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数学九年级下册24.4.2 切线的判定与性质精练
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这是一份数学九年级下册24.4.2 切线的判定与性质精练，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市2022-2023年上学期期末数学试题知识点分类汇编-10切线的判定与性质②
一、单选题
1．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ）
A．π cm B．2π cm C．3π cm D．4π cm
2．（2023秋·黑龙江鹤岗·九年级校考期末）如图，的半径为2，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（ ）
A． B． C．6 D．3
3．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题
4．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，A，B、C三点都在上，，过点A作的切线与的延长线交于点P，则的度数是 ．
5．（2023春·安徽蚌埠·九年级专题练习）如图，已知⊙O上有三点A、B、C，半径OC＝2，∠ABC＝30°，切线AP交OC延长线于点P，则△OAP的周长为
三、解答题
6．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在上．
求作：的切线．
作法： ①作射线；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线．
则直线即为所求作的的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明.
证明：连接，．
由作图可知，
， ．
∴ ．
∵ 点A在上，
∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ．
7．（2023春·广东深圳·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．
8．（2023·山东威海·统考二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．
9．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）如图，是的直径，是的弦，与交于点E，，延长至F，连接，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，，求的半径长．
10．（2023·江苏扬州·九年级专题练习）如图，已知锐角，以为直径画，交边于点M，平分与交于点D，过点D作于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)连接交于点F，若，，求长．
11．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，内接于，，是的直径，交于点，是的切线交的延长线于点．
求证：．
12．（2023春·北京丰台·九年级北京十八中校考阶段练习）如图，是的直径，点在上．过点作的切线，过点作于点．
(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的长．
参考答案：
1．B
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接OC、OD，
分别与相切于点C，D，
∴，
，
∴，
的长，
故选：B
【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．
2．A
【分析】由切线的性质可得出，由切线长定理可得出，从而可判断为等边三角形，又易证，即可求出，从而可求出，进而可求出，最后由三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵，是的两条切线，切点分别为A，B，
∴，．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选A．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键．
3．C
【分析】设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，
∴四边形是正方形，
由切线长定理可知，
∵是的切线，
∴，
∵，，，
∴
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
4．/20度
【分析】连接，则，由圆周角定理得：，进而求出的度数．
【详解】连接
∵
∴
∵过点A作的切线与的延长线交于点P
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查切线的性质和圆周角定理，解题的关键是连接，运用相关定理求解．
5．/
【分析】连接OA，根据圆周角定理求出的度数，再利用切线的性质得到，进而得到，然后利用含的直角三角形的性质求出OP的长度，用勾股定理求出AP的长度，即可得到的周长．
【详解】解：连接OA，如下图．
．
为的切线，
，
，
．
，
，
，
的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解答关键．
6．(1)见解析；
(2)；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；
（2）结合作图，完成证明过程即可．
【详解】（1）补全图形如图所示，
（2）证明：连接，．
由作图可知，
，．
∴，
∵ 点A在上，
∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．
7．⊙O的半径为5，AC的长为8
【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长．
【详解】解：∵AB为切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
在中，OA＝＝＝5，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH，
在中，AH＝＝＝4，
∴AC＝2AH＝8，
答：⊙O的半径为5，AC的长为8．
【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，勾股定理，掌握利用垂径定理与勾股定理结合，求线段长是解题的关键．
8．（1）见解析；（2）1
【分析】（1）根据切线的性质可得OE⊥AB，再依据题中已知条件E是AB中点，根据等腰三角形的判定即可证明线段相等；
（2）根据等腰三角形的性质及切线长定理可得，再由三个角之间的等量关系可得：，设⊙O的半径为r，则，在和中，两次应用勾股定理，求解方程即可得出圆的半径．
【详解】解：（1）证明：在⊙O中，连接，
∵ 直线AB与⊙O相切于点E，
∴ OE⊥AB．
∵ E是AB中点，
∴；
（2）解：∵，
∴ ．
∵，
∴AE，AC是⊙O的切线，
∴，（切线长定理）
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设⊙O的半径为r，则，
在中，，
∴ ，
在中，
∵，
，
∴ ，
解得，
∴ ⊙O的半径为1．
【点睛】题目主要考查切线的性质、等腰三角形的判定和性质、切线长定理、勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用各个性质和定理是解题关键．
9．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接，由垂径定理的推论可得垂直平分，，进一步得，，可得，得，结论得证；
（2）作于点H，连接，则，由角平分线的性质定理得到，设的半径长为r,则，再证，得到，即可求得答案．
【详解】（1）解：连接，
∵是的直径，是的弦，，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的度数，度数的度数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）作于点H，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设的半径长为r，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验：是方程的解.
∴的半径长为2．
【点睛】此题主要考查了垂径定理及推论、圆周角定理及推论、相似三角形的判定和性质、切线的判定定理等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据可得，根据角平分线的定义，则，最后根据，，即可证明；
（2）连接，可得，即可求出的长度，根据勾股定理求出的长度，进而求出的长度，通过证明，即可根据相似三角形对应边成比例求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）如图：连接，
∵为直径，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用．
11．证明见解析
【分析】根据等弧或同弧所对的圆周角相等可得，利用直径所对的圆周角是直角和切线性质得到，，继而得到即可解答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理和平行线的判定，熟练掌握圆周角定理和切线性质，根据角度的转换得到内错角相等是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，求得，得到，即可求得平分．
（2）连接，求得，在中，求得；在中，，；在中，利用勾股定理可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴于点．
∴．
∵于点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴平分．
（2）解：连接．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
在中，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴．
【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键
北京市2022-2023年上学期期末数学试题知识点分类汇编-10切线的判定与性质②
一、单选题
1．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ）
A．π cm B．2π cm C．3π cm D．4π cm
2．（2023秋·黑龙江鹤岗·九年级校考期末）如图，的半径为2，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（ ）
A． B． C．6 D．3
3．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题
4．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，A，B、C三点都在上，，过点A作的切线与的延长线交于点P，则的度数是 ．
5．（2023春·安徽蚌埠·九年级专题练习）如图，已知⊙O上有三点A、B、C，半径OC＝2，∠ABC＝30°，切线AP交OC延长线于点P，则△OAP的周长为
三、解答题
6．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在上．
求作：的切线．
作法： ①作射线；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线．
则直线即为所求作的的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明.
证明：连接，．
由作图可知，
， ．
∴ ．
∵ 点A在上，
∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ．
7．（2023春·广东深圳·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．
8．（2023·山东威海·统考二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．
9．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）如图，是的直径，是的弦，与交于点E，，延长至F，连接，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，，求的半径长．
10．（2023·江苏扬州·九年级专题练习）如图，已知锐角，以为直径画，交边于点M，平分与交于点D，过点D作于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)连接交于点F，若，，求长．
11．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，内接于，，是的直径，交于点，是的切线交的延长线于点．
求证：．
12．（2023春·北京丰台·九年级北京十八中校考阶段练习）如图，是的直径，点在上．过点作的切线，过点作于点．
(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的长．
参考答案：
1．B
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接OC、OD，
分别与相切于点C，D，
∴，
，
∴，
的长，
故选：B
【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．
2．A
【分析】由切线的性质可得出，由切线长定理可得出，从而可判断为等边三角形，又易证，即可求出，从而可求出，进而可求出，最后由三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵，是的两条切线，切点分别为A，B，
∴，．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选A．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键．
3．C
【分析】设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，
∴四边形是正方形，
由切线长定理可知，
∵是的切线，
∴，
∵，，，
∴
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
4．/20度
【分析】连接，则，由圆周角定理得：，进而求出的度数．
【详解】连接
∵
∴
∵过点A作的切线与的延长线交于点P
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查切线的性质和圆周角定理，解题的关键是连接，运用相关定理求解．
5．/
【分析】连接OA，根据圆周角定理求出的度数，再利用切线的性质得到，进而得到，然后利用含的直角三角形的性质求出OP的长度，用勾股定理求出AP的长度，即可得到的周长．
【详解】解：连接OA，如下图．
．
为的切线，
，
，
．
，
，
，
的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解答关键．
6．(1)见解析；
(2)；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；
（2）结合作图，完成证明过程即可．
【详解】（1）补全图形如图所示，
（2）证明：连接，．
由作图可知，
，．
∴，
∵ 点A在上，
∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．
7．⊙O的半径为5，AC的长为8
【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长．
【详解】解：∵AB为切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
在中，OA＝＝＝5，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH，
在中，AH＝＝＝4，
∴AC＝2AH＝8，
答：⊙O的半径为5，AC的长为8．
【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，勾股定理，掌握利用垂径定理与勾股定理结合，求线段长是解题的关键．
8．（1）见解析；（2）1
【分析】（1）根据切线的性质可得OE⊥AB，再依据题中已知条件E是AB中点，根据等腰三角形的判定即可证明线段相等；
（2）根据等腰三角形的性质及切线长定理可得，再由三个角之间的等量关系可得：，设⊙O的半径为r，则，在和中，两次应用勾股定理，求解方程即可得出圆的半径．
【详解】解：（1）证明：在⊙O中，连接，
∵ 直线AB与⊙O相切于点E，
∴ OE⊥AB．
∵ E是AB中点，
∴；
（2）解：∵，
∴ ．
∵，
∴AE，AC是⊙O的切线，
∴，（切线长定理）
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设⊙O的半径为r，则，
在中，，
∴ ，
在中，
∵，
，
∴ ，
解得，
∴ ⊙O的半径为1．
【点睛】题目主要考查切线的性质、等腰三角形的判定和性质、切线长定理、勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用各个性质和定理是解题关键．
9．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接，由垂径定理的推论可得垂直平分，，进一步得，，可得，得，结论得证；
（2）作于点H，连接，则，由角平分线的性质定理得到，设的半径长为r,则，再证，得到，即可求得答案．
【详解】（1）解：连接，
∵是的直径，是的弦，，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的度数，度数的度数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）作于点H，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设的半径长为r，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验：是方程的解.
∴的半径长为2．
【点睛】此题主要考查了垂径定理及推论、圆周角定理及推论、相似三角形的判定和性质、切线的判定定理等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据可得，根据角平分线的定义，则，最后根据，，即可证明；
（2）连接，可得，即可求出的长度，根据勾股定理求出的长度，进而求出的长度，通过证明，即可根据相似三角形对应边成比例求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）如图：连接，
∵为直径，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用．
11．证明见解析
【分析】根据等弧或同弧所对的圆周角相等可得，利用直径所对的圆周角是直角和切线性质得到，，继而得到即可解答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理和平行线的判定，熟练掌握圆周角定理和切线性质，根据角度的转换得到内错角相等是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，求得，得到，即可求得平分．
（2）连接，求得，在中，求得；在中，，；在中，利用勾股定理可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴于点．
∴．
∵于点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴平分．
（2）解：连接．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
在中，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴．
【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键
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