数学必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质优秀课时练习
展开2.1 等式性质与不等式性质
思维导图
新课标要求
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。
知识梳理
一、等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么b＝a.
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.
二、不等式的性质
性质 | 别名 | 性质内容 | 注意 |
1 | 对称性 | a>b⇔b<a | ⇔ |
2 | 传递性 | a>b，b>c⇒a>c | 不可逆 |
3 | 可加性 | a>b⇔a＋c>b＋c | 可逆 |
4[来源:Zxxk.Com] | 可乘性 | ⇒ac>bc[来源:学科网][来源:学科网ZXXK][来源:学科 | c的符号[来源:学科网] |
⇒ac<bc | |||
5 | 同向可加性 | ⇒a＋c>b＋d | 同向 |
6 | 同向同正可乘性 | ⇒ac>bd | 同向 |
7 | 可乘方性 | a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) | 同正 |
名师导学
知识点1 不等式的性质（重点）
利用不等式性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．
(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
【例1-1】（2022·重庆巴蜀中学高一期末）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】（2022·山东青岛·高一期末）已知，则下述一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】（多选）（2022·广东·深圳科学高中高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．，则 D．若，则
【变式训练1-3】（多选）（2021·江苏省江阴市第一中学高一期中）下列给出的条件中，其中能得出的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】（多选）（2021·北京市十一学校高一期中）设a，b，c为非零实数，且，则下列判断正确的有___________.
① ② ③ ④ ⑤
知识点2 利用不等式的性质求代数式的取值范围（易错点）
利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．
【例2-1】（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知，，求和的取值范围；
（2）已知，，求的取值范围.
【变式训练2-1】（2022·吉林延边·高一期末）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】（2021·重庆市长寿中学校高一阶段练习）已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】（多选）（2021·湖北·随州市曾都区第一中学高一阶段练习）已知实数，满足，，则可能取的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】（2021·河北联邦国际学校高一阶段练习）已知，则的取值范围是_________，的取值范围是__________.
知识点3 利用不等式的性质比较大小
【例3-1】（2022·湖南·高一课时练习）比较与的大小．
【例3-2】（2021·全国·高一课前预习）已知：、， 且，比较的大小.
【变式训练3-1】（2022·江苏·高一）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式训练3-2】（2021·全国·高一专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
【变式训练3-3】（2021·山东·泰安一中高一期中）设，，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练3-4】（2021·天津市滨海新区大港第八中学高一期中）比较大小：___.（填）
【变式训练3-5】（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：
(1)与；
(2)与．
知识点4 利用不等式的性质证明不等式（难点）
利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
【例4-1】（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【例4-2】（2022·湖南·高一课时练习）求证：
(1)若，且，则；
(2)若，且，同号，，则；
(3)若，且，则．
【变式训练4-1】（2021·全国·高一课时练习）已知，，，求证：
(1)；
(2).
【变式训练4-2】（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
名师导练
A组-[应知应会]
1．（2022·江苏·高一）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c <M
2．（2021·湖北孝感·高一期中）设，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2022·北京·高一期末）若，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河南焦作·高一期中）设M＝2a(a－2)＋4，N＝(a－1)(a－3)，则M，N的大小关系为（ ）
A．M>N B．M<N C．M＝N D．不能确定
5．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具.小王在某段时间共加号汽油两次，两次加油单价不同.现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油元，第二种方式是每次加油升.我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为（ ）
A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．不确定
6．（2022·江苏·高一）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）（2021·山东·陵城一中高一期中）已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）（2022·江苏南通·高一期末）设，则（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）（2022·河北保定·高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全国·高一课时练习）某商品包装上标有重量克，若用x表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________．
12．（2022·湖南·高一课时练习）如果，则有（用“>”或“<”填空）：
（1）______； （2）______．
（3）______； （4）______1．
13．（2021·广西·崇左高中高一期中）比较大小：__________填”或“
14．（2022·全国·高一课时练习）已知实数，则_____， _____(用>，<填空).
15．（2021·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知1，2则4的取值范围为__________.
16．（2022·湖南·高一课时练习）回答下列问题：
(1)若，且，能否判断与的大小？举例说明．
(2)若，且，能否判断与的大小？举例说明．
(3)若，且，能否判断与的大小？举例说明．
(4)若，，且，，能否判断与的大小？举例说明．
17．（2022·江苏·高一）（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
18．（2021·黑龙江·哈师大附中高一阶段练习）已知，试比较与的大小.
19．（2021·安徽·砀山中学高一阶段练习）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求的取值范围.
B组-[素养提升]
1．（2021·河北·石家庄市第三十八中学高一阶段练习）已知，，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·上海·高一单元测试）叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打元酱油，而王老师每次打斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为元，元，元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是_________老师，理由是_________.(请写出关键的不等式)
3.（2022·湖南·高一课时练习）甲、乙两人同时从地出发，沿同一条线路步行到地．甲在前一半时间的行走速度为，后一半时间的行走速度为；乙用速度走完前半段路程，用速度走完后半段路程．若，问甲、乙两人谁先到达地？
4．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）（1）已知，求的取值范围；
（2）已知一桶食盐水中含有克食盐，克水，再在桶中添加克食盐和克水（假设食盐全部溶解，食盐水没有溢出）.请判断当满足什么样的关系式时，食盐水的浓度变大？变小？不变？
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