2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业三十一平面向量基本定理及坐标运算

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业三十一平面向量基本定理及坐标运算，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．[2023·广东深圳模拟]已知点A(0，1)，B(2，3)，向量eq \(BC,\s\up6(→))＝(－3，1)，则向量eq \(AC,\s\up6(→))＝( )
A．(1，－2) B．(－1，2)
C．(1，－3) D．(－1，3)
2．已知向量a＝(m，2)，b＝(3，－6)，若a＝λb，则实数m的值是( )
A．－4B．－1
C．1D．4
3．[2023·江西金溪一中月考]已知向量a，b满足2a－b＝(0，3)，a－2b＝(－3，0)，λa＋μb＝(－1，1)，则λ＋μ＝( )
A．－1B．0
C．1D．2
4．[2023·安徽滁州模拟]设a＝(－1，2)，b＝(－1，1)，c＝(3，－2)，用a，b作基底，可将向量c表示为c＝pa＋qb，则( )
A．p＝4，q＝1B．p＝1，q＝－4
C．p＝0，q＝4D．p＝1，q＝4
5．在四边形ABCD中，A(－2，0)，B(－1，3)，C(3，4)，D(2，3)，E，F分别为边AB，CD的中点，则eq \(EF,\s\up6(→))＝( )
A．(4，2) B．(－4，－2)
C．(8，4) D．(－8，－4)
6．已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinA，\f(1,2)))与向量n＝(3，sinA＋eq \r(3)csA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3)D．eq \f(π,2)
7．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝(3，4).若(a－λb)∥c，则实数λ＝( )
A．－2B．2
C．－eq \f(1,2)D．eq \f(1,2)
8．(能力题)[2023·河南郑州模拟]在△ABC中，D是BC上一点，eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，M是线段AD上一点，eq \(BM,\s\up6(→))＝teq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))，则t＝( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(2,3)
C．eq \f(3,4)D．eq \f(5,8)
9.
(能力题)[2023·河北衡水模拟]在△ABG中，已知eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(3,8)eq \(BG,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AG,\s\up6(→))，AE与BF交于O，则eq \(AO,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(2,7)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BG,\s\up6(→))B．eq \f(4,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,10)eq \(BG,\s\up6(→))
C．eq \f(4,7)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,14)eq \(BG,\s\up6(→))D．eq \f(3,14)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,7)eq \(BG,\s\up6(→))
10．(能力题)[2023·安徽蚌埠模拟]如图，在梯形ABCD中，AB∥DC且AB＝2DC，点E为线段BC上靠近点C的一个四等分点，点F为线段AD的中点，AE与BF交于点O，且eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(BC,\s\up6(→))，则x＋y的值为( )
A．1B．eq \f(5,7)
C．eq \f(14,17)D．eq \f(5,6)
二、多项选择题
11．已知向量a＝(1，－2)，若存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则e1，e2可以是( )
A．e1＝(1，1)，e2＝(2，2)
B．e1＝(0，0)，e2＝(－2，4)
C．e1＝(1，1)，e2＝(1，2)
D．e1＝(－1，2)，e2＝(2，－4)
12．(能力题)[2023·湖北汉川期末]已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝neq \(AN,\s\up6(→))，其中m>0，n>0，则下列结论正确的是( )
A．eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
B．eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))
C．2m＋n＝3
D．m＋2n＝3
三、填空题
13．已知向量a＝(1，0)，b＝(2，1).若ka－b与a＋2b共线，则k＝________；若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，则实数m的值为________．
14．(能力题)半径为1的扇形AOB的圆心角为150°，点C在弧AB上，∠COB＝60°，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，则eq \f(λ,μ)＝________.
四、解答题
15．已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，3)，c＝(5，－1).
(1)求6a＋b－2c；
(2)若a＝mb＋nc，求实数m，n的值；
(3)若(a＋kb)∥(c－2a)，求实数k的值．
优生选做题
16.
[2023·河北邢台模拟]如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD＝2CD＝2CB＝2，点P在线段BC上运动，若eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，则x2＋y2的最小值为( )
A．eq \f(5,4)B．eq \f(4,5)
C．eq \f(13,16)D．eq \f(13,4)
17.
已知点G是△ABC的重心，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，过点G作直线l交AB、AC边分别于点E、点F，设eq \(AE,\s\up6(→))＝2xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))，证明：eq \f(1,2x)＋eq \f(1,y)是定值．
课时作业（三十一） 平面向量基本定理及坐标运算
1．解析：设C（x，y），所以eq \(BC,\s\up6(→))＝（－3，1）＝（x－2，y－3），整理得C（－1，4），所以
eq \(AC,\s\up6(→))＝（－1，4）－（0，1）＝（－1，3）.
故选D.
答案：D
2．解析：由a＝λb得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝3λ,2＝－6λ))，所以m＝－1.
故选B.
答案：B
3．解析：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x1－x2＝0,2y1－y2＝3))，且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1－2x2＝－3,y1－2y2＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝1,y1＝2))，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝2,y2＝1))，即a＝（1，2），b＝（2，1）.所以λa＋μb＝λ（1，2）＋μ（2，1）＝（λ＋2μ，2λ＋μ）＝（－1，1），则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＋2μ＝－1,2λ＋μ＝1))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝1,μ＝－1))，故λ＋μ＝0.
故选B.
答案：B
4．解析：由题意，向量a＝（－1，2），b＝（－1，1），c＝（3，－2），
因为c＝pa＋qb，即（3，－2）＝p（－1，2）＋q（－1，1）＝（－p－q，2p＋q），
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－p－q＝3,2p＋q＝－2))，解得p＝1，q＝－4，
故选B.
答案：B
5．解析：因为A（－2，0），B（－1，3），C（3，4），D（2，3），E，F分别为边AB，CD的中点，
所以E（－eq \f(3,2)，eq \f(3,2)），F（eq \f(5,2)，eq \f(7,2)），所以eq \(EF,\s\up6(→))＝（eq \f(5,2)，eq \f(7,2)）－（－eq \f(3,2)，eq \f(3,2)）＝（4，2）.故B，C，D错误．
故选A.
答案：A
6．解析：∵m∥n，∴sinA（sinA＋eq \r(3)csA）－eq \f(3,2)＝0，
∴2sin2A＋2eq \r(3)sinAcsA＝3.
可化为1－cs2A＋eq \r(3)sin2A＝3，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6)))＝1.
∵A∈（0，π），
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(11π,6))).
因此2A－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，解得A＝eq \f(π,3).故选C.
答案：C
7．解析：由题a－λb＝（1－λ，2－λ），因为（a－λb）∥c，所以4（1－λ）＝3（2－λ），λ＝－2.
故选A.
答案：A
8．解析：因为eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝2（eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))），所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
因为eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)（eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))）＝（eq \f(3,4)－t）eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
M是线段AD上一点，设eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)λeq \(AC,\s\up6(→))，其中0≤λ≤1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)λ＝\f(3,4)－t,\f(2,3)λ＝\f(1,4)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(3,8),t＝\f(5,8))).
故选D.
答案：D
9．解析：
如图，过E作直线EH∥BF交AG于H，因为eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(3,8)eq \(BG,\s\up6(→))，
所以eq \f(FH,HG)＝eq \f(BE,EG)＝eq \f(3,5)，因为eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AG,\s\up6(→))，所以设AF＝1，则FG＝2，
所以FH＝2×eq \f(3,8)＝eq \f(3,4)，因为EH∥BF，所以eq \f(AO,AE)＝eq \f(AF,AH)＝eq \f(1,1＋\f(3,4))＝eq \f(4,7)，
所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(4,7)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(4,7)（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))）＝eq \f(4,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(3,8)\(BG,\s\up6(→))))＝eq \f(4,7)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,14)eq \(BG,\s\up6(→)).
故选C.
答案：C
10．解析：根据向量的线性运算法则，可得eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(BC,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋y（eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))）
＝xeq \(AB,\s\up6(→))－yeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))＝（x－y）eq \(AB,\s\up6(→))＋y·（eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))）
＝（x－y）eq \(AB,\s\up6(→))＋y·（2eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))）＝（x－y）eq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AF,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)yeq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(y,2)))eq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AF,\s\up6(→))，
因为B，O，F三点共线，可得x－eq \f(y,2)＋2y＝1，即2x＋3y－2＝0；
又由eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))－xeq \(BA,\s\up6(→))＋y·eq \f(4,3)eq \(BE,\s\up6(→))＝（1－x）eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(4y,3)eq \(BE,\s\up6(→))，
因为A，O，E三点共线，可得1－x＋eq \f(4y,3)＝1，即3x－4y＝0，
联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y－2＝0,3x－4y＝0))，解得x＝eq \f(8,17)，y＝eq \f(6,17)，所以x＋y＝eq \f(14,17).
故选C.
答案：C
11．解析：对于A，由a＝λe1＋μe2，得（1，－2）＝λ（1，1）＋μ（2，2），所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ＋2μ,－2＝λ＋2μ))，无解，所以不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，所以此选项错误；
对于B，由a＝λe1＋μe2，得（1，－2）＝λ（0，0）＋μ（－2，4），所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝－2μ,－2＝4μ))，μ＝－eq \f(1,2)，λ∈R，存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，所以此选项正确；
对于C，由a＝λe1＋μe2，得（1，－2）＝λ（1，1）＋μ（1，2），所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ＋μ,－2＝λ＋2μ))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝4,μ＝－3))，所以存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，所以此选项正确；
对于D，由a＝λe1＋μe2，得（1，－2）＝λ（－1，2）＋μ（2，－4），所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝－λ＋2μ,－2＝2λ－4μ))，所以存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，所以此选项正确．
故选BCD.
答案：BCD
12．解析：eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)（eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))）＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，A正确，B错误；
因为eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝neq \(AN,\s\up6(→))，所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2m,3)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)neq \(AN,\s\up6(→))，
又因为M，O，N三点共线，
所以eq \f(2,3)m＋eq \f(1,3)n＝1，故2m＋n＝3，C正确，D错误．
故选AC.
答案：AC
13．解析：∵向量a＝（1，0），b＝（2，1），∴a、b不共线，
若ka－b与a＋2b共线，则eq \f(k,1)＝eq \f(－1,2)，求得k＝－eq \f(1,2).
若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝（8，3），eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝（1＋2m，m），且A，B，C三点共线，
则eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \f(1＋2m,8)＝eq \f(m,3)，∴实数m＝eq \f(3,2).
答案：－eq \f(1,2) eq \f(3,2)
14．解析：
建立直角坐标系，如图所示，B（1，0）.
∵∠COB＝60°，OC＝1，
∴C（cs60°，sin60°），
即C（eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2)）.
∵∠BOA＝150°，
∴A（cs150°，sin150°），即A（－eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)）.
∵eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
∴（eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2)）＝λ（－eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)）＋μ（1，0），
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＝－\f(\r(3),2)λ＋μ,\f(\r(3),2)＝\f(1,2)λ))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\r(3),μ＝2)).
∴eq \f(λ,μ)＝eq \f(\r(3),2).
答案：eq \f(\r(3),2)
15．解析：（1）∵a＝（2，1），b＝（－2，3），c＝（5，－1），
∴6a＋b－2c＝6（2，1）＋（－2，3）－2（5，－1）
＝（12，6）＋（－2，3）－（10，－2）
＝（0，11）.
（2）∵b＝（－2，3），c＝（5，－1），
mb＋nc＝m（－2，3）＋n（5，－1）
＝（－2m，3m）＋（5n，－n）
＝（－2m＋5n，3m－n），
又a＝mb＋nc，a＝（2，1），
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝－2m＋5n,1＝3m－n))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(7,13),n＝\f(8,13)))，
∴m＝eq \f(7,13)，n＝eq \f(8,13).
（3）∵a＝（2，1），b＝（－2，3），c＝（5，－1），
∴a＋kb＝（2，1）＋k（－2，3）＝（2－2k，1＋3k），
c－2a＝（5，－1）－2（2，1）＝（1，－3），
∵（a＋kb）∥（c－2a），
∴3（2－2k）＋（1＋3k）＝0，
解得k＝eq \f(7,3).
16．解析：
如图建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（2，0），C（eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2)），D（eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2)），
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝（2，0），eq \(AD,\s\up6(→))＝（eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2)），eq \(BC,\s\up6(→))＝（－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2)），
设eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，（0≤λ≤1），eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＝λ（－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2)），
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝（2－eq \f(1,2)λ，eq \f(\r(3),2)λ），
又eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＝x（2，0）＋y（eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2)）＝（2x＋eq \f(1,2)y，eq \f(\r(3),2)y），
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)λ＝2x＋\f(1,2)y,\f(\r(3),2)λ＝\f(\r(3),2)y))，
解得x＝1－eq \f(1,2)λ，y＝λ，
∴x2＋y2＝（1－eq \f(1,2)λ）2＋λ2＝eq \f(5,4)λ2－λ＋1＝eq \f(5,4)（λ－eq \f(2,5)）2＋eq \f(4,5)≥eq \f(4,5)，
即x2＋y2的最小值为eq \f(4,5).
故选B.
答案：B
17．证明：因为G是重心，
所以eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \f(2,3)（eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))）
＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
又因为E，G，F三点共线，
所以eq \(AG,\s\up6(→))＝teq \(AE,\s\up6(→))＋（1－t）eq \(AF,\s\up6(→))
＝t·2x·eq \(AB,\s\up6(→))＋（1－t）·y·eq \(AC,\s\up6(→))
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2tx＝\f(1,3),（1－t）y＝\f(1,3)))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝\f(1,6x),t＝1－\f(1,3y)))，
所以eq \f(1,6x)＋eq \f(1,3y)＝1，
两边乘以3得，
eq \f(1,2x)＋eq \f(1,y)＝3，
所以eq \f(1,2x)＋eq \f(1,y)是定值．