北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-14平行四边形①

这是一份北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-14平行四边形①，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市2022-2023年上学期期末数学试题知识点分类汇编-14平行四边形①

一、单选题
1．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，中，点E为中点，若的面积为1，则的面积为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．8
2．（2023秋·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（    ）

A．45° B．60° C．90° D．120°
3．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题
4．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为 ．

5．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，矩形中，，E是上一点，与交于点F．则的长为 ．

6．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知的半径为a，按照下列步骤作图：（1）作的内接正方形ABCD（如图1）；（2）作正方形的内接圆，再作较小圆的内接正方形（如图2）；（3）作正方形的内接圆，再作其内接正方形（如图3）；…；依次作下去，则正方形的边长是 ．

7．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，是正方形的外接圆，，点是上任意一点，于．当点从点出发按顺时针方向运动到点时，则的最小值为 ．

8．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，正方形内接于，其边长为2，则的内接正三角形的边长为 ．


三、解答题
9．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段（其中P，分别是O，M的对应点），延长至，使得，连接，交于点Q，称Q为点P关于线段的关联点．

(1)如图，点．
①在图中画出点Q；
②求证：；
(2)已知的半径为1，M是上一动点，，点P关于线段的关联点为Q，求的取值范围．
10．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，将绕点O旋转180°，得到，当点O不在三边所在直线上时，求证：四边形是平行四边形．

11．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．

12．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．

13．（2023·北京海淀·九年级期末）如图所示，点，的半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，求的最小值．


参考答案：
1．C
【分析】根据题意易证，再根据点E为中点得出相似比，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出的面积．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵点E为中点，
∴，即，
∵的面积为1，
∴，即，
解得：；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，相似三角形面积比等于相似比的平方．
2．B
【分析】设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．
【详解】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC；
∠ADC=β；
四边形为圆的内接四边形，
α+β=180°，
∴ ，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.
3．A
【分析】设正方形ABCD的边长为a，根据正方形的性质∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝a，再利用四边形BEOF为正方形易得CF＝OF＝BF＝a，则S正方形BEOF＝a2，设正方形MNGH的边长为x，易得CM＝AN＝MN＝x，即3x＝a，解得x＝x，则S正方形MNGH＝a2，然后根据几何概率的意义，用两个小正方形的面积和除以正方形ABCD的面积即可得到小鸟落在花圃上的概率，从而得到小鸟不落在花圃上的概率．
【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝a，
∵四边形BEOF为正方形，
∴CF＝OF＝BF，
∴S正方形BEOF＝（a）2＝a2，
设正方形MNGH的边长为x，
∵△ANG和△CMH都是等腰直角三角形，
∴CM＝AN＝MN＝x，
∴3x＝a，解得x＝a，
∴S正方形MNGH＝＝a2，
∴小鸟不落在花圃上的概率＝1﹣＝
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质与概率的计算，求出正方形MNGH的面积是解题的关键.
4．
【分析】根据题意分别求出当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，即可求解．
【详解】解：如图，当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，，

∴；
如图，当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，

矩形，中心为O，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，，

∴；
综上所述，点P到矩形的距离d的取值范围为．
故答案为：
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出临界点时点d的值是解题的关键．
5．4
【分析】先利用勾股定理求出，再证明，得到，则．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键．
6．
【分析】观察图形，先根据圆内接正方形的性质求得前几个正方形的边长，进而得出变化规律即可求解．
【详解】解：根据题意，
在图1中圆的半径为a，则正方形的边长，
在图2中，，
则正方形的边长，
在图3中，，
则正方形的边长，
……
依次类推，正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆内接正多边形与圆的规律探究型问题、正方形的性质，观察图形，正确得出边长的变化规律是解答的关键．
7．
【分析】首先证明点的运动轨迹是为直径的，连接交于点，求出的最小值即可；
【详解】如图，

∵，
∴，
∴点的运动轨迹是为直径的，连接交于点，
在中，，
∴，
∴当点从点出发按顺时针方向运动到点时，的最小值为．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．
8．
【分析】连接、、，作于M，先求出圆的半径，在中利用30度角的性质即可解决问题．
【详解】解；连接、、，作于M，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴是直径，，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
在中，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
9．(1)①见解析，②见解析
(2)

【分析】（1）①按要求画出图形即可，②连接，由平移的性质得四边形是平行四边形，则由得，证，即可得到结论；
（2）由题意点的坐标是，分别求出当点M运动到点时，，当点M运动到点时，，由当点M运动到点时，有最小值，当点M运动到点时，有最大值，即可得的取值范围．
【详解】（1）解：①如图所示，

②连接，
∵线段平移得到线段，
∴，
∴四边形是为平行四边形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，

点的坐标是，
当点M运动到点时，点，，，
当点M运动到点时，点，，，
∵当点M运动到点时，有最小值，当点M运动到点时，有最大值，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平移的性质、平行四边形的判定和性质等知识，读懂题意，正确画图是解题的关键．
10．证明见详解
【分析】连接,,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可．
【详解】证明：连接，，

∵将绕点O旋转180°，得到，O不在三边所在直线，
∴ ，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质以及平行四边形的判定，根据已知得出对应点位置是解题关键．
11．，
【分析】根据切线性质得出OB⊥AB，根据平行四边形的性质，得出，，证明△OCB为等腰直角三角形，得出∠C＝∠OBC＝45°，根据平行线的性质得出∠AOB＝∠OBC＝45°最后根据圆周角定理即可得出∠E．
【详解】解：连接OB，如图所示：

∵⊙O与AB相切于点B，
∴OB⊥AB，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴，，
∴OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠C＝∠OBC＝45°，
∵，
∴∠AOB＝∠OBC＝45°，
∴∠E∠AOB＝22.5°．
【点睛】本题主要考查了切线的性质定理、圆周角定理，等腰直角三角形性质、平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握圆的有关性质，是解题的关键．
12．
【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出，
即可得出答案；
【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．

因为．
所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以．
所以，
所以．
解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．

因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为M为AD的中点，所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．

因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以，所以．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，且，
所以．
解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．

在中，
因为M为AD的中点，，
所以N为AH的中点，即．
在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，
所以．
所以．
13．的最小值为．
【分析】如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM．因为OA=AB，CM=CB，所以AC=OM，所以当OM最小时，AC最小，M运动到M′时，OM最小，由此即可解决问题．
【详解】解：如图所示，连接交于点，连接，，

，
由勾股定理得：，
，，
．
当最小时，最小
当运动到时，最小．
此时的最小值为．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，所以中考常考题型．