培优专题14 活用乘法公式计算求值-2023-2024学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

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培优专题14 活用乘法公式计算求值


◎类型一：直接运用乘法公式计算求值
1、平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
【注意】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
2、完全平方公式：

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
【注意】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。
以下是常见的变形：

3、补充公式
；；
；.
1．（2022·山东淄博·八年级期中）已知，，则代数式xy的值为（       ）
A．7 B．7 C．1 D．﹣1
【答案】D
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
=3-4．
=-1．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算及平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式．
2．（2022·江苏宿迁·七年级期中）若，则的值是（       ）
A．3 B．27 C．81 D．9
【答案】D
【分析】根据平方差公式和积的乘方求解即可．
【详解】解：∵m2-n2=3，
∴（m+n）（m-n）=3，
∴[（m+n）（m-n）]2=9，
∴（m+n）2（m-n）2=9．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握（a+b）（a-b）=a2-b2是解题的关键．
3．（2022·湖南怀化·七年级期末）已知，则代数式的值为________．
【答案】4
【分析】利用完全平方公式计算即可．
【详解】解：∵
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题关键在于牢记该公式．
4．（2022·浙江杭州·七年级期中）如图，在边长为a（cm）的大正方形内放入三个边长都为b（cm）（a＞b）的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是4cm2，则a2－2ab＋b2的值为________．

【答案】4
【分析】由题意得到AB=BC=a，AD=EF=b，求得（a-b）2=4，于是得到结论．
【详解】解：如图，由题意得，AB=BC=a，AD=EF=b，
∴BD=a-b，BE+CF=a-b，
∵这三张纸片没有盖住的面积是4cm2，
∴（a-b）2=4，
∴a2-2ab+b2=（a-b）2=4，
故答案为：4．

【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确的识别图形是解题的关键．
5．（2022·广东·广州市南武中学八年级期中）已知，，求下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）将x、y直接带入即可求解；
（2）利用平方差公式，将再代入求解．
(1)
解：原式

；
(2)
原式
=

．
【点睛】本题考查二次根式的计算、平方差公式，灵活运用乘法公式会使计算更简便．
6．（2022·山东潍坊·七年级期末）（1）先化简，再求值，其中．
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）2m2+2m-2；2；（2）1
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，后算加减，然后把代入化简后的式子计算即可；
（2）利用完全平方公式可得，然后进行计算解答即可．
【详解】解：（1）




∵，
∴，
∴原式＝2×2－2＝2
（2）∵，，
∴


【点睛】此题主要考查了整式的混合运算以及化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

◎类型二：运用乘法公式进行简便计算
方法技巧：经过变形之后直接套用相应乘法公式即可。
7．（2022·河北·平乡县第二中学八年级阶段练习）计算：（　　）
A．﹣2000 B．﹣1995 C．2000 D．1995
【答案】B
【分析】将原式变形为，利用平方差和完全平方公式求解．
【详解】解：



，
故选B．
【点睛】本题考查利用平方差公式和完全平方公式进行运算，将原式变形为完全平方和平方差的形式是解题的关键．
8．（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习）计算的结果是（     ）
A． B．3 C．-3 D．
【答案】D
【分析】利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可．
【详解】解：


，
故选：D．
【点睛】本题考查二次方根的乘法，积的乘方的逆运算、平方差公式、有理数的乘方，正确求解是解答的关键．
9．（2022·云南·保山市第七中学八年级阶段练习）计算：__________．
【答案】6
【分析】根据平方差公式“”进行计算即可得．
【详解】解：原式=，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了完全平方差，解题的关键是掌握完全平方差并正确计算．
10．（2022·甘肃·酒泉市第二中学七年级期中）用简便方法计算：2011×2013－20122=________．
【答案】-1
【分析】直接利用平方差公式进行求解．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是将式子进行变形，利用平方差公式进行求解．
11．（2022·山东烟台·八年级期中）（1）化简：
（2）利用简便方法计算：
【答案】（1）
（2）-2011
【分析】（1）运用完全平方公式和平方差公式运算即可；
（2）运用完全平方公式和平方差公式运算即可．
【详解】解：（1）


；
（2）




．
【点睛】本题考查了整式的化简以及运用平方差公式和完全平方公式运算的知识，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．
12．（2022·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据幂的乘法与积的乘方进行计算即可求解；
（2）根据平方差公式，完全平方公式进行计算即可求解．
（1）
解：原式＝

；
（2）
解：原式＝

．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算，完全平方公式，平方差公式，正确的计算是解题的关键．

◎类型三：乘法公式的应用技巧-变形后运用
13．（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）已知，，则代数式的值为（       ）
A．8 B． C．9 D．
【答案】D
【分析】先求出m、n的值，然后代入计算，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∵，，
∴，，
∴
=
=
=
=；
故选：D
【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算．
14．（2022·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）若a＜0，b＞0，则化简2的结果为（　　）
A．a﹣2b B．2a﹣b C．2b﹣a D．b﹣2a
【答案】C
【分析】先将原式化简为，再由a＜0，b＞0判断出，即可求解；
【详解】解：原式=
=
∵a＜0，b＞0，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，二次根式的定义，掌握相关知识并正确求解是解题的关键．
15．（2022·湖南·永州市剑桥学校七年级期中）已知则__，＝__.
【答案】     5     6
【分析】由3a+ab+3b=3（a+b）+ab与，将a+b=2，ab=-1代入即可求得答案．
【详解】解：∵a+b=2，ab=-1，
∴3a+ab+3b=3a+3b+ab=3（a+b）+ab=3×2+（-1）=5；
．
故答案为：5，6．
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用．此题难度不大，注意掌握公式变形是解此题的关键．
16．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）已知，则 =___．
【答案】
【分析】将利用求出，即可求出，即有，根据即可求解，
【详解】∵，
∴，即，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查运用完全平方公式、平方差公式计算求解的知识．利用求出，进而求出，，是解答本题的关键．
17．（2022·四川·宣汉县峰城中学七年级期中）先化简，再求值：，其中x=-4
【答案】，
【分析】先运用平方差公式、完全平方公式以及多项式乘以多项式运算法则计算，再去括号合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
=
=
=．
当x=-4时，
原式=
=．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练地掌握乘法公式和多项式乘多项式运算法则，还要特别注意去括号法则：当括号前面是负号时，去掉负号和括号，括号里面各项都应该变号．
18．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸片，种纸片是边长为的 正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形， 并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．

(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为的矩形， 则需要号卡片 1 张，号卡片 2 张，号卡片________张．
(3)根据（1） 题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 ：，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)；
(2)3；
(3)①ab的值为7；②x-2020=±3

【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系；
（2）计算（a+2b）（a+b）的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；
（3）①根据题（1）公式计算即可；②令a=x-2020，从而得到a+1=x-2019，a-1=x-2021，代入计算即可．
（1）
大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；
因此有；
（2）
∵，
∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，
故答案为：3；
（3）
①∵，
∴25=11+2ab,
∴ab=7，
即ab的值为7；
②令a=x-2020，
∴x-2019
=[x-（2020-1）]
=x-2020+1
=a+1，
x-2021
=[x-（2020+1）]
=x-2020-1
=a-1，
∵，
∴，
解得．
∴，
∴x-2020=±3．
【点睛】本题考查完全平方公式的意义和应用，用不同的方法表示面积是得出等量关系的关键．
19．（2022·河南·驻马店市第一高级中学分校七年级阶段练习）已知实数x，y满足，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)-11；
(2)42．

【分析】（1）（x-2）（y-2）=xy-2（x+y）+4，再整体代入计算即可求解；
（2）将变形为，再整体代入计算即可求解．
（1）
解：∵，，
∴（x-2）（y-2）
=xy-2（x+y）+4
=-3-2×6+4
=-3-12+4
=-11；
（2）
解：∵，，
∴


=36+6
=42．
【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，解题关键是整体思想的应用．
20．（2021·山东济南·八年级期中）已知三边长a，b，c满足，试判断的形状并求周长．
【答案】等腰三角形，周长为11
【分析】根据完全平方公式变形，再根据非负性求出a，b，c，故可求解．
【详解】∵
∴
∴
∴a-3=0，b-3=0，c-5=0，
∴、、
∵
∴为等腰三角形，．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知完全平方公式的特点、非负性的运用．
21．（2022·山东临沂·八年级期末）观察下列式子：
①
②
③
……
根据上述式子的规律和格式，
(1)写出第⑦个式子；
(2)写出第n个式子，并证明等式成立．
【答案】(1)第⑦个式子为：；
(2)第n个等式为：，理由见解析．

【分析】（1）根据题中等式找出规律计算即可得；
（2）根据（1） 中规律写出第n个等式，然后利用同底数幂的乘法及完全平方公式进行化简即可证明结论成立．
(1)
解：①，即，
②，即，
③，即，
∴第⑦个式子为：，即，
∴第⑦个式子为：；
(2)
解：由（1）中计算规律可得：
第n个等式为：，理由如下：
左边：，
∴左边=右边，结论成立．
【点睛】题目主要考查有理数的混和运算及找规律列等式，完全平方公式化简，理解题意，找出规律，列出相应等式是解题关键．


◎类型四：巧用乘法公式解决整除问题
22．（2021·湖南永州·七年级期中）对于任何整数a，多项式都能（            ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被a整除
【答案】B
【分析】多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断．
【详解】解：原式
则对于任何整数a，多项式都能被4整除．
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
23．（2022·江苏·泰兴市教师发展中心二模）已知a是一个正整数，且除以3余2．判断是否一定能被9整除，并说明理由．
【答案】一定能被9整除，理由见解析．
【分析】根据题意设，代入代数式即可得到，即能被9整除．
【详解】解：一定能被9整除，理由如下：
∵a是一个正整数，且除以3余2，
设，
∵，
∴一定能被9整除．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用，掌握完全平方公式是解决本题的关键．
24．（2022·江苏南京·一模）已知a是一个正整数，且a除以3余1．判断a2＋4a＋4是否一定能被9整除，并说明理由．
【答案】a2＋4a＋4一定能被9整除，理由见解析
【分析】根据题意，设，代入代数式，即可得a2＋4a＋4，即能被9整除．
【详解】解：a2＋4a＋4一定能被9整除，理由如下：
∵a是一个正整数，且a除以3余1，
设，
，
∴a2＋4a＋4一定能被9整除．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，整除，掌握完全平方公式是解题的关键．
25．（2021·河北唐山·七年级期末）整式的乘法与因式分解是有理数运算的自然延伸，也是代数知识的基本内容，请利用相关知识解决下面的问题：
（1）化简计算：（n+2）（4n﹣8）+17；
（2）在（1）题结果的基础上，增加一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式进行因式分解，请写出所有这样的单项式，并进行因式分解；
（3）试说明两个连续奇数的平方差能够被8整除．
【答案】（1）4n2+1；（2）新增单项式为：4n或﹣4n或4n4，4n2+4n+1＝（2n+1）2，4n2﹣4n+1＝（2n﹣1）2，4n4+4n2+1＝（2n2+1）2；（3）见解析
【分析】（1）第二个因式提取公因数4，然后利用平方差公式即可求得；
（2）根据完全平方公式有两种形式进行求解即可；
（3）先设出两个连续奇数分别为2n+1，2n﹣1，然后化简即可．
【详解】解：（1）（n+2）（4n﹣8）+17
＝4（n+2）（n﹣2）+17
＝4（n2﹣4）+17
＝4n2﹣16+17
＝4n2+1
∴（n+2）（4n﹣8）+17＝4n2+1
（2）∵4n2+4n+1＝（2n+1）2
4n2﹣4n+1＝（2n﹣1）2
4n4+4n2+1＝（2n2+1）2
所以新增单项式为：4n或﹣4n或4n4
（3）设两个连续奇数，2n+1，2n﹣1（n为正整数）．
依题意得：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，
即连续两个奇数的平方差能被8整除．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，以及因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.


◎类型五：巧用乘法公式解决复杂问题
26．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习）计算．
(1)
(2)（a-b+c）（a+b-c）
【答案】(1)1
(2)

【分析】（1）利用平方差公式求解即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式求解即可．
（1）
解：原式


；
（2）
解：原式

．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
27．（2021·山东济南·七年级期中）（1）例：代数式表示、两数和的平方，仿照上例填空：代数式表示　　
（2）试计算、取不同数值时，及的值，填入表：
、的值
当，时
当，时
当，时









（3）我的发现：　　；
（4）用你发现的规律计算：．
【答案】（1）、两数的和与两数的差的积；（2）见解析；（3）；（4）5670
【分析】（1）理解表示的含义，即可知表示的是两数的和与两数的差的积；
（2）将各和的值代入和中求值即可；
（3）通过表格即可得出和的关系；
（4）根据（3）的关系式简算即可．
【详解】解：（1）表示两数的和，表示两数的差，即表示两数的和与两数的差的积；
（2）
、的值
当，时
当，时
当，时

5
24


5
24


（3）；
（4）


．
故答案为：（1）a、b两数的和与两数的差的积；（3）．
【点睛】本题考查平方差公式．根据题意掌握平方差公式为是解答本题的关键．
28．（2020·四川·安岳县石羊初级中学八年级期中）（1）计算：
（1）2（x-1）2＝8中的x值；
（2）求（3x﹣1）3＝8中的x值．
（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
【答案】（1）x1=3，x2=-1；（2）x=1；（3）
【分析】（1）根据平方根的定义，即可求解；
（2）根据立方根的定义，即可求解；
（3）利用平方差公式，即可求解．
【详解】（1）2（x-1）2＝8，
（x-1）2＝4，
x-1＝±2，
∴x1=3，x2=-1；
（2）（3x﹣1）3＝8，
3x﹣1＝2，
3x＝3，
x=1；
（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
=
=
=
【点睛】本题主要考查解方程和有理数的运算，熟练掌握平方根和立方根的定义以及平方差公式，是解题的关键．
29．（2018·上海市西南模范中学七年级阶段练习）观察下列各式：， …根据上述规律，计算：1+2+22+23+……+262+263的值及这个值的个位数字
【答案】     ，     5.
【分析】根据题中的式子找到规律，再代入x=2，n=64即可求解，根据21=2，22=4,23=8,24=16,25=32…得到个位数上的循环即可求出.
【详解】根据题中的式子找到规律
∴(1+2+22+23+……+262+263)(2-1)=
即1+2+22+23+……+262+263=
∵21=2，22=4,23=8,24=16,25=32…个位数学分别为2,4,6,8，且4个为一循环，
64÷4=16，
∴的个位数字为6，
故个位上数字为5.
【点睛】此题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是根据题意找到规律进行求解.