角平分线四大模型-中考数学一轮复习课件

这是一份角平分线四大模型-中考数学一轮复习课件，共20页。PPT课件主要包含了角平分线四大模型，∵MN∥BC，∠ABE60°，AC-ABCF，CFBF，∴CFFB，则△ABD≌△DBF，ADDF，DCE≌△DCF，ADCDED等内容，欢迎下载使用。
1、角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。结论：PB=PA。
2、截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA，连接 PB。结论：△OPB≌△OPA。
3、角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MON 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 于点 B。结论：△AOB 是等腰三角形。
4、角平分线+平行线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。结论：△POQ 是等腰三角形。
例1 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）
延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC
∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°
∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°
Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）
∴∠FAP＝∠PAC＝50°
例2 如图,在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（　　）
4cm
例3 如图,在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　）
在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP
△ACP≌△AEP（SAS）
BE=b+c
BP+EP=m+n
m+n＞b+c
例4 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为?
∴△BME为等腰三角形 △ENC为等腰三角形
MN=BM+NC=11
例5 如图,已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．
取BF的中点E，连接AE，AD
则AE为RT△ABF斜边上的中点
则AE=BE，△AEB为等腰三角形
A、B、C、D四点共圆
∠CAD=∠DBC=22.5°
∠ACD=∠ABD=22.5°
∵∠CAD=∠BAE=22.5°
又∵∠DEA=∠ABE+∠BAE=45°
∴△EAD为等腰直角三角形
则2CD=2AD=2AE=2BE=BF
例6 如图,在△ABC中，∠ABE＝2∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，垂足为E，延长BE，交AC于点F（1）若∠C＝30°，求证：AB＝2BE．（2）若∠C≠30°，求证：BE= （AC-AB）
在RT△AEB中，AB＝2BE．
2）△AEF≌△AEB
AF=AB，FE=EB
∠AFB=∠ABF=2∠C=∠C+∠FBC
例7如图,在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°．
在BC上取点F，使AB=BF
∠ADB=∠FDB =∠EDC=60°
∠ECA=∠DCF=40°
例8 如图,已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．
在BC上截取BF=BA
∠CDF=∠CFD=72°
BC=BF+FC=AB+CD=AC+CD
例9 如图,在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，（1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的长；（2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．
2）在BC上截取BE＝BA，连接DE，
△ABD≌△EBD（SAS）
∠A＝∠BED，AD＝DE
∠BED+∠DEC＝∠A+∠DEC＝∠A+∠C＝180°
例10 （1）已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD＝AB+AC；（2）对于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．
1）在CA的延长线上截取AE＝AB，连接DE
△EAD≌△BAD（SAS）
∴∠AED＝∠ABD，DB＝DE
∵AB＝BC，∠ABC＝90°
∠AED＝∠ABD=90°
BD=DE=EC=AB+AC
△FAD≌△BAD（SAS）
在CA的延长线上取一点F，使AF＝AB，连接DF
∵∠AFD+∠EFD＝180°，∠ABD+ABC＝180°
∴∠EFD＝∠ABC=2∠C
∠EFD＝∠FDC+∠C
DB=DF=FC=AF+AC=AB+AC
例11 在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D（1）求证：∠2＝∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数．
1）延长AD交BC于点F
∠2=∠DFB=∠1+∠C
2）∠ABD=∠FBD=28°
∠DFB=∠62=90°-28°=62°
∴∠ADE=∠DFC=180°-∠DFB=118°
例12 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
在AB间取一点F，使BF=BC
∵AD∥BC∴∠C与∠D互补
又∵∠BFE与∠AFE互补
∴△AFE≌△ADE（AAS）