2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业六十八概率与统计的综合问题

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业六十八概率与统计的综合问题，共7页。

(1)若从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，求该球员踢进球的概率；
(2)若从该社团中随机选1名球员，连续进行5次射门测试，每次踢进球与否相互独立，记踢进球的次数为X，求X的分布列及数学期望．
2．[2023·辽宁渤海大学附中模拟]为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，教育集团需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
(1)是否有99%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练．已知甲控制球时，传给乙的概率为eq \f(2,3)，传给丙的概率为eq \f(1,3)；乙控制球时，传给甲和丙的概率均为eq \f(1,2)；丙控制球时，传给甲的概率为eq \f(3,4)，传给乙的概率为eq \f(1,4).若先由甲控制球，经过3次传球后，请问乙队员控制球1次与丙运动员控制球1次的概率谁更大？并用数字说明理由．
附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)
3．[2023·河北秦皇岛模拟]“斯诺克(snker)”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一．现甲、乙两人进行比赛，比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球(例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……)，没有平局．已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为eq \f(1,3)，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为eq \f(1,2)，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权．
(1)求甲以3∶1赢得比赛的概率；
(2)设比赛的总局数为ξ，求E(ξ).
4．[2023·福建福州一中模拟]班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．
(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果)
(2)如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩(单位：分)对应如下表：
(ⅰ)若规定85分以上(包括85分)为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；(结果用最简分数表示)
(ⅱ)根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的经验回归方程(系数精确到0.01)；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，
其中eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
优生选做题
5．[2023·河北衡水中学模拟]十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分别为p1，p2.
(1)若p1＝eq \f(3,4)，p2＝eq \f(2,3)，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
(2)当p1＋p2＝eq \f(6,5)，且每轮比赛互不影响时，如果甲、乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
课时作业（六十八） 概率与统计的综合问题
1．解析：（1）从该社团随机选1人进行一次射门测试，选自层次A，B，C的成员踢进球的事件分别记为事件A，B，C，
则P（A）＝eq \f(3,10)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,5)，P（B）＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，P（C）＝eq \f(1,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,20).
因为事件A，B，C为互斥事件，
所以P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,20)＝eq \f(1,2).
故从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，球员踢进球的概率为eq \f(1,2).
（2）由（1）可知从该社团中随机选择1人进行1次射门测试，球员踢进球的概率为eq \f(1,2)，每次踢进球与否相互独立，
所以X服从二项分布，即X～B（5，eq \f(1,2)），
P（X＝0）＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) （eq \f(1,2)）5＝eq \f(1,32)，P（X＝1）＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) （eq \f(1,2)）5＝eq \f(5,32)，P（X＝2）＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) （eq \f(1,2)）5＝eq \f(10,32)，P（X＝3）＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) （eq \f(1,2)）5＝eq \f(10,32)，P（X＝4）＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) （eq \f(1,2)）5＝eq \f(5,32)，P（X＝5）＝C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) （eq \f(1,2)）5＝eq \f(1,32).
X的分布列为
故X的数学期望E（X）＝5×eq \f(1,2)＝2.5.
2．解析：（1）根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝eq \f(200（40×80－20×60）2,60×140×100×100)＝eq \f(200,21)≈9.524>6.635，
有99%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关．
（2）用A表示事件“选到经常参加体育锻炼的学生”，B表示事件“选到男生”，
则P（B|A）＝eq \f(n（AB）,n（A）)＝eq \f(80,140)＝eq \f(4,7).
（3）乙运动员控制球1次的概率P1＝eq \f(2,3)×（eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(3,4)）＋eq \f(1,3)×（eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,4)）＝eq \f(11,18)，
丙运动员控制球1次的概率P2＝eq \f(2,3)×（eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)）＋eq \f(1,3)（eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,2)）＝eq \f(47,72)，
eq \f(47,72)>eq \f(11,18)，所以丙运动员控制球1次的概率大．
3．解析：（1）设事件甲在第i局比赛获胜为Ai，i＝1，2，3，4，5，由已知可得P（A1）＝eq \f(1,3)，P（A2）＝eq \f(1,2)，P（A3）＝eq \f(1,3)，P（A4）＝eq \f(1,2)，P（A5）＝eq \f(1,3)，
事件甲以3∶1赢得比赛，则前3局中甲赢得了2局且第4局甲获胜，
所以事件甲以3∶1赢得比赛可表示为eq \(A,\s\up6(－))1A2A3A4＋A1eq \(A,\s\up6(－))2A3A4＋A1A2eq \(A,\s\up6(－))3A4，
其中eq \(A,\s\up6(－))1A2A3A4，A1eq \(A,\s\up6(－))2A3A4，A1A2eq \(A,\s\up6(－))3A4互斥，A1，A2，A3，A4，A5相互独立，
所以P（eq \(A,\s\up6(－))1A2A3A4＋A1eq \(A,\s\up6(－))2A3A4＋A1A2eq \(A,\s\up6(－))3A4）＝P（eq \(A,\s\up6(－))1A2A3A4）＋P（A1eq \(A,\s\up6(－))2A3A4）＋P（A1A2eq \(A,\s\up6(－))3A4）
＝P（eq \(A,\s\up6(－))1）P（A2）P（A3）P（A4）＋P（A1）P（eq \(A,\s\up6(－))2）P（A3）P（A4）＋P（A1）P（A2）P（eq \(A,\s\up6(－))3）P（A4）
＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,36)，
所以甲以3∶1赢得比赛的概率为eq \f(5,36).
（2）ξ的可能取值为3，4，5，
设甲获胜的概率为P1，乙获胜的概率为P2，
P1（ξ＝3）＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,18)；
P2（ξ＝3）＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)；
P（ξ＝3）＝eq \f(1,18)＋eq \f(2,9)＝eq \f(5,18)；
P1（ξ＝4）＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,36)；
P2（ξ＝4）＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,9)；
P（ξ＝4）＝eq \f(5,36)＋eq \f(2,9)＝eq \f(13,36)；
则P（ξ＝5）＝1－P（ξ＝3）－P（ξ＝4）＝1－eq \f(5,18)－eq \f(13,36)＝eq \f(13,36)，
所以E（ξ）＝3×eq \f(5,18)＋4×eq \f(13,36)＋5×eq \f(13,36)＝eq \f(49,12).
4．解析：（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为eq \f(7,42)×24＝4（名），
18名男同学中应抽取的人数为eq \f(7,42)×18＝3（名），
故不同的样本的个数为C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(24)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(18)) .
（2）（ⅰ）∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，
∴ξ的取值为0，1，2，3.
∴P（ξ＝0）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )＝eq \f(4,35)，P（ξ＝1）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )＝eq \f(18,35)，P（ξ＝2）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )＝eq \f(12,35)，P（ξ＝3）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )＝eq \f(1,35)，
∴ξ的分布列为
E（ξ）＝0×eq \f(4,35)＋1×eq \f(18,35)＋2×eq \f(12,35)＋3×eq \f(1,35)＝eq \f(9,7).
（ⅱ）∵eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(526,812)≈0.65，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝83－0.65×76＝33.60.
∴经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.65x＋33.60
当x＝96时，eq \(y,\s\up6(^))＝0.65×96＋33.60＝96.
可预测该同学的物理成绩为96分．
5．解析：（1）由题可知，所有可能的情况有：
①甲答对1次，乙答对2次的概率P1＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(1)×eq \f(1,4)×C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,6)；
②甲答对2次，乙答对1次的概率P2＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,4)；
③甲答对2次，乙答对2次的概率P3＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)×C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4).
故所求的概率P＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(2,3).
（2）他们在一轮竞赛中获“优秀小组”的概率
P′＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ·p1·（1－p1）·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ·p eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ·p eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ·p2·（1－p2）＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ·p eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ·p eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))
＝2p1p2·（p1＋p2）－3（p1p2）2.
因为0≤p1≤1，0≤p2≤1，p1＋p2＝eq \f(6,5)，
所以eq \f(1,5)≤p1≤1，eq \f(1,5)≤p2≤1，
所以P′＝eq \f(12,5)p1p2－3（p1p2）2，
由基本不等式p1p2≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p1＋p2,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,25)，当且仅当p1＝p2＝eq \f(3,5)时，等号成立，
所以eq \f(1,25)≤p1p2≤eq \f(9,25)，令t＝p1p2，
则P′＝h（t）＝－3t2＋eq \f(12,5)t＝－3（t－eq \f(2,5)）2＋eq \f(12,25)，t∈[eq \f(1,25)，eq \f(9,25)]，
所以当t＝eq \f(9,25)时，P′max＝eq \f(297,625)，
设他们小组在n轮竞赛中获“优秀小组”的次数为ξ，
则ξ～B（n，P′），
由nP′max＝9，得n＝eq \f(9,\f(297,625))＝eq \f(625,33)≈19，
所以理论上至少要进行19轮竞赛．
层次
A
B
C
概率
eq \f(2,3)
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
α
0.010
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828
学生序号i
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩xi
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩yi
70
77
80
85
90
86
93
eq \(x,\s\up6(－))
eq \(y,\s\up6(－))
eq \i\su(i＝1,n,)(xi－ eq \(x,\s\up6(－)))2
eq \i\su(i＝1,n,)(xi－ eq \(x,\s\up6(－)))(yi－ eq \(y,\s\up6(－)))
76
83
812
526
X
0
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,32)
eq \f(5,32)
eq \f(10,32)
eq \f(10,32)
eq \f(5,32)
eq \f(1,32)
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(4,35)
eq \f(18,35)
eq \f(12,35)
eq \f(1,35)