2019年江苏镇江市初中学业水平考试数学

这是一份2019年江苏镇江市初中学业水平考试数学，共22页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


时间：120分钟　满分：120分
一、填空题(本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．)
1. －2019的相反数是 .
2. 27的立方根是 .
3. 一组数据4，3，x，1，5的众数是5.则x＝ .
4. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是 .
5. 氢原子的半径约为0.000 000 000 05 m，用科学记数法把0.000 000 000 05表示为 .
6. 已知点A(－2，y1)、B(－1，y2)都在反比例函数y＝－的图象上；则y1 y2.(填“>”或“<”)
7. 计算：－＝ .
8. 如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D，若△BCD是等边三角形，∠A＝ 20°，则∠1＝ °.

第8题图
9. 若关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于 .
10. 如图，将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝ .(结果保留根号)

第10题图
11. 如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 °.

第11题图
12. 已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1(a≠0)过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是 .
二、选择题(本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．)
13. 下列计算正确的是(　　)
A. a2·a3＝a6　　B. a7÷a3＝a4　　C. (a3)5＝a8　　D. (ab)2＝ab2
14. 一个物体如图所示，它的俯视图是(　　)

15. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝.若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于(　　)
A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°

第15题图
16. 下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是(　　)

17. 如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上(B在C的左侧)，顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E(－2，0)为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F(0，6)到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于(　　)
A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 3

第17题图
三、解答题(本大题共有11小题，共计81分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
18. (本小题满分8分)
(1)计算：(－2)0＋()－1－2cos 60°；


(2)化简：(1＋)÷.



19. (本小题满分10分)
(1)解方程：＝＋1；



(2)解不等式：4(x－1)－


20. (本小题满分6分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H.
(1)求证：△AGE≌△CHF；
(2)连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．

第20题图




21. (本小题满分6分)小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．










22. (本小题满分6分)如图，在△ABC中．AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B.
(1)求证：直线AB与⊙O相切；
(2)若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan ∠BDO＝ .

第22题图








23. (本小题满分6分)如图，点A(2，n)和点D是反比例函数y＝(m>0，x>0)图象上的两点，一次函数y＝kx＋3(k≠0)的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA，OD，已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB∶S△ODE＝3∶4.
(1)S△OAB＝ ，m＝ ；
(2)已知点P(6，0)在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．

第23题图














24. (本小题满分6分)在三角形纸片ABC(如图①)中，∠BAC＝78°，AC＝10，小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②).
(1)∠ABC＝ °；
(2)求正五边形GHMNC的边GC的长．
参考值：sin 78°≈0.98，cos 78°≈0.21，tan 78°≈4.7

第24题图













25. (本小题满分6分) 陈老师对他所教的九(1)、九(2)两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计(各类别的得分如下表)，并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图(不完整).
各类别的得分表
得分
类别
0
A：没有作答
1
B：解答但没有正确
3
C：只得到一个正确答案
6
D：得到两个正确答案，解答完全正确
每班各类别得分人数的条形统计图

第25题图
已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九(1)班学生这道试题的平均得分为3.78分，请解决如下问题：
(1)九(2)班学生得分的中位数是 ；
(2)九(1)班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？






26. (本小题满分6分)
【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图①中的⊙O)，人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图②所示的工具尺(古人称它为“复矩”)，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系—个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．
【实际应用】
观测点A在图①所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另—个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°，PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON.
(1)求∠POB的度数；
(2)已知OP＝6400 km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．(π取3.1)

第26题图
【思维教练】(1)设过点B的切线CB交ON延长线于点E，DH⊥BC于点D，HC⊥BH交BC于点C，证出∠HBD＝∠DHC，由平行线的性质得出∠BEO＝∠HBD，由直角三角形的性质得出∠BOE的度数，求出∠POB的度数；
(2)同(1)可证∠POA的度数，再求出∠AOB的度数，由弧长公式即可得出结果．














27. (本小题满分10分)如图，二次函数y＝－x2＋4x＋5图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B.

第27题图
(1)点D的坐标是 ；
(2)直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点(不与点D、C垂合)，点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．
①当n＝时，求DP的长；
②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围 ．











28. (本小题满分11分)学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，相器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图①，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度数，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度数．

图① 图②
第28题图
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象(线段OP，不包括点O，如图②所示).
①a＝ ；
②分别求出各部分图像对应的函数表达式，并在图②中补全函数图像；
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则将他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是 ．(直接写出结果)

2019年镇江市初中学业水平考试试卷数学解析
一、填空题
1. 2019　【解析】－2019的相反数是2019.
2. 3　【解析】∵33＝27，∴27的立方根是3.
3. 5　【解析】∵数据4，3，x，1，5的众数是5，∴x＝5.
4. x≥4　【解析】由题意得x－4≥0，解得x≥4.
5. 5×10－11　【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．∴用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10－11.
6. ＜　【解析】∵反比例函数y＝－的图象在二、四象限，而A(－2，y1)、B(－1，y2)都在第二象限，∴在第二象限内，y随x的增大而增大，∵－2＜－1，∴y1＜y2.
7. 　【解析】－＝2－＝.
8. 40　【解析】如解图，∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°，由三角形的外角及对顶角性质可知，∠1＝∠2－∠A＝40°.

第8题解图
9. 1　【解析】根据题意得Δ＝(－2)2－4m＝0，解得m＝1.
10. －1　【解析】∵四边形ABCD为正方形且边长为1，∴CD＝1，∠CDA＝90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF＝，∠CFH＝45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH＝DF＝CF－CD＝－1.
11. 80　【解析】解：设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x，根据题意得：x＝，解得x＝，∴转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为360°×＝80°.
12. 　【解析】∵抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1(a≠0)＝a(x＋2)2＋1过点A(m，3)，B(n，3)两点，∴顶点为(－2，1)，对称轴为直线x＝－2，∴a＞0，，∵线段AB的长不大于4，∴4a＋1≥3，∴a≥，∴a2＋a＋1的最小值为()2＋＋1＝.
二、选择题
13. B　【解析】A.a2·a3＝a5≠a6，故此选项错误；B.a7÷a3＝a4，正确；C.(a3)5＝a15≠a8，故此选项错误；D.(ab)2＝a2b2≠ab2，故此选项错误；故选B.
14. D　【解析】俯视图从图形上方观察即可得到，故选D.
15. A　【解析】如解图，连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°－∠DCB＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－∠CAB＝55°，故选A.

第15题解图
16. B　【解析】由x＋2＞a得x＞a－2，A.由数轴知x＞－3，则a＝－1，∴－3x－6＜0，解得x＞－2，与数轴不符；B.由数轴知x＞0，则a＝2，∴3x－6＜0，解得x＜2，与数轴相符合；C.由数轴知x＞2，则a＝4，∴7x－6＜0，解得x＜，与数轴不符；D.由数轴知x＞－2，则a＝0，∴－x－6＜0，解得x＞－6，与数轴不符；故选B.
17. A　【解析】如解图①，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于点G，连接EF.∵E(－2，0)，F(0，6)，∴OE＝2，OF＝6，∴EF＝＝2，∵∠FGE＝90°，∴FG≤EF，∴当点G与E重合时，FG的值最大．如解图②，当点G与点E重合时，连接AC交BD于点H，PE交BD于点J.设BC＝2a.∵PA＝PB，BE＝EC＝a，∴PE∥AC，BJ＝JH，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BH＝DH＝，BJ＝，∴PE⊥BD，∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，∴∠EBJ＝∠FEO，∴△BJE∽△EOF，∴＝，∴＝，∴a＝，∴BC＝2a＝，故选A.

第17题解图
三、解答题
18.（1）

（2）解：原式＝(＋)÷
＝·
＝x＋1.
19.（1）解：方程两边同乘以x－2，得2x＝3＋x－2，
解得x＝1，
检验：将x＝1代入x－2，得1－2＝－1≠0，
∴x＝1是原分式方程的解．
∴原分式方程的解是x＝1；
（2）解：化简4(x－1)－＜x，得4x－4－＜x.
∴3x＜.解得x＜.
∴原不等式的解集为x＜.
20.(1)证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，
∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，
∴∠AEG＝∠CFH，在△AGE和△CHF中，，
∴△AGE≌△CHF(AAS)；
(2)解：线段GH与AC互相平分，理由如下：
连接AC、AH、CG，如解图，
由(1)得：△AGE≌△CHF，∴AG＝CH，
∵AG∥CH，∴四边形AHCG是平行四边形，
∴线段GH与AC互相平分．

第20题解图
21.解：根据题意画树状图如解图：

第21题解图
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，
∴P(小丽和小明在同一天值日)＝＝.
22.(1)证明：连接OB，如解图，

第22题解图
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠OCD，∴∠ABC＝∠OCD，
∵OD⊥AO，∴∠COD＝90°，∴∠D＋∠OCD＝90°，
∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠D，
∴∠OBD＋∠ABC＝90°，
即∠ABO＝90°，
∴AB⊥OB，
∵OB为⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切；
(2)解：.
【解法提示】∵∠ABO＝90°，∴OA＝＝＝13，
∵AC＝AB＝5，
∴OC＝OA－AC＝8，
∴tan ∠BDO＝＝＝.
23.解：(1)3，8；【解法提示】由一次函数y＝kx＋3知，B(0，3).
又∵点A的坐标是(2，n)，∴S△OAB＝×3×2＝3.
∵S△OAB∶S△ODE＝3∶4.∴S△ODE＝4.
∵点D是反比例函数y＝(m＞0，x＞0)图象上的点，
∴m＝S△ODE＝4，则m＝8.
(2)如解图，连接PD，由(1)知，反比例函数解析式是y＝.
∴2n＝8，即n＝4.
故A(2，4)，将其代入y＝kx＋3得到：2k＋3＝4.解得k＝.
∴直线AC的解析式是：y＝x＋3.令y＝0，则x＋3＝0，
∴x＝－6.∴C(－6，0).∴OC＝6.
由(1)知，OB＝3.
设D(a，b)，则DE＝b，PE＝a－6.
∵∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°，∴△CBO∽△PDE.
∴＝，即＝①，
又∵ab＝8 ②.
联立①②，得(舍去)或.
故D(8，1).

第23题解图
24.解：(1)30；【解法提示】∵五边形ABDEF是正五边形，
∴∠BAF＝＝108°，∴∠ABC＝∠FAN＝∠BAF－∠BAC＝30°；
(2)如解图，过点C作CQ⊥AB于点Q，
在Rt△AQC中，sin ∠QAC＝，∴QC＝AC·sin ∠QAC≈10×0.98＝9.8.
在Rt△BQC中，∠ABC＝30°，∴BC＝2QC＝19.6.
∴GC＝BC－BG＝BC－AC＝19.6－10＝9.6.

第24题解图
25.解：(1)6分；【解法提示】由条形图可知九(2)班一共有学生：3＋6＋12＋27＝48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D类，所以中位数是6分．
(2)两个班一共有学生：(22＋27)÷50%＝98(人)，
九(1)班有学生：98－48＝50(人).
设九(1)班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是x人、y人．
由题意，得，
解得.
答：九(1)班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是6人、17人.
26.解：(1)如解图，设过点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于点D，HC⊥BH交BC于点C，

第26题解图
则∠DHC＝67°，
∵∠HBD＋∠BHD＝∠BHD＋∠DHC＝90°，
∴∠HBD＝∠DHC＝67°.
∵ON∥BH，
∴∠BEO＝∠HBD＝67°.
∴∠BOE＝90°－67°＝23°.
∵PQ⊥ON，
∴∠POE＝90°.
∴∠POB＝90°－23°＝67°；
(2)同(1)可证∠POA＝31°，
∴∠AOB＝∠POB－∠POA＝67°－31°＝36°.
∴＝＝3968(km).
27.【思维教练】(1)直接用顶点坐标公式求即可；(2)由对称轴求得AD的直线解析式及点B的坐标；①当n＝时，N(2，)，可求出DA、DN、CD的长度，分情况讨论，当PQ与AB平行时和PQ与AB不平行时，利用相似的性质，求出DP的长度；②当PQ∥AB，DB＝DP时，DB＝3，DN＝，∴N(2，)，则有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，求得n的取值范围；
解：(1)(2，9)；
(2)对称轴直线为x＝2，
∴C(2，)，
由已知可求A(－，0)，
点A关于直线x＝2对称点为(，0)，
则AD关于直线x＝2对称的直线为y＝－2x＋13，
∴B(5，3)，
①当n＝时，N(2，)，
∴DA＝，DN＝，CD＝，DB＝3.
当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，
∵△DAC∽△DPN，
∴＝，
∴DP＝；
当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，
∴△DNQ∽△DCA，
∴＝，
∴DP＝；
综上所述，DP的长为或；
②＜n＜.
【解法提示】当PQ∥AB，DB＝DP时，
DB＝3，
∴＝，
∴DN＝，
∴N(2，)，
∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，＜n＜.
28.【思维教练】【观察】①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；②此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；【发现】①当两个机器人第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意列方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意列函数解析式即可得到结论；【拓展】由题意得到x＋y＋150＋150＝(150－x＋150－y)，得到y＝－5x＋300，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论．
解：【观察】①90；【解法提示】∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150－30＝120个单位长度，
设机器人甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为v＝4v，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为＝，而＞，
∴则机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，30＋150＋150－m＝4(m－30)，
∴m＝90；
②120；【解法提示】∵相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150－40＝110个单位长度，
设机器人甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为v＝v，
∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为＝，
机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而＞，
∴机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，40＋150＋150－m＝(m－40)，
∴m＝120；
【发现】50；【解法提示】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，
根据题意知，x＋150＝(150－x)，
∴x＝50，
经检验：x＝50是分式方程的解，
即：a＝50；
②当0＜x≤50时，点P(50，150)在线段OP上，
∴线段OP的表达式为y＝3x，
当v＜v时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，
根据题意知，x＋y＝(150－x＋150－y)，
∴y＝－3x＋300，
即：y＝，
补全图形如解图所示，

第28题解图
【拓展】48≤x＜75.
【解法提示】由题意知，x＋y＋150＋150＝(150－x＋150－y)，
∴y＝－5x＋300，
∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，
∴－5x＋300≤60，
∴x≥48，
∵x＜75，
∴48≤x＜75.