北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-02二次函数的定义、图像和性质及图像与系

这是一份北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-02二次函数的定义、图像和性质及图像与系，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市2022-2023年上学期期末数学试题知识点分类汇编-02二次函数的定义、图像和性质及图像与系数的关系

一、单选题
1．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（   ）

A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
2．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（    ）
A．正比例函数关系 B．反比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系
3．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）已知二次函数，则下列说法正确的是（    ）
A．二次函数图象开口向上 B．当时，函数有最大值是3
C．当时，函数有最小值是3 D．当时，y随x增大而增大
4．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知函数的图象上有 ，， 三点，则 、 、的大小关系（    ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·北京海淀·九年级期末）若点，在抛物线上，则的值为（    ）
A．2 B．1 C．0 D．
6．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）抛物线的顶点坐标为（    ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·北京海淀·九年级期末）下列抛物线的对称轴是直线的是（      ）．
A． B． C． D．
8．（2023秋·北京海淀·九年级期末）抛物线的顶点坐标是（    ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，有五个点，．将二次函数的图象记为G，下列结论中正确的有（　　）
①点A一定在G上；
②点可以同时在G上；
③点可以同时在G上；
④点不可能同时在G上．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023秋·北京海淀·九年级期末）二次函数的最小值是（　　　）
A．3 B．1 C．-3 D．-1
11．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
12．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6

二、填空题
13．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数的部分图像如图所示，则 0（填“”或“”或“”）．

14．（2023秋·北京海淀·九年级期末）二次函数的图象如图所示，则 0（填“”，“”或“”）．

15．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数的图象过点，当x＞0时，，当时，，则a的值是 ．
16．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：
①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论是 ．（填序号）．

17．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在之间(包含端点)，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有

18．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，，．对于下列四个结论：
①；
②；
③方程的解为，；
④对于任意实数，总有．
其中正确的结论是 ．（填写序号）．
19．（2023秋·北京海淀·九年级期末）二次函数中，x与y的部分对应值如下表：
x
…

0
2
3
…
y
…
8
0
0
3
…
则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象的对称轴为直线；④当时，y随x的增大而增大；⑤图象经过点．其中正确的是 ．
20．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数中a＜0，b＞0，c＜0，则此函数的图象不经过第 象限．
21．（2023秋·北京海淀·九年级期末）函数的图象如图所示，则 0．（填“>”，“=”，或“<”）

22．（2023秋·北京海淀·九年级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＞0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜；④＜16，其中正确的序号是 ．


三、解答题
23．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数的图象经过点，．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求这个图象的顶点坐标．
24．（2023·北京海淀·九年级期末）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
x（米）
0
2
4
6
8
y（米）
4.0
5.5
6.0
5.5
4.0
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？

参考答案：
1．B
【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
2．D
【分析】根据题意，列出I与v的函数关系式，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：，
整理得：，
∴I与v的函数关系为二次函数关系；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出正确的函数函数关系式．
3．B
【分析】根据二次函数顶点式的特点依次判断求解即可．
【详解】解：二次函数，其中，开口向下，顶点坐标为，对称轴为，最大值为3，当时，y随x的增大而减小，
∴只有选项B正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质和特点，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
4．B
【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．
【详解】解：函数的对称轴为直线，开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，
点到对称轴的距离为，
点B到对称轴的距离为，
点C到对称轴的距离为，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
5．B
【分析】由函数的解析式可知函数对称轴为，从而得出的值．
【详解】由函数可知对称轴是直线，
由，可知，M，N两点关于对称轴对称，即
，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，注意掌握二次函数图像上点的对称性是解题的关键．
6．B
【分析】直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答．
【详解】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线的顶点坐标是．
故选：B．
【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线中，其顶点坐标为，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
7．C
【分析】根据二次函数的性质，对称轴是直线，即可判断．
【详解】A、的对称轴是直线，选项错误；
B、的对称轴是直线，选项错误；
C、的对称轴是直线，选项正确；
D、，对称轴是直线，选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴是直线．理解性质是关键．
8．D
【分析】根据的顶点坐标是可得答案．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式顶点坐标是，对称轴是直线．
9．C
【分析】由二次函数可知，对称轴为直线，，即可判断①；
把代入，得函数解析式，再将代入解析式，即可判断②；
把代入，可得出，即可判断③；
把代入，可得出，再将代入解析式，即可判断④．
【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，顶点为，
①∵点，
∴点A在对称轴上，
∵，
∴点A一定不在上；故①错误；
②∵把代入，
，
解得：，
∴，
当时，，
∴在的图像上，
∴点可以同时在上；故②正确；
③把代入，
，
解得：，
∴，
∴点可以同时在G上,故③正确；
④把代入，
，
解得：，
∴，
当时，，
∴不在的图像上，
∴点不可能同时在G上，故④正确；
故正确结论的序号是：②③④，有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及求解二次函数的解析式，求出图象上点的坐标的解析式是解题的关键．
10．C
【分析】利用二次函数的性质判断即可．
【详解】∵
∴二次函数开口向上，顶点为(1,−3)，当x=1时有最小值-3
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
11．C
【分析】根据题意，可知二次函数的顶点坐标为，分类讨论即可，时，开口朝下，最大值为，不符合题意，则，进而根据当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，将代入解析式即可求得的值．
【详解】依题意，可知二次函数的顶点坐标为，
当时，开口朝下，最大值为，不符合题意，
当时，对称轴为，
当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，
当时，随的增大而减小,
由二次函数的对称性可知当时，的值和时的值相等，
当时，随的增大而增大,
时，，解得,
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式的图象与性质是解题的关键．
12．D
【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．
【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值．
13．
【分析】由已知的图像可知二次函数图像的对称轴，然后根据抛物线的对称性，观察图像可知当时，，即可获解．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在之间，
∴另一个交点在0、1之间，
∴当时，，则，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像的对称性是解答此题的关键．
14．
【分析】根据抛物线的开口方向，判断的符号，根据对称轴的位置，判断的符号，进而得到的符号．
【详解】解：由图象，可知：抛物线的开口向上：，
对称轴在的右侧：，即：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象与二次函数的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
15．/0.25
【分析】直接根据二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】解：∵当x＞0时，，当时，，
∴二次函数图象开口向上，
∵当x＞0时，可知抛物线对称轴在y右侧，为直线，如图，

∵点在抛物线的图象上，
∴，
当时，y有最小值为，，
∵，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，根据已知条件确定抛物线开口向上是解答本题的关键．
16．①②③④
【分析】①根据二次函数的对称轴，，即可判断出；②结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断；③结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；④运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确；
∵，
∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0，
∴，
∴，故③正确；
∵二次函数的顶点坐标为，
∴设二次函数的解析式为，将代入得，，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴当时，；
∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．
17．①③④
【分析】①由抛物线的对称轴为直线x=1，当，利用图象可得，即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定的符号，由对称轴方程求得与的关系是，将其代入，并判定其符号；③利用一元二次方程根与系数的关系可得，然后根据的的取值范围利用不等式的性质来求的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到，利用的取值范围可以求得的取值范围．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴对称轴直线是，
当，
故①正确；
②观察图象得：抛物线开口方向向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∴，即，故②错误；
∵抛物线与轴交于点，
∴方程的两根为，
∴，即，
∵抛物线与y轴的交点在之间(包含端点)，
∴，
∴，即，故③正确；
∵，，
∴，
∵顶点坐标为，
∴当时，，
∵，
∴，即，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键．
18．②③/③②
【分析】根据二次函数的开口向上，距离对称轴越远的点的函数值越大可判断①；由对称轴为 可得 它的图象经过点， 从而可判断②；由二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，可得抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 从而可判断③；当时，函数取得最小值 从而可判断④．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴函数图象的开口向上，距离对称轴越远的点的函数值越大，对称轴为直线
∵它的图象经过点，，
而
∴ 故①不符合题意；
由对称轴为 可得
∵它的图象经过点，
∴
∴ 故②符合题意；
∵二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，
∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为：
∴方程的解为，；故③符合题意；
当时，函数取得最小值
∴对于任意实数有 即 故④不符合题意；
故答案为：②③
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练的利用二次函数的性质“判断代数式的符号，判断方程的根，代数式的最值”是解本题的关键．
19．①③⑤
【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，根据此三点可求出二次函数解析式，从而根据抛物线的图象性质可逐个判定即可．
【详解】解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，
∴，
解得：，
∴y=-2x，
∵c=0，
∴图象经过原点，故①正确；
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，故②错误；
∵y=-2x=，
∴抛物线的对称轴为直线，
故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=1，抛物线开口向上，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小，故④错误；
把x=-1代入得，y=3，
∴图象经过点（-1，3），故⑤正确；
综上，正确的有①③⑤．
故答案为：①③⑤．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用．
20．二/2
【分析】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第二象限．
【详解】解：设抛物线与x轴的交点横坐标为：x1，x2，
①∵a＜0、c＜0，
∴＞0，
∴与的符号相同；
∴二次函数的图象同时经过二、三象限，或一、四象限，
②∵a＜0、b＞0，
∴二次函数的函数图象的对称轴是直线x=-＞0，
∴二次函数的函数图象的对称轴在第一、四象限；
③又∵a＜0、c＜0，
∴该函数图象的开口向下，且与y轴的交点在y轴的负半轴上；
综合①②③，二次函数的图象一定不经过第二象限．
故答案为：二．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．
21．
【分析】根据函数图像判断出的符号，即可求解．
【详解】解：由二次函数的图像可得，开口向下，与轴交点在轴上方
∴，
∴
故答案为
【点睛】此题考查了二次函数图像与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
22．②③④
【分析】根据二次哈桉树图像可知，对称轴是介于1和2之间，然后得到，进而可分析①和②，然后设图像与x轴的两个焦点横坐标为x1和x2且x1＜x2，然后根据根于系数关系分析③和④即可．
【详解】解：由图易知，
∵对称轴位于y轴右侧，
∴，
∴，
∴，故①错误，
∵，
∴，
令，则＜0
∴，
∴，故②正确
设二次函数图像与x轴的两个焦点横坐标为x1和x2且x1＜x2，则x1+x2＞m+n，
∵x1+x2=，
∴m+n＜，故③正确，
| x1-x2|==
由图可知| x1-x2|＜4，
∴＜4，即，
∴＜16，故④成立，
综上所述，②③④成立．
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查二次函数图像性质换个特征，结合二元一次方程与二次函数的联系，灵活的应用根与系数关系是解题的关键．
23．(1)
(2)

【分析】（1）直接把点和点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可；
（2）利用配方法把配成，则根据二次函数的性质得到该抛物线的顶点坐标．
【详解】（1）解：根据题意得，解得，
所以该二次函数的解析式为；
（2）解：，
抛物线的顶点坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
24．(1)6，．
(2)见解析

(3)隧道需标注的限高应为4.5米

【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可；
（3）令，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可解答．
【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值6，
设
∵D的坐标为
∴，解得
∴．
故答案为：6，．
（2）解：根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示：

（3）解：令，可得
隧道需标注的限高应为（米）．
答：隧道需标注的限高应为4.5米．
【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键．