多选）在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（    ）

A． B．

C． D．

答案  AC

解析  如图所示：

对A，，

又，

即，故A正确；

对B，，故B错误；

对C，设为与的交点，

由题意可得：是的重心，

故，

，故C正确；

对D，，故D错误.

故选：AC.

题组A  基础过关练

1．已知平面向量、、，下列结论中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

答案    B

解析    对于选项A：若、为非零向量，，但不一定等于，故不成立，A错误；

对于选项B：可知、同向，于是可知、共线，即，故B正确；

对于选项C：若为零向量，，不一定能推出，故C错误；

对于选项D：，但是两个向量方向不一定相同，故不可以推出，故D错误；

故选：B

2．下列说法错误的是（    ）

A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等

C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动

答案    B

解析    因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；

单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；

根据零向量的概念，易知C选项正确；

向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；

故选：B.

3．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

答案    B

解析    由于是边上的中点，则.

.

故选：B.

4．中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（    ）

A． B．

C． D．

答案    D

解析   

取中点，连,则点为的重心，，

即，

故选：D.

5．在中，已知为上一点，若，则（    ）

A． B． C． D．

答案    B

解析    因为，

所以

.

故选：B.

6．若的边上两点，满足，则（    ）

A． B．

C． D．

答案    C

解析    若是等边三角形时，，故A，B错误

因为，所以是的三等分点，

设的中点，则也是的中点，

所以，，即.故C正确；

若，则，，D错误

故选：C

7．（多选）下列说法中，正确的是（    ）

A．若向量，满足，与同向，则

B．若两个非零向量，满足，则，是互为相反向量

C．的充要条件是与重合，与重合

D．模为是一个向量方向不确定的充要条件

答案    BD

解析    对A：向量不可比较大小，故A错误；

对B：若两个非零向量，满足，则，且方向相反，故，互为相反向量，B正确；

对C：与重合，与重合，故，充分性成立；但，根据向量可平移性，不一定有与重合，与重合，必要性不满足，C错误；

对D：模为的向量是零向量，其方向不确定，故充分性成立；一个向量方向不确定，是零向量，其模为，必要性成立，

即模为是一个向量方向不确定的充要条件，D正确.

故选：BD.

8．（多选）下列说法中，正确的是（    ）

A．模为是一个向量方向不确定的充要条件

B．若向量，满足，与同向，则

C．若两个非零向量，满足，则，是互为相反向量

D．的充要条件是与重合，与重合

答案    AC

解析    解：对于A，只有零向量的模长为，且方向是任意的，

因为模长为的向量方向是不确定的，所以充分性成立，

因为一个方向不确定的向量的模长为，所以必要性成立，故A正确，

对于B，表达错误，向量既有大小又有方向，它的模长可以比较大小，其本身不能比较大小，故B错误，

对于C，由可得，即与模长相等，方向相反，所以，互为相反向量，故C正确，

对于D，由于向量可以平行移动，所以由不一定能得到与重合，与重合，故D错误，

故选：AC．

9．在中，点满足，则与的面积比为___________．

答案    ##

解析    取边的中点，连接，如图所示，

因为，即，所以，即点为的中点，所以.

故答案为：

10．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E为中点，若，，，则__________．

答案   

解析    解：)=．

故答案为：.

11．向量的和、向量的加法：已知向量和，______________，则向量叫作与的和，记作：____________．求两个向量_________的运算叫作向量的加法．

答案         在平面内取任取一点O，作，          和

12．在中，是边上的点且，若则______．

答案    ##

解析    解：因为在中，是边上的点且，

所以，即，

所以，，即

故答案为：

题组B  能力提升练

1．若非零向量满足，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】因为，

∴.

若与共线，由则中有一个必为零向量，

与不共线，即，

.

同理知无法判断之间的大小关系.

故选：C.

2．已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】解：对于A，因为，,

所以，故正确；

对于B，因为,(为中点)，故错误；

对于C，因为(为中点),

(为中点),

所以，故正确；

对于D，因为，，

所以，故正确.

故选：B.

3．若非零不共线的向量满足，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

                  （2）

由非零向量，满足

当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, ,

则. 在图（1）中, ,

不能比较与的大小;

在图（2）中, 由, 得,

所以 为的直角三角形.

易知,

由三角形中大角对大边, 得.

故选：C

4． 为非零向量，且，则（    ）

A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反

C． D．无论什么关系均可

【答案】A

【详解】当两个非零向量不共线时，的方向与的方向都不相同，且；

当两个非零向量同向时， 的方向与的方向都相同，且；

当两个非零向量反向时且，的方向与的方向相同，且，

所以对于非零向量 ，且，则，且与方向相同.

故选：A.

5．（多选）下列关于向量的叙述正确的是（    ）

A．向量的相反向量是

B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的

C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则

D．若向量与满足关系，则与共线

【答案】ABD

【详解】解：A向量的相反向量是，正确：

B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确：

C.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则，不正确，因为与可能方向相反；

D.若向量与满足关系，∴，则与共线，正确.

故选：ABD

6．（多选）设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【详解】对于A：如下图所示，可知在内部，故成立；

对于B：如下图所示，可知在外部，故不成立；

对于C：因为，

如下图所示，可知在内部，故成立；

对于D：因为，

如下图所示，可知在外部，故不成立；

故选：AC.

7．一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置.

【答案】直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处

【详解】如图所示，

设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即.

在中，.

在中，，，

即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处.

8．在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？

【答案】船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为

【详解】解：设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，

则四边形为平行四边形.

所以，，

因为，于是，

所以，，

故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为.

题组C  培优拔尖练

1．如图，D，E，F分别为的边AB，BC，CA的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

答案    A

解析    解：，，分别是的边，，的中点，

，，，

则，故A正确；

，故B错误；

，故C错误；

，故D错误；

故选：A．

2．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则（    ）

A． B．0 C． D．

答案    A

解析    连接OB.

由正六边形的性质，可知与都是等边三角形，

∴四边形OABC是平行四边形，

，

，

故选:A.

3．（多选）在中，设，，，，则下列等式中成立的是（    ）

A． B． C． D．

答案    ABD

解析    由向量加法的平行四边形法则，知成立，

故也成立；

由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.

故选：ABD

4．（多选）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

答案    AC

解析    由题意，，易知A, C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误.

故选：AC.

5．在中，，且，，（其中），且，若，分别为线段，中点，当线段取最小值时________

答案             

解析    连接,如图所示：

由等腰三角形中，知

所以

是的中线，

同理可得

又，

故当时，有最小值，此时.

故填.

6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东，风速是；水的流向是正东方向，流速是，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东___________，大小是____________．

答案          

解析  如图

风速为风速是，即

水的流速是，即

则救生艇速度大小即为

由题可知：四边形为菱形且

所以，且

所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东，大小为

故答案为：，

7.如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向.

答案    小船在静水中的速度的大小为，方向与水流方向的夹角为，其中，.

解析    设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图：

连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D，

则四边形ACBD为平行四边形，

所以就是小船在静水中的速度.

在中，，，

，

，

∴小船在静水中的速度的大小为10 km/h，方向与水流方向的夹角为，其中，.

8．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为.如果此船实际向南偏西方向行驶，然后又向西行驶，你知道此船在整个过程中的位移吗?

答案    两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.

解析    用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，

根据向量加法的三角形法则知：，

可表示两次位移的和位移.

由题意知，在中，，则，，

在等腰中，，，

，，

两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.