培优专题13 四招轻松搞定幂的问题-2023-2024学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

这是一份培优专题13 四招轻松搞定幂的问题-2023-2024学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版），文件包含培优专题13四招轻松搞定幂的问题-原卷版docx、培优专题13四招轻松搞定幂的问题-解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。

培优专题13 四招轻松搞定幂的问题


◎类型一：直接运用幂的公式运算
(其中都是正整数)；即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
1．（2022·江苏盐城·七年级期中）下列计算正确的是（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质，合并同类项的法则对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、应为，故错误，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法的性质；合并同类项的法则，解题的关键是掌握不是同类项的不能合并．
2．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）如果，那么a的值为（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据幂的乘方、同底数幂相乘进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、同底数幂相乘的法则．
3．（2022·山东淄博·期中）计算的结果为（       ）
A．64 B．－64 C． D．
【答案】A
【分析】利用积的乘方的法则、同底数幂相乘法则进行求解即可．
【详解】解：（-0.125）2020×82022
=（-0.125）2020×82020×82
=（-0.125×8）2020×82
=（-1）2020×64
=1×64
=64．
故选：A．
【点睛】本题主要考查积的乘方、同底数幂相乘法则，解答的关键是对积的乘方、同底数幂相乘的法则的掌握与灵活运用．
4．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习） = ____.
【答案】1.5####
【分析】直接运用积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
5．（2022·河北·平乡县第二中学八年级阶段练习）如果，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
（1）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，则a，b，c三者之间的数量关系是 _____；
（2）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），则t的值为 _____．
【答案】     a+b=c     80
【分析】（1）根据积的乘方法则，结合定义计算；
（2）根据定义解答即可．
【详解】解：（1）∵（4，12）=a，（4，5）=b，（4，60）=c
∴，
∵12×5=60，
∴，
∴，
∴a+b=c；
故答案为：a+b=c.
（2）设（m，16）=p，（m，5）=q，（m，t）=r
∴
∵（m，16）+（m，5）=（m，t），
∴p+q=r
∴，
∴，即16×5=t
∴t=80．
故答案为：80．
【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．
6．（2022·湖南·新化县东方文武学校七年级期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（2）根据幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可求解．
（1）
解：原式＝
；
（2）
解：原式＝

．
【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，掌握幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
7．（2021·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)a4
(2)2y8
(3)4a6

【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则进行计算即可；
（2）利用合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案；
（3）利用合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
（1）
解：；
（2）
解：；


；
（3）
解：

．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．

◎类型二：比较幂的大小
方法归纳:1.化不同指数的幂为同指数的幂要比较幂的大小,若能将它们转化为相同指数的幂,只要比较底数就可以比较幂的大小。
2. 化不同底数的幂为同底数的幂要比较几个幂的大小,若能将底数转化为相同的底数,再比较指数即可比较几个数的大小。
8．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方是逆运算将各数的底数变为相同的数字，进而比较即可．
【详解】解：∵=962=3124，=3123，=3122，
∴a>b>c，
故选：A．
【点睛】此题考查了幂的乘方的运算法则，熟记法则是解题的关键．
9．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学七年级期中）已知，则的大小关系是（        ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方变形，即可比较大小．
【详解】∵，，
∴．
故选A．
【点睛】此题主要考查幂的大小比较，解题的关键是熟知幂的乘方运算法则．
10．（2022·江苏无锡·七年级期中）已知a = 512，b = 318，c = 224，则a、b、c的大小关系是（     　）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【答案】A
【分析】利用幂的乘方的法则可得：a＝512＝（52）6＝256，b＝318＝（33）6＝276，c＝224＝（24）6＝166，再比较底数，即可得出答案．
【详解】解：∵a＝512＝（52）6＝256，b＝318＝（33）6＝276，c＝224＝（24）6＝166，
∵16＜25＜27，
∴224＜512＜318，
∴c＜a＜b，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方的法则是解决问题的关键．
11．（2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学七年级期中）比较大小：_________（在横线上填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜
【分析】根据，把和化为同指数的幂，底数进行比较，底数大则大，即可．
【详解】∵
∴，
∵
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查幂的乘方的逆运算，解题的关键是通过的乘方的逆运算把幂的指数、底数均不同化为同指数的幂．
12．（2022·浙江杭州·七年级期中）若，，，，则，，，的大小______用号连接．
【答案】
【分析】把，，，各数的指数转为相等，再比较底数即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆运算法则，解答的关键是利用幂的乘方的逆运算法则把各数的指数转为相等．
13．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学八年级阶段练习）已知，判断a＋b和ab的大小关系．
【答案】．
【分析】利用幂的乘方和积的乘方将式子化简得到：，，，即可求出a＋b和ab的大小关系．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方，求出．
14．（2022·江苏·盐城市明达初级中学七年级阶段练习）阅读下列材料：
若，，则，的大小关系是______（填“”或“”）．
解：因为，，，所以，
所以．
解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质（       ）
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法     C．幂的乘方   D．积的乘方
(2)已知，，试比较与的大小关系是_____（填“”或“”）．
【答案】(1)C
(2)

【分析】（1）根据幂的乘方进行解答即可；
（2）根据题目所给的求解方法，进行比较．
（1）
解：上述求解过程中，逆用了幂的乘方，选项C符合题意,
故选:C
（2）
，，，
，
．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键．

◎类型三：确定幂的个位数字
方法归纳:确定幂的个位数字,可先计算出幂的指数为1,2,3,4,…的值,观察个位数字的规律,然后利用它们的规律确定幂的个位数字。
15．（2022·江苏·太仓市第一中学七年级期中）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，试利用上述规律判断算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是（       ）
A．0 B．1 C．3 D．7
【答案】A
【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，进而可得算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字．
【详解】解：观察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，
发现规律：
末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，
每4个数一组循环，
所以2020÷4＝505，
而3+9+7+1＝20，
20×505＝10100．
所以算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是0．
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
16．（2021·江苏·九年级）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（       ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案．
【详解】解：由题意知，是100的倍数
∵与100互质
∴是100的倍数
∴的末尾数字是01
∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数，
设：（t为正整数）
则：
∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01
∴t的最小值为5，
∴的最小值为10
故答案为：B
【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键．
17．（2018·全国·七年级课时练习）等式x2·x(　)＝x5中，括号里应填写的数字是(               )
A．－3 B．3 C．7 D．10
【答案】B
【详解】∵x2·x3＝x5，
∴括号里应填写的数字是3.
故选B.
18．（2021·山东青岛·七年级期中）观察下列等式：，，，，，，．解答下列问题：的末位数字是______．
【答案】2

【分析】通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环，从而可以求得到的末位数字是多少．
【详解】∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，
可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环，
∵2017÷4=504余1，
∴的末位数字与相同，即为3，
∵，2024÷4=506，
∴的末位数字与相同，即为1，
∴因为的值为负数，故末位数为11-3=8，
故答案为：8.
【点睛】本题考查尾数的特征，解题的关键是通过观察题目中的数据，发现其中的规律．
19．（2022·江苏·七年级专题练习）观察下列算式：，，，，，，，，……，通过观察，用你所发现的规律写出的末位数字是______．
【答案】2
【分析】首先发现2n的个位是2，4，8，6四个一循环，再根据幂运算的性质得811=233，33÷4=8…1，则它的个位数字是2．
【详解】等式右边的个数数字分别为，2，4，8，6，2，4，8，6…．，体现数字的重复性，周期为4，
∵，
而，
∴的末位数字和的个位数相同，即为2．
故答案为：2．
【点睛】此题首先发现2n的个位是2，4，8，6四个一循环的规律，再结合幂运算的性质分析计算．
20．（2020·江苏南京·七年级期中）（1）幂的乘方公式：（am）n＝amn（m、n是正整数），请写出这一公式的推理过程．
（2）若2n的个位数字是6，则82020n的个位数字是　 　．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】（1）首先判断出（am）n＝amn（m，n是正整数），然后根据同底数幂的乘法法则，写出这一公式的推理过程即可；
（2）先对给出的式子进行变形，再根据2n的个位数字是6即可得出答案．
【详解】解：（1）幂的乘方公式为：（am）n＝amn，
∵（am）n＝am•am•am…am，
＝an个m，
＝amn，
∴（am）n＝amn；
（2）∵2n的个位数字是6，
∴82020n＝（23）2020n＝（2n）6060，
∴82020n的个位数字是6；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
21．（2019·全国·七年级课时练习）试确定 22014·32015的个位数．
【答案】8
【分析】根据积的乘方运算法则将原式变形进而得出答案.
【详解】解：∵22014·32015
=(22014·32014)×3
=62014×3
61=6，62=36，63=216，…
∴62014的尾数为6，故62014×3的尾数是8，
即22014·32015的个位数是8.
故答案为8.
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方运算法则，正确掌握积的乘方运算法则是解题关键.

◎类型四：求未知数的值
方法归纳:关于含条件式的求幂值同题,一般是将所求幂转化为由已知幂来表示。
22．（2022·四川达州·七年级期末）已知，，则的值是（       ）
A． B．3 C．9 D．
【答案】A
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴




=，
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
23．（2022·贵州省织金县第四中学七年级期中）若，，则的值为(     )
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据题意，再结合同底数幂的乘法法则，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用，解本题的关键在熟练掌握同底数幂的乘法法则．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（m、n为正整数）．
24．（2022·上海·七年级专题练习）若则的值为（       ）
A． B．5 C．1 D．
【答案】D
【分析】先根据同底数幂的乘法法则计算等式的左边，再与等式的右边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，然后代入计算即可得．
【详解】解：，
，
，
，
解得，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、二元一次方程组的应用，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
25．（2021·安徽·马鞍山市雨山实验学校七年级期中）若，则的值为_____________．
【答案】2
【分析】利用幂的乘方与积的乘方进行计算，得出关于的方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
26．（2022·河南·郑州二七区京广实验学校七年级阶段练习）已知，则的值为 ___________．
【答案】
【分析】将，变形为，，利用幂的乘方，同底数幂乘法，得出（x﹣1）（y﹣1）＝1，代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴（x﹣1）（y﹣1）＝1，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法，根据题意适当变形得出（x﹣1）（y﹣1）＝1是解本题的关键．

27．（2022·江苏·江阴市华士实验中学七年级阶段练习）（1）已知，求的值；
（2）已知，求a、b的值．
【答案】（1）8；（2），．
【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再将代入，运算即可；
（2）利用幂的乘方与积的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，从而可得到关于，的方程，解方程即可．
【详解】解：（1），
，
；
（2），
，
，
，
，，
解得：，．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
28．（2022·江苏·宜兴市丁蜀镇陶都中学七年级阶段练习）（1）已知 用含a，b的式子表示下列代数式：
①求：的值；
②求：的值．
（2）已知，求x的值．
【答案】（1）①；②；（2）
【分析】（1）①利用同底数幂乘法的逆运算法则求解即可；②先根据幂的乘方求出再利用同底数幂乘法的逆运算法则求解即可；
（2）先根据幂的乘方的逆运算得到，然后代入原式即可得到，解方程即可．
【详解】解：（1）①∵
∴；
②∵
∴
∴
∴，
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方，同底数幂乘法，幂的乘方的逆运算，解一元一次方程等等，熟知整数指数幂的计算法则是解题的关键．