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2019年江苏常州市初中学业水平考试数学
展开常州市2019年初中学业水平考试
数学试题
一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的)
1. -3的相反数是( )
A. B. - C. 3 D. -3
2. 若代数式 有意义,则实数x的取值范围是( )
A. x=-1 B. x=3 C. x≠-1 D. x≠3
3. 下图是某几何体的三视图,该几何体是( )
A. 圆柱 B. 正方体 C. 圆锥 D. 球
第3题图
4. 如图,在线段PA、PB、PC、PD中,长度最小的是( )
A. 线段PA B. 线段PB
C. 线段PC D. 线段PD
第4题图
5. 若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的周长的比为( )
A. 2∶1 B. 1∶2 C. 4∶1 D. 1∶4
6. 下列各数中与2+的积是有理数的是( )
A. 2+ B. 2 C. D. 2-
7. 判断命题“如果n<1,那么n2-1<0”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n可以为( )
A. -2 B. - C. 0 D.
8. 随着时代的进步,人们对PM2.5(空气中直径小于等于2.5微米的颗粒)的关注日益密切.某市一天中PM2.5的值y1(ug/m3)随时间t(h)的变化如图所示,设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差(即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差),则y2与t的函数关系大致是( )
第8题图
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
9. 计算:a3÷a=________.
10. 4的算术平方根是________.
11. 分解因式:ax2-4a=________.
12. 如果∠α=35°,那么∠α的余角等于________°.
13. 如果a-b-2=0,那么代数式1+2a-2b的值是________.
14. 平面直角坐标系中,点P(-3,4)到原点的距离是________.
15. 若是关于x、y的二元一次方程ax+y=3的解,则a=________.
16. 如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,∠AOC=120°,则∠CDB=________°.
第16题图
17. 如图,半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,连接OC,则tan ∠OCB=________.
第17题图
18. 如图,在矩形ABCD中,AD=3AB=3,点P是AD的中点,点E在BC上,CE=2BE,点M、N在线段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等,则MN=________.
第18题图
三、解答题(本大题共10小题,共84分.请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19. (本题满分8分)
计算:(1)π0+()-1-()2;
(2)(x-1)(x+1)-x(x-1).
20. (本题满分6分)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
21. (本题满分8分)
如图,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在点C′处,BC′与AD相交于点E.
(1)连接AC′,则AC′与BD的位置关系是______;
(2)EB与ED相等吗?证明你的结论.
第21题图
22. (本题满分8分)
在“慈善一日捐”活动中,为了解某校学生的捐款情况,抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位:元),并绘制成下面的统计图.
(1)本次调查的样本容量是________,这组数据的众数为________元;
(2)求这组数据的平均数;
(3)该校共有600名学生参与捐款,请你估计该校学生的捐款总数.
第22题图
23. (本题满分8分)
将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.
第23题图
(1)搅匀后从中摸出1个盒子,盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是____________;
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的2个盒子中摸出1个盒子,把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起,求拼成的图形是轴对称图形的概率.(不重叠无缝隙拼接)
24. (本题满分8分)
甲、乙两人每小时共做30个零件,甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件?
25. (本题满分8分)
如图,在▱OABC中,OA=2,∠AOC=45°,点C在y轴上,点D是BC的中点,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A、D.
(1)求k的值;
(2)求点D的坐标.
第25题图
26. (本题满分10分)
【阅读】
数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理,是一种重要的数学思想.
图① 图②
第26题图
【理解】
(1)如图①,两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论;
(2)如图②,n行n列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得等式:n2=________;
【运用】
(3)n边形有n个顶点,在它的内部再画m个点,以(m+n)个点为顶点,把n边形剪成若干个三角形,设最多可以剪得y个这样的三角形.当n=3,m=3时,如图③,最多可以剪得7个这样的三角形,所以y=7.
①当n=4,m=2时,如图④,y=________;当n=5,m=________时,y=9;
图③ 图④
第26题图
②对于一般的情形,在n边形内画m个点,通过归纳猜想,可得y=________(用含m、n的代数式表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.
27. (本题满分10分)
如图,二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.
(1)b=________;
(2)若点P在第一象限,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,PH与BC、BD分别交于点M、N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P的横坐标小于3,过点P作PQ⊥BD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且S△PQB=2S△QRB,求点P的坐标.
第27题图 备用图
28. (本题满分10分)
已知平面图形S,点P、Q是S上任意两点,我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”.例如,正方形的宽距等于它的对角线的长度.
(1)写出下列图形的宽距:
①半径为1的圆:________;
②如图①,上方是半径为1的半圆,下方是正方形的三条边的“窗户形”:________;
(2)如图②,在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(1,0),C是坐标平面内的点,连接AB、BC、CA所形成的图形为S,记S的宽距为d.
①若d=2,用直尺和圆规画出点C所在区域并求它的面积(所在区域用阴影表示);
②若点C在⊙M上运动,⊙M的半径为1,圆心M在过点(0,2)且与y轴垂直的直线上.对于⊙M上任意点C,都有5≤d≤8,直接写出圆心M的横坐标x的取值范围.
第28题图
2019年江苏省常州市初中学业水平考试卷数学解析
一、 选择题
1. C 【解析】-3的相反数是3.
2. D 【解析】要使有意义,则x-3≠0,解得x≠3.
3. A 【解析】结合三视图可得,这个几何体为圆柱,故选A.
4. B 【解析】根据“垂线段最短”可得,长度最小的是线段PB.
5. B 【解析】根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得,△ABC与△A′B′C′的周长比为1∶2.
6. D 【解析】(2+)(2-)=22-()2=4-3=1,1是有理数,满足题意,故选D.
7. A 【解析】当n=-2时,n2-1=(-2)2-1=3>0,所以-2满足题意,故选A.
8. B 【解析】结合图象求的y1=0.43(x-10)2+42(0≤x≤24),当0≤t<10时,y2=85-0.43(x-10)2-42=-0.43(x-10)2+43;当10≤t<20时,y2=85-42=43;当20≤t<24时,y2=0.43(x-10)2+42-42=0.43(x-10)2,故选B.
二、填空题
9. a2 【解析】a3÷a=a3-1=a2.
10. 2 【解析】4的算术平方根是2.
11. a(x-2)(x+2) 【解析】ax2-4a=a(x2-4)=a(x-2)(x+2).
12. 55 【解析】根据余角的定义可得∠α的余角为90°-35°=55°.
13. 5 【解析】∵a-b-2=0,∴a-b=2,∴1+2a-2b=1+2(a-b)=1+2×2=5.
14. 5 【解析】点P(-3,4)到原点的距离为:=5.
15. 1 【解析】把x=1,y=2代入方程ax+y=3中可得,a+2=3,解得a=1.
16. 30 【解析】∵AB是⊙O的直径,∠AOC=120°,∴∠BOC=60°,∴∠CDB=30°.
第17题解图
17. 【解析】如解图,过点O作OD⊥BC于点D,连接OB,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵AB、BC两边都与⊙O相切,∴∠OBD=30°,在Rt△OBD中,tan 30°==,∴BD=3,∵BC=8,∴CD=8-3=5,∴tan ∠OCB==.
18. 6或 【解析】∵P是AD的中点,∴PD=,∵AD=3AB,∴DC=,BD==10,∵CE=2BE,∴CE=2.①当PM=PN,此时∠DEC=∠PMN,如解图①,作PF⊥BD于点F,∵∠PDF=∠DBC,∠PFD=∠DCB,∴△PDF∽△DBC,∴=,∴PF=,∵∠DEC=∠PMN,tan ∠PMN=tan ∠DEC== ,∴FM=3,∴MN=6;②当MN=PN,此时∠DEC=∠PMN,如解图②,由①可得PM=,MQ=6,∠PMN=∠MPN=∠PQM,∴△PMN∽△MQP,∴=,∵PM=PQ,∴MN=.综上所述,MN的长度为6或.
第18题解图
三、解答题
19.(1)
(2)解:解法一:原式=(x-1)(x+1)-x(x-1)
=(x-1)(x+1-x)
=x-1.
解法二:原式=x2-1-x2+x
=x-1.
20.解:解①得x>-1,解②得x≤2,
∴不等式组的解集为-1<x≤2.
解集在数轴上表示如解图:
第20题解图
21.解:(1)AC′∥BD;
(2)EB=ED,理由如下,
∵把平行四边形ABCD沿BD折叠,
∴∠CBD=∠DBE,
∵AD∥BC,
∴∠CBD=∠BDE,
∴∠DBE=∠BDE,
∴EB=ED.
22.解:(1)30,11;
【解法提示】根据条形图可得,样本容量为:6+11+8+5=30,数据11出现的次数最多,故这组数据的众数为11元.
(2)平均数为=12(元);
(3)根据(2)可得,该校学生的捐款总数为:600×12=7200(元).
23.解:(1);
【解法提示】∵正方形和菱形既是轴对称图形,也是中心对称图形,而等腰直角三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,该事件总共有3种可能,摸出的盒子中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的可能有2种,∴P(摸出的盒子中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形)=.
(2)列出所有的可能有:AB,AC,BA,BC,CA,CB共有6种等可能的情况,其中能拼成轴对称图形的有AC和CA共2种可能,
∴P(拼成的图形是轴对称图形)==.
24.解:设甲每小时做零件x件,那么乙每小时做零件(30-x)件,根据题意可得,
=,
解得x=18,
检验:把x=18代入x(30-x)≠0,∴x=18是原分式方程的解,且符合实际意义.
∴30-x=12.
答:甲每小时做零件18件,乙每小时做零件12件.
25.解:(1)如解图,过点A作AE⊥x轴于点E,
在Rt△AOE中,∠AOC=45°, OA=2,
∴OE=AE=OA=2,
∴点A的坐标为(2,2),
∴k=2×2=4;
第25题解图
(2)∵四边形OCBA是平行四边形.
∴AB∥OC,
∵OC⊥x轴
∴AB⊥x轴.
∴点B、A、E三点共线.
∵ A点的坐标为(2,2),D为BC的中点,
∴D点的横坐标为1,
把x=1代入y=,解得y=4,
∴点D的坐标为(1,4).
26. 解:(1)根据梯形的面积公式可得,梯形面积为:(a+b)(a+b)=(a+b)2;
利用面积和可得,梯形面积为:ab×2+c2,
结论为(a+b)2=ab×2+c2,
即(a+b)2=ab×2+c2,a2+b2=c2,验证了勾股定理.
(2)根据题图可得,n2=1+3+5+…+(2n-1);
(3)① 6;3;
②通过归纳猜想可得y=n+2m-2,理由如下:
第一种算法:对于一般的情形,在n边形内画m个点,第一个点将多边形分成了n个三角形,以后三角形内部每增加一个点,分割部分增加2部分,故可得y=n+2(m-1).
第二种算法:从n边形的内角和考虑,n边形的内角和为(n-2)×180°,等于剪得的三角形的内角和减去m个周角,即(n-2)×180°=y×180°-m×360°,整理可得y= =n+2m-2;
得证.
27.解:(1)2;
【解法提示】把点A(-1,0)代入y=-x2+bx+3,解得b=2.
(2)存在;令y=0,即-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,
即点B的坐标为(3,0),
令x=0,则y=3,
∴C点的坐标为(0,3),D点的坐标为(0,),
设直线BC的解析式为y=kx+b,则,解得,
∴直线BC的解析式为y=-x+3;
设直线BD的解析式为y=mx+n,则,解得,
∴直线BD的解析式为y=-x+;
∵D是OC的中点,
∴MN=NH恒成立,
设P(a,-a2+2a+3),则M(a,-a+3),N(a,-a+),
∵PM=MN,即-a2+2a+3-(-a+3)=(-a+3)-(-a+),
解得a1=3(舍),a2=,∴a=,
∴点P的坐标为(,),
∴存在点P(,),使得PM=MN=NH;
第27题解图
(3)如解图,作PE⊥x轴,交BD于点E,
∴△PQE∽△BOD,
∵D是OC的中点,OB=OC,
∴==,即PQ=2EQ.
∵S△PQB=2S△QRB,
∴PQ=2RQ
∴EQ= RQ,
∴△BRQ≌△PEQ,
∴PE=BR,
设P点坐标(m,-m2+2m+3),
∵PR⊥BD,
∴设直线PR的解析式为y=2x+b,代入点P,
则b=-m2+3,
∴直线PR的解析式为y=2x-m2+3,
令y=0,则x=,
∴BR=3-=-+,PE=-m2+2m+3-(-m+),
∴|-m2+2m+3-(-m+)|=-+.
①当-m2+2m+3-(-m+)=-+,
解得m1=2,m2=3(舍),
∴m=2,
∴点P的坐标为(2,3);
②-m2+2m+3-(-m+)=-,
解得m1=-,m2=3(舍),
∴m=-,
∴此时点P的坐标为(-,-),
综上所述,点P的坐标为(2,3)或(-,-).
28. 解:(1)① 2;
② +1;
【解法提示】①根据“宽距”的定义,半径为1的“宽距”为2;
②如解图①,半圆的直径为CD,圆心为O,连接AO延长交圆弧于点E,此时AE的长即为“宽距”,
AO==,∴AE=+1,即“宽距”为+1.
第28题解图①
(2)①分别以A、B为圆心,2为半径长作圆,点C所在的区域为两个圆的公共部分,
如解图②,△ABD,△ABE为等边三角形,四边形AEBD是菱形,
S扇形DBE==,S菱形AEBD=2,
∴两圆公共部分的面积等于两个扇形DBE的面积减去菱形AEBD的面积,
∴两圆公共部分的面积等于:-2.
第28题解图②
②如解图③,设M点的坐标(x,2),
当x>0时,
∵5≤d≤8,
∴AC1≤d≤AC2,
∵AM1=,
∴,即,
解得4-1≤x≤3-1;
当x<0时,根据对称性可得,1-3≤x≤1-4,
综上可得,横坐标x的取值范围是:4-1≤x≤3-1或1-3≤x≤1-4.
第28题解图③
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