2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业五十九证明与探索问题

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业五十九证明与探索问题，共4页。
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为eq \f(1,2)，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A(－2，1)是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为kAE，kAQ，证明：kAE＋kAQ＝0.
2．[2023·河北沧州模拟]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点A(2eq \r(2)，1)，焦距为2eq \r(5)，B(0，b).
(1)求双曲线C的方程；
(2)是否存在过点D(－eq \f(3,2)，0)的直线l与双曲线C交于M，N两点，使△BMN构成以∠MBN为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．
3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l1，l2都经过点P(－eq \f(p,2)，0).当两条直线与抛物线相切时，两切点间的距离为4.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l1，l2分别与抛物线C依次交于点E，F和G，H，直线EH，FG与抛物线准线分别交于点A，B，证明：|PA|＝|PB|.
优生选做题
4．[2023·河北衡水模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为eq \f(\r(2),2).过点P(2，0)作直线l与椭圆C相交于A，B两点．若A是椭圆C的短轴端点时，eq \(AF,\s\up6(→))2·eq \(AP,\s\up6(→))＝3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)试判断是否存在直线l，使得|F1A|2，eq \f(1,2)|F1P|2，|F1B|2成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
课时作业（五十九） 证明与探索问题
1．解析：（1）因为圆x2＋y2＝2过椭圆C的上、下顶点，所以b＝eq \r(2)；
又因为离心率e＝eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2)，解得a2＝8，
所以椭圆的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
（2）证明：由于直线l的斜率为eq \f(1,2)，可设直线l的方程为y＝eq \f(1,2)x＋t；
代入椭圆方程x2＋4y2＝8，可得x2＋2tx＋2t2－4＝0，
由于直线l交椭圆C于P，Q两点，
所以Δ＝4t2－4（2t2－4）>0，整理解得－20，∴k∈（－eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)），
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝eq \f(8k2,2k2＋1)，x1x2＝eq \f(8k2－2,2k2＋1)，
∴x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝（x1＋x2）2－2x1x2＝eq \f(4（8k4－2k2＋1）,（2k2＋1）2)，
∵F1（－1，0），∴|F1A|2＝（x1＋1）2＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝（x1＋1）2＋1－eq \f(1,2)x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝eq \f(1,2)x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋2x1＋2，
同理可得|F1B|2＝eq \f(1,2)x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋2x2＋2，
∴|F1A|2＋|F1B|2＝eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,2)＋2（x1＋x2）＋4＝eq \f(48k4＋12k2＋2,（2k2＋1）2)＋4，
又|F1P|2＝9，
∴eq \f(48k4＋12k2＋2,（2k2＋1）2)＋4＝9，整理得28k4－8k2－3＝0，
即（2k2－1）（14k2＋3）＝0，解得k＝±eq \f(\r(2),2)，
∵k∈（－eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)），∴不存在直线l符合题意．