北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-13直角三角形的特征

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北京市2022-2023年上学期期末数学试题知识点分类汇编-13直角三角形的特征

一、解答题
1．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，是等边三角形．点D是边上一点（点D不与B，C重合），，，连接．

(1)判断与的位置关系，并证明；
(2)过D过，垂足为G．用等式表示，与之间的数量关系，并证明．
2．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长，底座长．托板固定在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．如图2，若，，求点A到底座的距离．
（参考数据：，，）（结果精确到）

3．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，在中，是边的中点，，垂足为点E．已知．

(1)求线段的长；
(2)求的值．
4．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，中，D为边中点，E为延长线上一点，连接并延长，使，连接．

(1)依题意补全图形；
(2)连接，若，猜想与的数量关系，并证明．
5．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，在中，，．是边上一点，交的延长线于点．

(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)连接，延长至，使．连接，，．
①依题意补全图形；
②判断的形状，并证明．
6．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，四边形内接于，为直径，．若，求的度数．

7．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，点，在上，且，点为的中点，过点作交的延长线于点．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为4，求的长．
8．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，是等边三角形，交的延长线于点，为的中点，射线交于，在上，，连接，．求证：是等边三角形．

9．（2023·北京海淀·九年级期末）已知点，，在同一直线上，、均为等边三角形．

(1)问题发现：如图1，若点、在直线的同侧时，求证：；
(2)拓展探究：如图2，若点、在直线的异侧时，连接并延长交于点，连接，求；
(3)解决问题：如图3，点、在直线的异侧，点在线段上运动时，过点作，垂足为点，且与点不重合，若，，则的长为_____（直接用含、的式子写出结论）．
10．（2023·北京海淀·九年级期末）如图1，斜坡与水平面夹角．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与A水平距离为4米时，达到最高点D，D与水平线的距离为4米．

(1)在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）；
(2)若斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水柱能否越过这棵树．
11．（2023·北京海淀·九年级期末）在中，，CD是AB边的中线，于E，连接CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）

(1)如果
①如图1，DE与BE之间的数量关系是______
②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．
12．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，在中，，点D在内，，，点E在外，，．

(1)判断的形状并加以证明．
(2)连接DE，若，，求DE的长．
13．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，点在的边上，，，，绕顶点按逆时针方向旋转与重合，与交于点，连接，求线段的长度


参考答案：
1．(1)，证明见解析
(2)，证明见解析

【分析】（1）连接，根据等边三角形的判定和性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，利用平行线的判定定理即可证明；
（2）延长交于点M，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理得出，利用等角对等边得出，过点C作，垂足为F，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理即可得出结果．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图所示，连接，

∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，延长交于点M，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点C作，垂足为F，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴
【点睛】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
2．
【分析】过点A作于点H，过点C作于点N，于点M．先证四边形是矩形，再利用含30度的直角三角形的性质证明，进而证明四边形是正方形，推出，即可根据求解．
【详解】解：过点A作于点H，过点C作于点N，于点M．

，
四边形是矩形，，
，，
，，
，
，，
，
，，
，，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
即点A到底座的距离为．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质，平行线的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是通过作辅助线构造出含30度角的直角三角形．
3．(1)；
(2)．

【分析】（1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可；
（2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵为直角三角形，D是边的中点，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵为直角三角形，D是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4．(1)补全图形见解析
(2)，证明见解析

【分析】（1）根据题意延长至，再连接即可；
（2）连接，，证明，可得，再证明，可得，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得结论．
【详解】（1）解：如图，补全图形如下：

（2），理由如下：
连接，，
∵D为边中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是根据题意画图，勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
5．(1)，理由见解析；
(2)①如图；②结论：是等边三角形，理由见解析．

【分析】（1）根据，可知，，利用含角的直角三角形性质：角所对直角边等于斜边的一半，可得．
（2）①根据题意补全图形即可；
②延长至点使，连接，，根据可知，由，得是等边三角形，，， 根据，，可知，，得，，，由，得，由，可证明，可得，，，从而可证明是等边三角形．
【详解】（1）解：线段与的数量关系：．
证明： ，
．
，

；
（2）解：①补全图形，如图．

②结论：是等边三角形．
证明：延长至点使，连接，，如图．

，
．
，
是等边三角形．
，．
，，
，．
．
．
，  
，
．
，
（）
，．
．
是等边三角形．
【点睛】此题考查了含角的直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合掌握相关知识点是解题关键．
6．
【分析】连接．利用等弧所对圆周角相等，得出，从而得出，再利用直径所对圆周角是直角，最后由直角 三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：如图，连接．

∵，
∴．
∵，
∴．
∵为直径，
∴．
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得出，根据，可得，即可得证；
（2）过点作于点，得出四边形是矩形，进而得出，根据（1）可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质求得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，点为的中点，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴是的切线；
（2）如图，过点作于点，

∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的长为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
8．证明见解析
【分析】证明，得到，，再利用为直角三角形，，证明， ，即可证明是等边三角形．
【详解】证明：∵是等边三角形，G为中点，
∴，，，
∵，
∴，即，
在和中，

∴，
∴，，
∵为直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，即D为中点，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质．
9．(1)证明见解析
(2)
(3)或

【分析】（1）根据和都是等边三角形得出，，利用可证明；
（2）在上截取，连接，如图2，证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案；
（3）分两种情况，当F在线段的延长线上时或当点F在线段上时，由全等三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即．
在和中，
，
∴；
（2）解：在上截取，连接，如图2，

由（1）得：，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
在等边中，，，
∴，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：如图2，当在线段的延长线上时，
由（2）可知，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
同理可得，
∴，
∴；
如图3，当点在线段上时，

同理可得，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
10．(1)；
(2)不能．

【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，首先找出抛物线的顶点坐标，设抛物线解析式为顶点式，再将点A坐标代入即可得解；
（2）根据题意，求出树的顶端点的纵坐标，然后求当时，抛物线线上点的纵坐标，然后比较两个纵坐标的大小即可得解．
【详解】（1）解：以点A坐标原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图3，
依题，，最高点即抛物线的顶点，
设此抛物线的解析式为：，
将代入上式，得，
，
抛物线的解析式为：；

（2）解：斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，如图4，
，
在中，，
设，则
，
，
，
又当时，
故从A喷出的水柱不能越过这棵树．

【点睛】此题是二次函数的实际应用题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法、勾股定理、二次函数的图像与性质是解此题的关键．
11．(1)①DE=BE  ②CP=BF
(2)BF-BP=2DEtanα

【分析】(1) ①利用60°的角的正切值计算即可；②利用旋转的性质,直角三角形的性质,证明△CDP≌△BDF即可；
(2) 利用旋转的性质,直角三角形的性质,证明△CDP≌△BDF即可．
【详解】（1）①DE与BE之间的数量关系是DE=BE．理由如下：
如图，∵，，，
∴∠B=60°，
∴tan60°=，
∴DE与BE之间的数量关系是DE=BE，
故答案为：DE=BE．
②CP、BF之间的数量关系是CP=BF．理由如下：
∵，，CD是AB边的中线，，
∴CD=AD=DB，∠B=60°，
∴△CDB是等边三角形，

∴∠CDB=60°，
根据旋转的性质，得∠PDF=60°，DP=DF，
∵∠CDB -∠PDB=∠PDF -∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
∵CD=BD，DP=DF，
∴△CDP≌△BDF，
∴CP=BF．
（2）DE、BF、BP三者的数量关系是BF-BP=2DEtanα．理由如下：
∵，，CD是AB边的中线，，
∴CD=AD=DB，∠CDB=2α，
根据旋转的性质，得∠PDF=2α，DP=DF，
∴2α+∠PDB=2α+∠PDB，
故∠CDB +∠PDB=∠PDF +∠PDB，

∴∠CDP=∠BDF，
∵CD=BD，DP=DF，
∴△CDP≌△BDF，
∴CP=BF，
∴BF=BC+BP，
∵CD=DB，，，
∴BC=2CE=2BE，DE∥AC，
∴∠EDB=α，
∴tanα=，即BE=DE tanα，
∴BC=2BE=2 DE tanα，
∴BF-BP=2DEtanα．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，特殊角的三角函数值，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握直径上全等的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题的关键．
12．(1)等边三角形，见详解
(2)DE＝6

【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC＝60°，DB＝DC，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB＝∠ADC，利用ASA证明△ACD≌△ECB得到AC＝CE，结合∠ACE＝60°可得△ACE是等边三角形；
（2）首先证明△DEB是含有30度角的直角三角形，求出EB与DE的关系，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：△ACE是等边三角形．
∵BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形．
∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°．
在△ADB和△ADC中，
∵，
∴△ADC≌△ADB（SSS）．
∴∠ADC＝∠ADB．
∴∠ADC＝（360°﹣60°）＝150°．
∵∠ACE＝∠DCB＝60°，
∴∠ACD＝∠ECB．
∵∠CBE＝150°，∠ADC═150°，
∴∠ADC＝∠EBC．
在△ACD和△ECB中，
∵，
∴△ACD≌△ECB（ASA）．
∴AC＝CE．
∵∠ACE＝60°，
∴△ACE是等边三角形．
（2）解：连接DE．
∵DE⊥CD，

∴∠EDC＝90°．
∵∠BDC＝60°，
∴∠EDB＝30°．
∵∠CBE＝150°，∠DBC＝60°，
∴∠DBE＝90°．
∴EB＝DE．
∵△ACD≌△ECB，AD＝3，
∴EB＝AD＝3，
∴DE＝2EB＝6．
【点睛】本题考查等边三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，30°直角三角形性质，角平分线，周角，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
13．
【分析】先根据直角三角形的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半，计算BC、AB的长，再根据图形旋转的性质，得到对应边相等，进而解得，从中解得，最后根据有一个60°的等腰三角形是等边三角形解题即可．
【详解】中，，，，



是等边三角形，



是旋转而成，


是等边三角形，
．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形、旋转的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．