2022-2023学年云南省曲靖市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年云南省曲靖市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年云南省曲靖市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )
A. 0.2 B. 12 C. 6 D. 12
2. 下列计算正确的是(    )
A. 8÷ 2=4 B. 5− 3= 2 C. 2+ 3=2 3 D. 2× 3= 6
3. 如图是嘉淇不完整的推理过程．
∵∠A+∠D=180
AB//CD
∵(    )
∴四边形ABCD是平行四边形
小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列正确的是(    )


A. ∠B+∠C=180° B. AB=CD
C. ∠A=∠B D. AD=BC
4. 化简 (−2)2的结果是(    )
A. −2 B. ±2 C. 2 D. 4
5. 已知函数y=kx(k≠0,k为常数)的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是(    )
A. (0.5,1) B. (2,1) C. (−2,4) D. (−2,−2)
6. 有一列数按一定规律排列：−12， 34，− 58， 716，−332，…，则第n个数是(    )
A. (−1)n+1⋅ 2n+12n B. (−1)n+1⋅ 2n2n+1
C. (−1)n⋅ 2n−12n D. (−1)n⋅ 3n−2n2
7. 在平面直角坐标系中，将直线y=−32x+3沿y轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是(    )
A. (−2,0) B. (6,0) C. (4,0) D. (0,−3)
8. 如图，以原点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，若点A表示的数为x，则x的值为(    )


A. 5 B. − 5 C. 5−2 D. 2− 5
9. 如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，若∠ACB=30°，AB=10，则MN的长为(    )
A. 5 2
B. 5
C. 5 3
D. 4
10. 如图，已知函数y=x+1和y=ax−1的图象交于点P(n,−2)，则根据图象可得不等式x+1>ax−1的解集是(    )

A. x>−32 B. x<−3 C. x<−32 D. x>−3
11. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE.若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为(    )


A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
12. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=196，大正方形的面积为100，则小正方形的面积为(    )
A. 4 B. 9 C. 96 D. 6
二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）
13. 若式子2 x−5有意义，则x的取值范围是______．
14. 在一次舞蹈比赛中，甲、乙、丙、丁四队演员的人数相同，身高的平均数均为166cm，且方差分别为S甲2=1.5，S乙2=2.5.S丙2=2.9，S丁2=3.3，则这四队演员的身高最整齐的是______ 队.
15. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，AC=13cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于______ cm．


16. 已知直线y=kx+4，该直线与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么k的值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算： 13× 12+ 6÷ 3− 8+|1− 2|+(2023−π)0．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1+4x−3)÷x2+2x+12x−6，其中x= 2−1．
19. (本小题7.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．
(1)求证：∠ADB=∠CDB；
(2)若∠ADC=______°时，四边形MPND是正方形，并说明理由．

20. (本小题7.0分)
光明学校为了提高学生的“甲流病毒防范”意识，特组织了一场“防疫”知识竞赛，学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩(分数)进行整理分析，已知成绩(分数)x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：
A：90≤x≤100，B：80≤x<90，C：70≤x<80，D：60≤x<70，E：0≤x<60.并给出了部分信息：
①八年级B等级中由低到高的10个分数为：80，80，81，83，83，83，84，84，85，85；
②两个年级学生“防疫”知识竞赛分数统计图：

③两个年级学生“防疫”知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：

平均数
中位数
众数
八年级
84
a
76
九年级
84
81
75
(1)直接写出a，m的值；
(2)若分数不低于80分表示该生对“防疫”知识掌握较好，该校八年级有学生1800人，九年级有学生1900人，请估计该校八、九年级所有学生中，对“防疫”知识掌握较好的学生人数．
21. (本小题7.0分)
如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2−DA2=AC2．
(1)求证：∠A=90°；
(2)若BC2=56，AD：BD=3：4，求AC的长．

22. (本小题7.0分)
某商场销售甲、乙两种品牌的书包，已知该商场销售10个甲品牌书包和20个乙品牌书包的利润为400元；销售20个甲品牌书包和10个乙品牌书包的利润为350元．
(1)求每个甲品牌书包和每个乙品牌书包的销售利润；
(2)该商场购进甲、乙两种品牌的书包共200个，其中乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的2倍，设购进甲品牌书包x个，本次购进的200个书包全部出售的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商场如何采购，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
23. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，AB=5，BC=4，点F是BC上一点，若将△DCF沿DF折叠，点C恰好与AB上的点E重合，过点E作EG//BC交DF于点G，连接CG．
(1)求证：四边形EFCG是菱形；
(2)当∠A=∠B时，求点B到直线EF的距离．

24. (本小题8.0分)
如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A(10,0)、B(0,5)两点，点F是线段AB上的一个动点(不与A，B重合)，连接OF．
(1)求直线AB的解析式；
(2)当OF平分△AOB的面积时，第一象限内是否存在一点P，使△PAF是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
B选项的被开方数含分母，不符合题意；
C选项是最简二次根式，符合题意；
D选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意；
故选：C．
最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．

2.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查二次根式的运算．
根据二次根式的除法、乘法及同类二次根式的运算法则、概念逐一判断即可．
【解答】
解：A． 8÷ 2=2 2÷ 2=2，此选项不符合题意；
B. 5与 3不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
C.2与 3不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
D. 2× 3= 2×3= 6，此选项符合题意，
故选：D．  
3.【答案】B 
【解析】解：选项A中，∠B+∠C=180°，得到AB//CD，无法证明平行四边形，选项A错误，不合题意；
选项B中，AB=CD，得到AB与CD平行且相等，可证明平行四边形，选项B正确，符合题意；
选项C中，∠A≠∠B，选项C错误，不合题意；
选项D中，一组对边平行，另一组对边相等，可能为等腰梯形，不能判定平行四边形，选项D错误，不合题意．
故选：B．
根据平行四边形的5条判定定理可得到，在有一组对边平行的情况下，只能添加另一组对边平行或这一组对边相等，查看选项可得到答案．
本题考查平行四边形的判定，需要严格按照判定定理进行推理论证，熟悉5条平行四边形的判定是解题的关键．

4.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意算术平方根为非负数．
本题可先将根号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案．
【解答】
解： (−2)2= 4=2．
故选：C．  
5.【答案】C 
【解析】解：∵函数y=kx(k≠0,k为常数)的函数值y随x值的增大而减小，
∴k<0，
∴正比例函数y=kx(k≠0,k为常数)的图象经过第二、四象限，
∴这个函数图象可能经过的点是(−2,4)．
故选：C．
由函数y=kx(k≠0,k为常数)的函数值y随x值的增大而减小，可得出k<0，进而可得出正比例函数y=kx(k≠0,k为常数)的图象经过第二、四象限，再对照四个选项即可得出结论．
本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k>0时，函数图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，函数图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小”是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：根据规律可知，奇数个数为负数，偶数个为正数，该列数的分子是 2n−1，分母是2n，
所以第n个数是(−1)n 2n−12n．
故选：C．
根据奇数个数为负数，偶数个为正数，再按分子，分母分别找规律求解即可．
本题考查了规律型：数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：将直线y=−32x+3沿y轴向下平移6个单位后，得到：y=−32x+3−6=−32x−3，
把y=0代入y=−32x−3得，0=−32x−3，
解得x=−2，
所以该直线与x轴的交点坐标是(−2,0)，
故选：A．
直接根据“上加选减”的原则进行解答，再把y=0代入所得的解析式解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：由图可知，x2=12+22=5，
则x1=− 5，x2= 5(舍去)．
故选：B．
根据勾股定理列式求出x2，再利用平方根的相反数定义解答．
本题考查了实数与数轴，主要是数轴上无理数的作法，需熟练掌握．

9.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC，OB=OD，
∴AO=BO，∠AOB=∠ACB+∠OBC=30°+30°=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OB=AB=10，
∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴MN是△BOC的中位线，
∴MN=12OB=5，
故选：B．
首先利用矩形的性质说明△ABO是等边三角形，得OB=AB=10，再利用三角形中位线定理可得答案．
本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，证明△ABO是等边三角形是解题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：∵函数y=x+1经过点P(n,−2)，
∴n+1=−2，
∴n=−3，
∵函数y=3x+b和y=ax−3的图象交于点P(−3,−2)，
则根据图象可得不等式x+1>ax−1的解集是的解集是x>−3，
故选：D．
根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．
本题考查了一次函数与不等式(组)的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，做到数形结合．

11.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD=12BD，BD⊥AC，
∴BD=2OB=12，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=54，
∴AC=9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴OE=12AC=4.5，
故选：B．
由菱形的性质得出BD=12，由菱形的面积得出AC=9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

12.【答案】A 
【解析】解：∵(a+b)2=196，
∴a2+2ab+b2=196，
∵大正方形的面积为100，
∴a2+b2=100，
∴2ab=196−100=96，
∴小正方形的面积为(a−b)2=a2+b2−2ab=100−96=4．
故选：A．
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，利用已知(a+b)2=196，大正方形的面积为100，可以得出4个直角三角形的面积，进而求出答案．
此题主要考查勾股定理的应用、正方形的性质以及完全平方式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

13.【答案】x>5 
【解析】解：若式子2 x−5有意义，
则x−5>0，
解得：x>5．
故答案为：x>5．
直接利用分式有意义的条件和二次根式有意义的条件得出不等式，然后进行求解即可得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件和二次根式有意义的条件是解题关键．

14.【答案】甲 
【解析】解：∵S甲2 ∴这四队女演员的身高最整齐的是甲队，
故答案为甲．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义，关键是掌握方差所表示的意义，此题难度不大．

15.【答案】17 
【解析】解：在Rt△ABC中，BC= AC2−AB2= 132−52=12cm，
由折叠过程可得，AE=CE，
则△ABE的周长等于AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=5+12=17cm．
故答案为：17．
根据勾股定理求得BC=12cm，由题意得，AE=CE，则△ABE的周长等于AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC，即可求解．
此题考查了勾股定理及图形的折叠的知识，折叠构成的全等图形是常用的隐含条件．

16.【答案】±2 
【解析】解：当x=0时，y=k×0+4=4，
∴直线y=kx+4与y轴的交点坐标为(0,4)；
当y=0时，kx+4=0，
解得：x=−4k，
∴直线y=kx+4与x轴的交点坐标为(−4k,0)．
∵该直线与两坐标轴围成的三角形面积为4，
∴12×4×|−4k|=4，
解得：k=±2，
经检验，k=±2是所列方程的解，且符合题意．
故答案为：±2．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线y=kx+4与两坐标轴的交点坐标，结合该直线与两坐标轴围成的三角形面积为4，可得出关于k的方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解分式方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，列出关于k的方程是解题的关键．

17.【答案】解：原式=2+ 2−2 2+ 2−1+1
=2． 
【解析】先计算二次根式的乘法和除法，化简二次根式，去绝对值和零指数幂，最后加减即可．
本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是解决本题的关键．

18.【答案】解：原式=x−3+4x−3⋅2(x−3)(x+1)2
=x+1x−3⋅2(x−3)(x+1)2
=2x+1，
当x= 2−1时，
原式=2 2−1+1
= 2． 
【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．

19.【答案】90 
【解析】证明：(1)∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
AB=BC∠ABD=∠CBDBD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB=∠CDB；

(2)当∠ADC=90°时，四边形MPND是正方形，
理由如下：∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°，
∵∠PMD=90°，
∴∠MPD=∠PDM=45°，
∴PM=MD，
∴矩形MPND是正方形，
故答案为：90．
(1)根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
(2)由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．

20.【答案】解：(1)将八年级这50名学生的成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数是84+842=84，即因此中位数是84，即a=84，
1−22%−36%−6%−6%=30%，即m=30，
答：a=84，m=30；
(2)1800×12+1650+1900×(22%+30%)
=1080+988
=2068(人)，
答：该校八年级1800名学生，九年级1900名学生中，对“防疫”知识掌握较好的学生人数大约有2068人． 
【解析】(1)根据中位数的定义可求出中位数，根据各组频率之和等于100%，即可求出m的值；
(2)求出样本中，八年级、九年级学生分数不低于80分的所占的百分比，估计总体中分数不低于80分的所占的百分比，进而求出相应的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率=频数总数是解决问题的关键．

21.【答案】(1)证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD=DB，
∵BD2−DA2=AC2，
∴CD2−DA2=AC2，
∴CD2=AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A=90°；
(2)解：∵BC2=56，AD：BD=3：4，
设AD=3a，CD=BD=4a，
∴AC= CD2−AD2= 7a，
∴AB=7a，
由勾股定理得：BC2=AB2+AC2，
即56=(7a)2+( 7a)2，
∴a=1(负值舍去)，
∴AC= 7． 
【解析】(1)利用线段垂直平分线的性质可得CD=BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
(2)首先AD=3a，CD=BD=4a，进而可得AB=7a，再利用勾股定理进行计算即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

22.【答案】解：(1)设每个甲品牌书包的销售利润为m元，每个乙品牌书包的销售利润为n元，
根据题意得：10m+20n=40020m+10n=350，
解得m=10n=15，
∴每个甲品牌书包的销售利润为10元，每每个乙品牌书包的销售利润为15元；
(2)①根据题意得：y=10x+15(200−x)=−5x+3000；
∴y关于x的函数关系式为y=−5x+3000；
②∵乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的2倍，
∴200−x≤2x，
解得x≥6623，
∵x为整数，
∴x最小取67，
又y=−5x+3000中，y随x的增大而减小，
∴当x=67时，y取最大值，最大值为−5×67+3000=2665，
此时200−x=200−67=133，
∴购进67个甲品牌书包，133个乙品牌书包，才能使销售总利润最大，最大利润是2665元． 
【解析】(1)设每个甲品牌书包的销售利润为m元，每个乙品牌书包的销售利润为n元，根据销售10个甲品牌书包和20个乙品牌书包的利润为400元；销售20个甲品牌书包和10个乙品牌书包的利润为350元得：10m+20n=40020m+10n=350，可解得每个甲品牌书包的销售利润为10元，每每个乙品牌书包的销售利润为15元；
(2)①根据题意得y=10x+15(200−x)=−5x+3000；
②由乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的2倍，可得200−x≤2x，x≥6623，故x最小取67，再由一次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．

23.【答案】(1)证明：∵将△DCF沿DF折叠，点C恰好与AB上的点E重合，
∴∠CFD=∠EFD，CF=EF，CG=EG，
∵EG//BC，
∴∠EGF=∠CFD，
∴∠EGF=∠EFD，
∴EG=EF，
∴EG=EF=CF=CG，
∴四边形EFCG是菱形；
(2)解：∵∠A=∠B，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∵AB=5，BC=4，
∴AE=3，
∴BE=2，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
∴22+BF2=(4−BF)2，
解得BF=74，
∴EF=94，
设点B到直线EF的距离为h，
∴12×2×74=12×94h，
解得h=289，
∴点B到直线EF的距离为289． 
【解析】(1)由折叠的性质得出∠CFD=∠EFD，CF=EF，CG=EG，再根据平行线的性质可得∠EGF=∠CFD，进而可证四条边相等；
(2)先由题意得出四边形ABCD是矩形，再利用勾股定理求出AE，CE的长，最后利用等面积法即可求解．
本题考查矩形的性质，菱形的判定，平行线的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．

24.【答案】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵图象经过A(10,0)、B(0,5)两点，
∴0=10k+bb=5，
解得b=5k=−12，
∴y=−12x+5．
(2)∵OF平分△AOB的面积，设F(x,y)是线段AB上的一个动点(不与A，B重合)
∴12OA⋅y=12OA⋅OB⋅12，
∵OB=5，
∴y=52，代入y=−12x+5，
∴−12x+5=52，
解得x=5，
∴F点坐标为(5,52).
如图，过点F作EG⊥x轴于E，过点P1作P1N⊥EG于N，过点P2作P2M⊥x轴，
∵△PAF是等腰直角三角形，
∴AF=P1F，∠P1FA=∠P1NF=∠AEF=90°，
∴∠NFP1+∠NP1F=∠NFP1∠AFE=90°，
∴∠NP1F=∠AFE，

∴△AEF≌△FNP1(AAS)，
∴P1N=EF=52，NF=AE=10−5=5，
∴P1(5+52,52+5)，即P1(152,152)，
同理，AM=EF=52，P2M=AE=10−5=5，
∴OM=OA+AM=252，
∴P2(252,5)，
综上，点P的坐标为(152,152)或(252,5)． 
【解析】(1)利用待定系数法求解析式即可．
(2)根据题意求出F点的坐标，过点F作EG⊥x轴于E，过点P1作P1N⊥EG于N，过点P2作P2M⊥x轴，证明△AEF≌△FNP1(AAS)，即可求出P点的坐标．
本题考查了一次函数综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，作辅助线．