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    2019年江苏常州市初中学业水平考试数学
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    2019年江苏常州市初中学业水平考试数学

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    这是一份2019年江苏常州市初中学业水平考试数学,共18页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    常州市2019年初中学业水平考试
    数学试题
    一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的)
    1. -3的相反数是(  )
    A.    B. -   C. 3   D. -3
    2. 若代数式 有意义,则实数x的取值范围是(  )
    A. x=-1 B. x=3 C. x≠-1 D. x≠3
    3. 下图是某几何体的三视图,该几何体是(  )
    A. 圆柱 B. 正方体 C. 圆锥 D. 球

    第3题图
    4. 如图,在线段PA、PB、PC、PD中,长度最小的是(  )
    A. 线段PA B. 线段PB
    C. 线段PC D. 线段PD

    第4题图
    5. 若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的周长的比为(  )
    A. 2∶1 B. 1∶2 C. 4∶1 D. 1∶4
    6. 下列各数中与2+的积是有理数的是(  )
    A. 2+ B. 2 C. D. 2-
    7. 判断命题“如果n<1,那么n2-1<0”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n可以为(  )
    A. -2 B. - C. 0 D.
    8. 随着时代的进步,人们对PM2.5(空气中直径小于等于2.5微米的颗粒)的关注日益密切.某市一天中PM2.5的值y1(ug/m3)随时间t(h)的变化如图所示,设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差(即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差),则y2与t的函数关系大致是(  )

    第8题图

    二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
    9. 计算:a3÷a=________.
    10. 4的算术平方根是________.
    11. 分解因式:ax2-4a=________.
    12. 如果∠α=35°,那么∠α的余角等于________°.
    13. 如果a-b-2=0,那么代数式1+2a-2b的值是________.
    14. 平面直角坐标系中,点P(-3,4)到原点的距离是________.
    15. 若是关于x、y的二元一次方程ax+y=3的解,则a=________.
    16. 如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,∠AOC=120°,则∠CDB=________°.
     
    第16题图
     17. 如图,半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,连接OC,则tan ∠OCB=________.

    第17题图
    18. 如图,在矩形ABCD中,AD=3AB=3,点P是AD的中点,点E在BC上,CE=2BE,点M、N在线段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等,则MN=________.

    第18题图
    三、解答题(本大题共10小题,共84分.请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
    19. (本题满分8分)
    计算:(1)π0+()-1-()2;


    (2)(x-1)(x+1)-x(x-1).



    20. (本题满分6分)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.







    21. (本题满分8分)
    如图,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在点C′处,BC′与AD相交于点E.
    (1)连接AC′,则AC′与BD的位置关系是______;
    (2)EB与ED相等吗?证明你的结论.

    第21题图












    22. (本题满分8分)
    在“慈善一日捐”活动中,为了解某校学生的捐款情况,抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位:元),并绘制成下面的统计图.
    (1)本次调查的样本容量是________,这组数据的众数为________元;
    (2)求这组数据的平均数;
    (3)该校共有600名学生参与捐款,请你估计该校学生的捐款总数.

    第22题图









    23. (本题满分8分)
    将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.

    第23题图
    (1)搅匀后从中摸出1个盒子,盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是____________;
    (2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的2个盒子中摸出1个盒子,把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起,求拼成的图形是轴对称图形的概率.(不重叠无缝隙拼接)









    24. (本题满分8分)
    甲、乙两人每小时共做30个零件,甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件?
















    25. (本题满分8分)
    如图,在▱OABC中,OA=2,∠AOC=45°,点C在y轴上,点D是BC的中点,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A、D.
    (1)求k的值;
    (2)求点D的坐标.

    第25题图


















    26. (本题满分10分)
    【阅读】
    数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理,是一种重要的数学思想.

    图① 图②
    第26题图
    【理解】
    (1)如图①,两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论;
    (2)如图②,n行n列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得等式:n2=________;
    【运用】
    (3)n边形有n个顶点,在它的内部再画m个点,以(m+n)个点为顶点,把n边形剪成若干个三角形,设最多可以剪得y个这样的三角形.当n=3,m=3时,如图③,最多可以剪得7个这样的三角形,所以y=7.
    ①当n=4,m=2时,如图④,y=________;当n=5,m=________时,y=9;

    图③ 图④ 
    第26题图
    ②对于一般的情形,在n边形内画m个点,通过归纳猜想,可得y=________(用含m、n的代数式表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.


    27. (本题满分10分)
    如图,二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.
    (1)b=________;
    (2)若点P在第一象限,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,PH与BC、BD分别交于点M、N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
    (3)若点P的横坐标小于3,过点P作PQ⊥BD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且S△PQB=2S△QRB,求点P的坐标.

    第27题图 备用图
     

















    28. (本题满分10分)
    已知平面图形S,点P、Q是S上任意两点,我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”.例如,正方形的宽距等于它的对角线的长度.
    (1)写出下列图形的宽距:
    ①半径为1的圆:________;
    ②如图①,上方是半径为1的半圆,下方是正方形的三条边的“窗户形”:________;
    (2)如图②,在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(1,0),C是坐标平面内的点,连接AB、BC、CA所形成的图形为S,记S的宽距为d.
    ①若d=2,用直尺和圆规画出点C所在区域并求它的面积(所在区域用阴影表示);
    ②若点C在⊙M上运动,⊙M的半径为1,圆心M在过点(0,2)且与y轴垂直的直线上.对于⊙M上任意点C,都有5≤d≤8,直接写出圆心M的横坐标x的取值范围.

    第28题图

    2019年江苏省常州市初中学业水平考试卷数学解析
    一、 选择题
    1. C 【解析】-3的相反数是3.
    2. D 【解析】要使有意义,则x-3≠0,解得x≠3.
    3. A 【解析】结合三视图可得,这个几何体为圆柱,故选A.
    4. B 【解析】根据“垂线段最短”可得,长度最小的是线段PB.
    5. B 【解析】根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得,△ABC与△A′B′C′的周长比为1∶2.
    6. D 【解析】(2+)(2-)=22-()2=4-3=1,1是有理数,满足题意,故选D.
    7. A 【解析】当n=-2时,n2-1=(-2)2-1=3>0,所以-2满足题意,故选A.
    8. B 【解析】结合图象求的y1=0.43(x-10)2+42(0≤x≤24),当0≤t<10时,y2=85-0.43(x-10)2-42=-0.43(x-10)2+43;当10≤t<20时,y2=85-42=43;当20≤t<24时,y2=0.43(x-10)2+42-42=0.43(x-10)2,故选B.
    二、填空题
    9. a2 【解析】a3÷a=a3-1=a2.
    10. 2 【解析】4的算术平方根是2.
    11. a(x-2)(x+2) 【解析】ax2-4a=a(x2-4)=a(x-2)(x+2).
    12. 55 【解析】根据余角的定义可得∠α的余角为90°-35°=55°.
    13. 5 【解析】∵a-b-2=0,∴a-b=2,∴1+2a-2b=1+2(a-b)=1+2×2=5.
    14. 5 【解析】点P(-3,4)到原点的距离为:=5.
    15. 1 【解析】把x=1,y=2代入方程ax+y=3中可得,a+2=3,解得a=1.
    16. 30 【解析】∵AB是⊙O的直径,∠AOC=120°,∴∠BOC=60°,∴∠CDB=30°.

    第17题解图
    17.  【解析】如解图,过点O作OD⊥BC于点D,连接OB,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵AB、BC两边都与⊙O相切,∴∠OBD=30°,在Rt△OBD中,tan 30°==,∴BD=3,∵BC=8,∴CD=8-3=5,∴tan ∠OCB==.
    18. 6或 【解析】∵P是AD的中点,∴PD=,∵AD=3AB,∴DC=,BD==10,∵CE=2BE,∴CE=2.①当PM=PN,此时∠DEC=∠PMN,如解图①,作PF⊥BD于点F,∵∠PDF=∠DBC,∠PFD=∠DCB,∴△PDF∽△DBC,∴=,∴PF=,∵∠DEC=∠PMN,tan ∠PMN=tan ∠DEC== ,∴FM=3,∴MN=6;②当MN=PN,此时∠DEC=∠PMN,如解图②,由①可得PM=,MQ=6,∠PMN=∠MPN=∠PQM,∴△PMN∽△MQP,∴=,∵PM=PQ,∴MN=.综上所述,MN的长度为6或.

    第18题解图
    三、解答题
    19.(1)

    (2)解:解法一:原式=(x-1)(x+1)-x(x-1)
    =(x-1)(x+1-x)
    =x-1.
    解法二:原式=x2-1-x2+x
    =x-1.
    20.解:解①得x>-1,解②得x≤2,
    ∴不等式组的解集为-1<x≤2.
    解集在数轴上表示如解图:

    第20题解图
    21.解:(1)AC′∥BD;
    (2)EB=ED,理由如下,
    ∵把平行四边形ABCD沿BD折叠,
    ∴∠CBD=∠DBE,
    ∵AD∥BC,
    ∴∠CBD=∠BDE,
    ∴∠DBE=∠BDE,
    ∴EB=ED.
    22.解:(1)30,11;
    【解法提示】根据条形图可得,样本容量为:6+11+8+5=30,数据11出现的次数最多,故这组数据的众数为11元.
    (2)平均数为=12(元);
    (3)根据(2)可得,该校学生的捐款总数为:600×12=7200(元).
    23.解:(1);
    【解法提示】∵正方形和菱形既是轴对称图形,也是中心对称图形,而等腰直角三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,该事件总共有3种可能,摸出的盒子中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的可能有2种,∴P(摸出的盒子中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形)=.
    (2)列出所有的可能有:AB,AC,BA,BC,CA,CB共有6种等可能的情况,其中能拼成轴对称图形的有AC和CA共2种可能,
    ∴P(拼成的图形是轴对称图形)==.
    24.解:设甲每小时做零件x件,那么乙每小时做零件(30-x)件,根据题意可得,
    =,
    解得x=18,
    检验:把x=18代入x(30-x)≠0,∴x=18是原分式方程的解,且符合实际意义.
    ∴30-x=12.
    答:甲每小时做零件18件,乙每小时做零件12件.
    25.解:(1)如解图,过点A作AE⊥x轴于点E,
    在Rt△AOE中,∠AOC=45°, OA=2,
    ∴OE=AE=OA=2,
    ∴点A的坐标为(2,2),

    ∴k=2×2=4;

    第25题解图
    (2)∵四边形OCBA是平行四边形.
    ∴AB∥OC,
    ∵OC⊥x轴
    ∴AB⊥x轴.
    ∴点B、A、E三点共线.
    ∵ A点的坐标为(2,2),D为BC的中点,
    ∴D点的横坐标为1,
    把x=1代入y=,解得y=4,
    ∴点D的坐标为(1,4).
    26. 解:(1)根据梯形的面积公式可得,梯形面积为:(a+b)(a+b)=(a+b)2;
    利用面积和可得,梯形面积为:ab×2+c2,
    结论为(a+b)2=ab×2+c2,
    即(a+b)2=ab×2+c2,a2+b2=c2,验证了勾股定理.
    (2)根据题图可得,n2=1+3+5+…+(2n-1);
    (3)① 6;3;
    ②通过归纳猜想可得y=n+2m-2,理由如下:
    第一种算法:对于一般的情形,在n边形内画m个点,第一个点将多边形分成了n个三角形,以后三角形内部每增加一个点,分割部分增加2部分,故可得y=n+2(m-1).
    第二种算法:从n边形的内角和考虑,n边形的内角和为(n-2)×180°,等于剪得的三角形的内角和减去m个周角,即(n-2)×180°=y×180°-m×360°,整理可得y= =n+2m-2;
    得证.
    27.解:(1)2;
    【解法提示】把点A(-1,0)代入y=-x2+bx+3,解得b=2.
    (2)存在;令y=0,即-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,
    即点B的坐标为(3,0),
    令x=0,则y=3,
    ∴C点的坐标为(0,3),D点的坐标为(0,),
    设直线BC的解析式为y=kx+b,则,解得,
    ∴直线BC的解析式为y=-x+3;
    设直线BD的解析式为y=mx+n,则,解得,
    ∴直线BD的解析式为y=-x+;
    ∵D是OC的中点,
    ∴MN=NH恒成立,
    设P(a,-a2+2a+3),则M(a,-a+3),N(a,-a+),
    ∵PM=MN,即-a2+2a+3-(-a+3)=(-a+3)-(-a+),
    解得a1=3(舍),a2=,∴a=,
    ∴点P的坐标为(,),
    ∴存在点P(,),使得PM=MN=NH;

    第27题解图
    (3)如解图,作PE⊥x轴,交BD于点E,
    ∴△PQE∽△BOD,
    ∵D是OC的中点,OB=OC,
    ∴==,即PQ=2EQ.
    ∵S△PQB=2S△QRB,
    ∴PQ=2RQ
    ∴EQ= RQ,
    ∴△BRQ≌△PEQ,
    ∴PE=BR,
    设P点坐标(m,-m2+2m+3),
    ∵PR⊥BD,
    ∴设直线PR的解析式为y=2x+b,代入点P,
    则b=-m2+3,
    ∴直线PR的解析式为y=2x-m2+3,
    令y=0,则x=,
    ∴BR=3-=-+,PE=-m2+2m+3-(-m+),
    ∴|-m2+2m+3-(-m+)|=-+.
    ①当-m2+2m+3-(-m+)=-+,
    解得m1=2,m2=3(舍),
    ∴m=2,
    ∴点P的坐标为(2,3);
    ②-m2+2m+3-(-m+)=-,
    解得m1=-,m2=3(舍),
    ∴m=-,
    ∴此时点P的坐标为(-,-),
    综上所述,点P的坐标为(2,3)或(-,-).
    28. 解:(1)① 2;
    ② +1;
    【解法提示】①根据“宽距”的定义,半径为1的“宽距”为2;
    ②如解图①,半圆的直径为CD,圆心为O,连接AO延长交圆弧于点E,此时AE的长即为“宽距”,
    AO==,∴AE=+1,即“宽距”为+1.

    第28题解图①
    (2)①分别以A、B为圆心,2为半径长作圆,点C所在的区域为两个圆的公共部分,
    如解图②,△ABD,△ABE为等边三角形,四边形AEBD是菱形,
    S扇形DBE==,S菱形AEBD=2,
    ∴两圆公共部分的面积等于两个扇形DBE的面积减去菱形AEBD的面积,
    ∴两圆公共部分的面积等于:-2.

    第28题解图②
    ②如解图③,设M点的坐标(x,2),
    当x>0时,
    ∵5≤d≤8,
    ∴AC1≤d≤AC2,
    ∵AM1=,
    ∴,即,
    解得4-1≤x≤3-1;
    当x<0时,根据对称性可得,1-3≤x≤1-4,
    综上可得,横坐标x的取值范围是:4-1≤x≤3-1或1-3≤x≤1-4.

    第28题解图③



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