苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 1.2.1直线的点斜式方程（有答案）

1．2　直线的方程

1．2.1　直线的点斜式方程

1. 掌握直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围．

2. 能正确利用直线的点斜式、斜截式求直线方程．

3. 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系．

　　复习巩固：

(1) 直线的倾斜角、斜率的定义：

(2) 直线的斜率与倾斜角的关系：

(3) 直线的斜率及倾斜角对直线方向变化的影响：

探究：

问题1：如果直线l经过点A(－1，3)，斜率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标(x，y)满足什么条件？

思考1

以所求方程的解为坐标的点是否都在直线l上？

问题2：

设直线l经过点P1(x1，y1)，斜率为k，则直线l上任意一点P(x，y)满足的方程是什么？

思考2

以这个方程的解为坐标的点是否都在直线l上？

结论：

(1) 直线的方程：

(2) 直线的点斜式方程：

思考3

(1) ①x轴所在直线的方程是什么？y轴所在直线的方程是什么？

②经过点P(－1，3)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？

③经过点P(－1，3)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？

(2) 直线的点斜式方程y－3＝k(x＋1)能否表示经过点(－1，3)的所有直线呢？

(3) 方程＝k表示的几何图形是整条直线吗？

例1　已知一条直线经过点P1(－2，3)，斜率为2，求这条直线的方程．

思考4

直线满足哪些条件时可直接利用点斜式写出直线方程？

例2　已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线l的方程．

定义：

(1) 直线l与y轴交于点(0，b)，称b为直线l在y轴上的截距．

(2) 由直线l的斜率k和它在y轴上的截距b确定的方程，叫作直线的斜截式方程．

思考5

“截距”与“距离”有何区别？

思考6

(1) 观察方程y＝kx＋b，它的形式具有什么特点？

(2) 如何从直线方程的角度认识一次函数y＝kx＋b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y＝2x－1，y＝3x，y＝－x＋3图象的特点吗？

例3　(1) 求直线y＝－(x－2)的倾斜角；

(2) 求直线y＝－(x－2)绕点(2，0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程．

例4　在同一平面直角坐标系中作出下列两组直线，分别说出这两组直线有什么共同特征？

(1) y＝2，y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝3x＋2，y＝－3x＋2；

(2) y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x－1，y＝2x＋4，y＝2x－4.

1. 直线y＝－2x＋3的斜率和在y轴上的截距分别是(　　)

A. －2，3  B. 3，－2  C. －2，－2  D. 3，3

2. 经过点(－3，2)，且倾斜角为60°的直线方程是(　　)

A. y＋2＝(x－3)  B. y－2＝(x＋3)

C. y－2＝(x＋3)  D. y＋2＝(x－3)

3. (多选)下列四个结论中，正确的有(　　)

A. 方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一条直线

B. 若直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其方程为x＝x1

C. 若直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程为y＝y1

D. 所有直线都有点斜式方程和斜截式方程

4. 将直线y＝(x－2)绕点(2，0)按逆时针方向旋转60°后所得的直线方程是____________.

5. 已知直线l过点P(－2，0)，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线l的方程．

参考答案与解析

【活动方案】

复习巩固：略

问题1：由题意，得k＝＝－2，即点P的坐标(x，y)满足y＝－2x＋1.

思考1：是的．

问题2：由题意，得k＝，即y＝kx－kx1＋y1.

思考2：是的．

结论　(1) 直线上的点的坐标都是某方程的解，该方程为直线的方程．

(2) y－y1＝k(x－x1)．

思考3：(1) ①y＝0，x＝0.②y＝3.③x＝－1.

(2) 不能，当斜率不存在时，无法使用点斜式表示．

(3) 不是，该方程可化为y－3＝k(x－1)，但x≠1，即该方程表示斜率为k的直线除点(1，3)的部分．

例1　因为直线经过点P1(－2，3)，且斜率为2，

所以y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0.

思考4：直线斜率存在，并且知道直线上的一点．

例2　由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.

思考5：“截距”的值有正、负、零，是实数，而“距离”一定是非负数．

思考6：(1) 略

(2) 一次函数y＝kx＋b，表示斜率为k，纵截距为b的直线．一次函数中k不能为0，b可取任何值．y＝2x－1的图象与y轴交于点(0，－1)，且过第一、三、四象限；y＝3x的图象过原点，且过第一、三象限；y＝－x＋3的图象与y轴交于点(0，3)，且过第一、二、四象限．

例3　(1) 设直线y＝－(x－2)的倾斜角为α，则tanα＝－.又因为α∈[0°，180°)，所以α＝120°.

(2) 因为所求的直线的倾斜角为120°－30°＝90°，且经过点(2，0)，

所以所求的直线方程为x＝2.

例4　图略．

(1) 这些直线在y轴上的截距都为2，它们的图象经过同一点(0，2)．

(2) 这些直线的斜率都为2，它们的图象平行．

【检测反馈】

1. A　

2. C　解析：由直线的倾斜角为60°，得直线的斜率k＝tan60°＝.又直线过点(－3，2)，故直线的方程为y－2＝(x＋3)．

3. BC　解析：对于A，方程k＝表示除去点(－1，2)的直线部分，故与方程y－2＝k(x＋1)表示不同直线，故A错误；对于B，直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其斜率不存在，直线垂直于x轴，直线方程为x＝x1，故B正确；对于C，因为直线l的斜率为0，所以方程为y＝y1，故C正确；对于D，并不是所有直线都有点斜式方程和斜截式方程，比如斜率不存在的直线就没有点斜式方程，故D错误．故选BC.

4. x＋y－2＝0　解析：因为直线y＝(x－2)的倾斜角是60°，所以按逆时针方向旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－，且过点(2，0)，所以其方程为y－0＝－(x－2)，即x＋y－2＝0.

5. 设直线l在y轴上的截距为b，则由已知，得×|－2|×|b|＝10，解得b＝±10.

①当b＝10时，直线过点(－2，0)，(0，10)，斜率k＝＝5.

故直线的斜截式方程为y＝5x＋10.

②当b＝－10时，直线过点(－2，0)，(0，－10)，斜率k＝＝－5.

故直线的斜截式方程为y＝－5x－10.

综上，直线l的方程为y＝5x＋10或y＝－5x－10.