人教版八年级数学上册重难考点专题07轴对称单元过关(培优版)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题07轴对称单元过关(培优版)特训(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2023·浙江·八年级假期作业）下列是正方体的四种平面展开图，其中展开图是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·云南昆明·八年级校考期中）下图是2022年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．
3．（2023秋·浙江杭州·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A在BC边上的点D位置．且ED⊥BC．则∠EFD=（ ）
A．45°B．50°C．40°D．55°
4．（2023春·七年级单元测试）将长方形纸片ABCD沿BC所在直线翻折后展平（如图①）：将三角形ABC翻折，使AB边落在BC上与EB重合，折痕为BG；再将三角形BCD翻折，使BD边落在BC上与BF重合，折痕为BH（如图②），此时∠GBH的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．无法确定
5．（2022秋·浙江·八年级专题练习）若等腰三角形的两条边长分别为6cm和13cm，则它的周长为（ ）
A．26B．32C．26或32D．19或26
6．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）下列说法：①三角形三条高相交于一点；②两边和一角对应相等的两个三角形全等；③到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点；④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．（2023秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，则AE的长为（ ）
A．3cmB．6cmC．12cmD．16cm
8．（2023·湖北黄石·校联考一模）在△ABC中，点D是AB上一点，△ADC与△BDC都是等腰三角形且底边分别为AC，BC，则∠ACB的度数为( )
A．60°B．72°C．90°D．120°
9．（2023秋·安徽黄山·八年级统考期中）如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动.经过( )秒后，△BPD与△CQP全等.
A．2B．3C．2或3D．无法确定
10．（2023秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE=BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB=2∠APB；②S△PAC:S△PAB=AC:AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF=∠CPF；⑤GF+FC=GA，其中正确的有（ ）
A．①②③④B．①②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
第II卷（非选择题）
11．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）已知A−4,3，则点A关于x轴的对称点A'的坐标是 .
12．（2022秋·河南开封·八年级金明中小学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，则∠CEF的度数为 ．
13．（2023秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝8cm，BC＝5cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长长度为 ．
14．（2023春·河南郑州·七年级校考期中）如图，在4×4的正方形网格中，有5个小正方形已被涂黑（图中阴影部分），若在其余网格中再涂黑一个小正方形，使它与5个已被涂黑的小正方形组成的新图形是一个轴对称图形，则可涂黑的小正方形共有 个．
15．（2023秋·福建宁德·八年级校考期中）已知P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2015的 值 为 ．
16．（2022秋·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，CB=3，点D是BC边上的点，将△ADC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是 ．
17．（2023秋·广东江门·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）在x轴上找到一点P，使得PB+PC最小．
18．（2023秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A(−1,−2),B(−2,−4)．
（1）画出线段AB关于x轴对称的对应线段A1B1，再画出线段A1B1关于y轴对称的对应线段A2B2；
（2）点A2的坐标为_________；
（3）若此平面直角坐标系中有一点Ma,b，先找出点M关于x轴对称的对应点M1，再找出点M1关于y轴对称的对应点M2，则点M2的坐标为_______；
19．（2023秋·广东·八年级广东实验中学校考期中）如图，在△ABC中，DE⊥AC于点E，DA＝DC．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点G，连接AF；
（2）若△DAF的周长是16cm，求BC的长；
（3）若∠BAC＝110°，求∠DAF的度数．
20．（2022·湖北襄阳·统考一模）图，在△ABC中，∠BAD=90°，AB=AD=DC，点E是AC的中点．
(1)尺规作图：过点B作BF⊥AC交直线AC于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若AC=6，求BF的长．
21．（2022秋·山东滨州·八年级阳信县实验中学校联考阶段练习）如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．
(1)请直接写出AD长．
(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？
22．（2022春·陕西汉中·七年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，E是AB上一点，且AE=BC，BE=AD，连接DE、CE．
(1)∠1与∠2相等吗？为什么？
(2)点F是线段CD的中点，连接AF、BF、EF．
①试说明△FDE≌△FEC；
②试判断△ADF与△BEF是否全等，并说明理由．
23．（2023秋·四川泸州·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．
(1)如图1，若点D是AC的中点，求证：AD＝CE ；
(2)如图2，若点D不是AC的中点，求证：AD＝CE ；
(3)如图3，若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由．
24．（2023春·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED∠B=∠E，边AE交射线BC于点F．
（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE//AC
（2）若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值．
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
25．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”．
（1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是 （只填写序号）．
①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．
（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数；
（3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l于M，DN⊥l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN的最大值．
专题07 轴对称单元过关（培优版）
考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2023·浙江·八年级假期作业）下列是正方体的四种平面展开图，其中展开图是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义即可判断．
【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能沿着一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重叠，故都不符合题意；
如图所示，D选项中的图形能够沿着一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重叠，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题关键是掌握如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重叠，那么该图形就是轴对称图形．
2．（2023秋·云南昆明·八年级校考期中）下图是2022年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的性质，即可进行解答．
【详解】解：根据题意得：A、B不是轴对称图形，C是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．（2023秋·浙江杭州·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A在BC边上的点D位置．且ED⊥BC．则∠EFD=（ ）
A．45°B．50°C．40°D．55°
【答案】A
【分析】根据折叠可知∠EDF=∠A=60°，∠AFE=∠EFD，再又三角形的内角和定理即可计算出∠BFD的度数，即可求∠EFD的度数．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∵△DEF是△AEF折叠而成，
∴∠EDF=∠A=60°，∠AFE=∠EFD
又∵ED⊥BC
∴∠EDC=90°，
∴∠BDF=180°-90°-60°=30°
∴在△BDF中，∠BFD=180°-∠B-∠BDF=180°-60°-30°=90°
∴∠AFE=∠EFD=180°−90°2=45°，
故答案为：A
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及折叠的性质，解题的关键是熟知等边三角形与折叠的性质，并灵活运用三角形内角和定理进行计算．
4．（2023春·七年级单元测试）将长方形纸片ABCD沿BC所在直线翻折后展平（如图①）：将三角形ABC翻折，使AB边落在BC上与EB重合，折痕为BG；再将三角形BCD翻折，使BD边落在BC上与BF重合，折痕为BH（如图②），此时∠GBH的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．无法确定
【答案】B
【分析】由折叠得∠ABG=∠GBC，∠DBH=∠HBC，即可得到∠ABG+∠GBC+∠DBH+∠HBC=90°，求出∠GBC+∠HBC=45°，由此得到答案．
【详解】解：由折叠得∠ABG=∠GBC，∠DBH=∠HBC，
∵长方形纸片ABCD中，∠ABD=90°，
∴∠ABG+∠GBC+∠DBH+∠HBC=90°，
即2∠GBC+2∠HBC=90°，
∴∠GBC+∠HBC=45°，
∴∠GBH=45°，
故选：B．
【点睛】此题考查了翻折的性质：翻折前后对应的角度相等，正确理解翻折的性质是解题的关键．
5．（2022秋·浙江·八年级专题练习）若等腰三角形的两条边长分别为6cm和13cm，则它的周长为（ ）
A．26B．32C．26或32D．19或26
【答案】B
【分析】分13cm为底边长和6cm为底边长两种情况，结合三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：当13cm为底边长时，则两条腰长为6cm，但6+6＜13，不构成三角形，舍去；
当6cm为底边长时，则两条腰长为13cm，满足6+13＞13，构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为6+13+13=32cm，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论思想的运用是解答的关键．
6．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）下列说法：①三角形三条高相交于一点；②两边和一角对应相等的两个三角形全等；③到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点；④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据三角形的高的含义可判断A，根据全等三角形的判定方法可判断B，根据线段的垂直平分线的性质可判断C，根据等腰三角形的性质再分两种情况画图进行分析可判断D，从而可得答案．
【详解】解：三角形三条高所在的直线相交于一点，故①不符合题意；
两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等；故②不符合题意；
到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点；故③不符合题意；
如图，当等腰△ABC为锐角三角形时，AB=AC，BD⊥AC，AM⊥BC，
∴∠BAM=∠CAM=12∠BAC，
∵∠AND=∠BNM，
∴∠CBD=∠MAC=12∠BAC，
当等腰△ABC为钝角三角形时，AB=AC，BD⊥AC，AM⊥BC，
∴∠BAM=∠CAM=12∠BAC，∠C+∠CAM=90°=∠C+∠CBD，
∴∠CBD=∠CAM=12∠BAC，
∴等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，故④符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是三角形的高的性质，全等三角形的判定，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
7．（2023秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，则AE的长为（ ）
A．3cmB．6cmC．12cmD．16cm
【答案】A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∵△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，DE是AC的垂直平分线，
∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BC+DC=AB+BC=13 cm，
∴AC=6cm，
∴AE=12AC=3cm.
故选A．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．（2023·湖北黄石·校联考一模）在△ABC中，点D是AB上一点，△ADC与△BDC都是等腰三角形且底边分别为AC，BC，则∠ACB的度数为( )
A．60°B．72°C．90°D．120°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠ACB=180°，再根据等腰三角形的性质可得∠A+∠B=∠ACB，则可求∠ACB的度数．
【详解】解：如图：
∵△ADC与△BDC是等腰三角形且底边分别为AC、BC，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠DCB，
∴∠A+∠B=∠ACB，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=90°．
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得到∠A+∠B=∠ACB是解题的关键．
9．（2023秋·安徽黄山·八年级统考期中）如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动.经过( )秒后，△BPD与△CQP全等.
A．2B．3C．2或3D．无法确定
【答案】A
【分析】经过2秒后，PB=4cm，PC=6cm，CQ=4cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．
【详解】解：△BPD≌△CQP,理由如下：
当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，
有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm，
则CP=BC-BP=10-4=6cm，CQ=AC-AQ=12-8=4cm．
∵D是AB的中点，
∴BD=12AB=12×12=6cm，
∴BP=CQ，BD=CP，
又∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C．
在△BPD和△CQP中，
BP=CQ，∠B=∠C，BD=CP，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
故选A.
【点睛】本题考查了全等三角形全等的判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
10．（2023秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE=BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB=2∠APB；②S△PAC:S△PAB=AC:AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF=∠CPF；⑤GF+FC=GA，其中正确的有（ ）
A．①②③④B．①②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】①利用角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；⑤由④的结论得FC=FP，根据平分与平行条件可得GA=GP，则可得出GF+FC=GA．
【详解】解：∠ACB=∠CBE−∠CAB=2∠PBE−2∠PAB=2∠PBE−∠PAB=2∠APB，
故①正确；
∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC:S△PAB=AC:AB，
故②正确；
∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE (三线合一)，
故③正确；
∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，
∴点P到AE，AD的距离相等，点P到AE，BC的距离相等，
∴点P到BC，AD的距离相等，
∴点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠PCB，
又∵PG∥AD，
∴∠CPF=∠DCP，
∴∠PCB=∠CPF，即∠PCF=∠CPF，
故④正确；
由④得：FC=FP，
∴GF+FC=GF+FP=GP，
∵AP平分∠BAC，PG∥AD，
∴∠GAP=∠CAP=∠GPA，
∴GA=GP，
∴GF+FC=GA，
故⑤正确；
综上可知，①②③④⑤正确．
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，能够综合运用上述知识是解题的关键．
第II卷（非选择题）
11．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）已知A−4,3，则点A关于x轴的对称点A'的坐标是 .
【答案】(−4，−3)
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P(x，y)关于x轴的对称点的坐标是(x，−y)，从而得出结论
【详解】解：∵A−4,3
∴点A关于x轴的对称点为A'(−4，−3)，
故答案为：(−4，−3)．
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特征，熟练掌握其性质是解题的关键．
12．（2022秋·河南开封·八年级金明中小学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，则∠CEF的度数为 ．
【答案】90°/90度
【分析】根据折叠的性质即可得到结论．
【详解】解：∵将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，
∴∠B=∠CED，
∵将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，
∴∠A=∠DEF，
∴∠CEF=∠DEF+∠CED=∠A+∠B=90°，
故答案为：90°．
【点睛】本题考查翻折变换、三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折的性质．
13．（2023秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝8cm，BC＝5cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长长度为 ．
【答案】9cm
【分析】根据翻折的性质可知CD＝DE，BC＝BE，于是可以得到AD＋DE的长和AE的长，从而可以得到△ADE的周长．
【详解】解：由题意可得，
BC＝BE，CD＝DE，
∵AB＝8cm，BC＝5cm，AC＝6cm，
∴AD＋DE＝AD＋CD＝AC＝6cm，AE＝AB－BE＝AB－BC＝8－5＝3cm，
∴AD＋DE＋AE＝9cm，
即△AED的周长为9cm，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换和三角形的周长，解答本题的关键是利用等量代换的思想，求三角形的周长．
14．（2023春·河南郑州·七年级校考期中）如图，在4×4的正方形网格中，有5个小正方形已被涂黑（图中阴影部分），若在其余网格中再涂黑一个小正方形，使它与5个已被涂黑的小正方形组成的新图形是一个轴对称图形，则可涂黑的小正方形共有 个．
【答案】4
【分析】根据轴对称图形的概念、画出图形解答即可．
【详解】如图所示，有4个小正方形使之成为轴对称图形：

故答案为4
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
15．（2023秋·福建宁德·八年级校考期中）已知P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2015的 值 为 ．
【答案】–1
【分析】根据关于x轴对称点的性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，进而求出即可．
【详解】解：∵P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，
∴a﹣1=2，b﹣1=﹣5，
解得：a=3，b=﹣4，
∴（a+b）2015=（﹣1）2015=﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，得出a，b的值是解题关键．
16．（2022秋·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，CB=3，点D是BC边上的点，将△ADC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是 ．
【答案】4
【分析】连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可求出△BPE周长的最小值．
【详解】解：连接CE，交AD于M，
∵沿AD折叠C和E重合，
∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE=4，∠CAD=∠EAD，
∴BE=1，AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE，
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=3+1=4．
故答案为：4．
17．（2023秋·广东江门·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）在x轴上找到一点P，使得PB+PC最小．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质先描出三个顶点，依次连接即可；
（2）过x轴作B点的对称点B''，连接B''C与x轴的交点即为P点．
【详解】（1）△A'B'C'就是所求作的图形；
（2）点P就是所求作的点．
【点睛】本题考查坐标与图形变化—轴对称．正确得出对应点位置是解题关键．
18．（2023秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A(−1,−2),B(−2,−4)．
（1）画出线段AB关于x轴对称的对应线段A1B1，再画出线段A1B1关于y轴对称的对应线段A2B2；
（2）点A2的坐标为_________；
（3）若此平面直角坐标系中有一点Ma,b，先找出点M关于x轴对称的对应点M1，再找出点M1关于y轴对称的对应点M2，则点M2的坐标为_______；
【答案】（1）详见解析；（2）(1,2)；（3）(−a,−b)
【分析】（1）根据轴对称图形的作图方法画对称线段即可；
（2）根据图像可得点A2坐标；
（3）根据关于x轴对称的特点可得点M1坐标，再根据关于y轴对称的特点可得点M2坐标.
【详解】解：（1）如图，线段A1B1，线段A2B2即为所求.
（2）由图得A2(1,2)
（3）由点M关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得对应点M1(a,−b)，由M1关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数可得其对应点M2 (−a,−b).
所以点M2的坐标为(−a,−b).
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称，熟练掌握关于x轴和y轴的对称特点是解题的关键.
19．（2023秋·广东·八年级广东实验中学校考期中）如图，在△ABC中，DE⊥AC于点E，DA＝DC．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点G，连接AF；
（2）若△DAF的周长是16cm，求BC的长；
（3）若∠BAC＝110°，求∠DAF的度数．
【答案】（1）见解析；（2）16cm；（3）40°
【分析】（1）利用基本作图作AB的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，加上DA＝DC，利用等线段代换得到BC＝△ADF的周长；
（3）先根据三角形内角和定理计算出∠B+∠C＝70°，再利用等腰三角形的性质得到∠FAB＝∠B，∠DAC＝∠C，所以∠DAF＝∠BAC﹣（∠B+∠C），即可求解．
【详解】解：（1）如图，GF为所作；
（2）∵FG垂直平分AB，
∴FA＝FB，
∵DA＝DC，
∴BC＝BF+FD+CD＝FA+FD+DA＝△ADF的周长＝16cm；
（3）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵FA＝FB，DA＝DC，
∴∠FAB＝∠B，∠DAC＝∠C，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠FAB﹣∠DAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝110°﹣70°＝40°．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线性质定理，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
20．（2022·湖北襄阳·统考一模）图，在△ABC中，∠BAD=90°，AB=AD=DC，点E是AC的中点．
(1)尺规作图：过点B作BF⊥AC交直线AC于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若AC=6，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）按照垂线的作法作图即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一可知DE⊥AC，易证△FBA≌△EAD，即可求解．
（1）
解： BF即为所求(作图如图所示)，
（2）
解：∵AD＝DC，点E是AC的中点，
∴DE⊥AC，AE＝12AC=3．
∴∠DEA＝90°．
∵BF⊥AC，
∴∠BFA＝90°．
∴∠FBA＋∠BAF＝90°．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAF＋∠DAE＝90°．
∴∠FBA＝∠DAE．
又∵AB＝AD，
∴△FBA≌△EAD．
∴BF＝AE＝3．
【点睛】本题考查了基本作图—作垂线，等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．
21．（2022秋·山东滨州·八年级阳信县实验中学校联考阶段练习）如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．
(1)请直接写出AD长．
(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？
【答案】(1)4−0.5xcm
(2)运动83秒后，△ADE为直角三角形
【分析】（1）根据题意可得CD=0.5xcm，从而得到AD=AC−CD=4−0.5xcm，即可；
（2）根据等边三角形的性质，可得∠ADE=90°，设x秒时，△ADE为直角三角形，可得∠AED=30°，AE=4+0.5x，从而得到AE=2AD，可得到4+0.5x=24−0.5x，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，CD=0.5xcm，
则AD=AC−CD=4−0.5xcm；
（2）解：∵△ABC是等边三角形；
∴AB=BC=AC=4 cm，∠A=∠ABC=∠C=60°．
设x秒时，△ADE为直角三角形，
∴∠ADE=90°，BE=0.5x，AD=4−0.5x，
∴∠AED=30°，AE=4+0.5x，
∴AE=2AD，
∴4+0.5x=24−0.5x，
∴x=83；
答：运动83秒后，△ADE为直角三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质的运用是解题的关键．
22．（2022春·陕西汉中·七年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，E是AB上一点，且AE=BC，BE=AD，连接DE、CE．
(1)∠1与∠2相等吗？为什么？
(2)点F是线段CD的中点，连接AF、BF、EF．
①试说明△FDE≌△FEC；
②试判断△ADF与△BEF是否全等，并说明理由．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)①见解析；②全等，理由见解析
【分析】（1）利用SAS证明△ADE≌△BEC，得DE=CE，再根据等边对等角即可证明结论；
（2）①由（1）得△ADE≌△BEC，则∠ADE=∠BEC，可说明∠CED=90°，再利用等腰三角形的性质可证明结论；②由等腰直角三角形的性质得DF=EF，再利用SAS即可证明△ADF≌△BEF．
（1）
相等，理由如下：
在△ADE与△BEC中，
∵AD=BE，∠DAE=∠EBC，AE=BC，
∴△ADE≌△BECSAS，
∴DE=CE，
∴△CED是等腰三角形，
∴∠1=∠2；
（2）
①证明：由（1）得△ADE≌△BEC，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠BEC+∠AED=90°，
∴∠CED=90°，
∴∠1=∠2=45°，
∵CE=DE，点F为CD的中点，
∴EF⊥CD，EF平分∠DEC，
∴∠DFE=∠CFE=90°，∠DEF=∠CEF=45°，
在△FDE与△FEC中，
∵∠EFD=∠CFE=90°，∠FDE=∠FEC=45°，DE=CE，
∴△FDE≌△FECAAS，
②解：△ADF≌△BEF，理由如下：
∵△CDE是等腰直角三角形，F为CD的中点，
∴DF=EF，
∵∠ADE=∠BEC，∠FDE=∠FEC，
∴∠ADE+∠FDE=∠BEC+∠FEC，
∴∠ADF=∠BEF，
在△ADF与△BEF中，
∵AD=BE，∠ADF=∠BEF，DF=EF，
∴△ADF≌△BEFSAS．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（2023秋·四川泸州·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．
(1)如图1，若点D是AC的中点，求证：AD＝CE ；
(2)如图2，若点D不是AC的中点，求证：AD＝CE ；
(3)如图3，若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)AD=CE，见解析
【分析】（1）求出∠E＝∠CDE，推出CD＝CE，根据等边三角形性质求出AD＝DC，即可得出答案；
（2）AD＝CE这一结论仍成立，过D作DF∥BC，交AB于F，证△BFD≌△DCE，推出DF＝CE，证△ADF是等边三角形，推出AD＝DF，即可得出答案；
（3）如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，证明△BPD≌△DCE，得到PD＝CE，即可得到AD＝CE．
(1)
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∵D为AC中点，
∴∠DBC=30°，AD=DC，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=30°=∠E，
∴CD=CE，
∵AD=DC，
∴AD=CE；
(2)
证明：如图2，过D作DF//BC，交AB于F，
则∠ADF=∠ACB=60°，
∵∠A=60°，
∴△AFD是等边三角形，
∴AD=DF=AF，∠AFD=60°，
∴∠BFD=∠DCE=180°−60°=120°，
∵DF//BC，
∴∠FDB=∠DBE=∠E，
在△BFD和△DCE中
{∠FDB=∠E∠BFD=∠DCEBD=DE，
∴△BFD≌△DCE(AAS)，
∴CE=DF=AD，
即AD=CE．
(3)
解：AD=CE．
证明：如图3，过点D作DP//BC，交AB的延长线于点P，
∵△ABC是等边三角形，
∴△APD也是等边三角形，
∴AP=PD=AD，∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°，
∵DB=DE，
∴∠DBC=∠DEC，
∵DP//BC，
∴∠PDB=∠CBD，
∴∠PDB=∠DEC，
在△BPD和△DCE中，
{∠PDB=∠CED∠P=∠DCE=60°DB=ED
∴△BPD≌△DCE(AAS)，
∴PD=CE，
∴AD=CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定与性质．
24．（2023春·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED∠B=∠E，边AE交射线BC于点F．
（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE//AC
（2）若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值．
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①15，②存在，x=22.5或45
【分析】（1）由∠BAC=90°，根据同角的余角相等，可得∠CAF=∠B，由折叠的性质可知∠B=∠E，等量代换，从而得证；
（2）①根据翻折，和已知条件，求得∠BAF=30°，从而求得x的值
②由①的结论可求得∠FDE=120−2x°，∠DFE=2x+30°，分情形讨论，当∠EDF=∠DFE时，当∠DFE=∠E=30°，当∠EDF=∠E=30°，解方程即可求得x，根据题干中x的取值范围取舍．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AE⊥BC，
∴∠CAF+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，
∴∠CAF=∠B，
由翻折可知，∠B=∠E，
∴∠CAF=∠E，
∴AC//DE；
（2）①∵∠C=2∠B，
∠C+∠B=90°，
∴∠C=60°，∠B=30°，
∵DE⊥BC，∠E=∠B=30°，
∴∠BFE=60°，
∵∠BFE=∠B+∠BAF，
∴∠BAF=30°，
由翻折可知，x=∠BAD=12∠BAF=15°；
②∠BAD=x°，则
∠ADB=180°−∠B−∠BAD=150°−x
∠ADF=∠B+∠BAD=30°+x
由翻折可知：∠ADE=∠ADB
∴ ∠FDE=∠ADE−∠ADF=120−2x°，
∠DFE=∠AFC=2x+30°，
当∠EDF=∠DFE时，
120−2x=2x+30，
解得，x=22.5，
当∠DFE=∠E=30°时，
2x+30=30，
解得，x=0，
∵0∴不合题意，故舍去，
当∠EDF=∠E=30°，
120−2x=30，
解得，x=45，
综上可知，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等，且x=22.5或45．
【点睛】本题考查了折叠，轴对称的性质，平行线的判定，直角三角形中两锐角互余，三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键．
25．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”．
（1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是 （只填写序号）．
①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．
（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数；
（3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l于M，DN⊥l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN的最大值．
【答案】（1）①；（2）满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20°，40°，60°，80°或100°；（3）8
【分析】（1）根据“友好分割线”的定义判断即可；
（2）分三种情形：当“友好分割线”经过点C，当“友好分割线”经过点A，当“友好分割线”经过点B，分别画出图形求解即可；
（3）证明△DNE≌△AGE（ASA），推出DN＝AG．在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°推出CM≤CF，AG≤AF，推出CM+AG≤CF+AF，即CM+AG≤AC，由此可得结论．
【详解】解：（1）根据“友好分割线”的定义可知，
如图，等腰直角三角形，顶角为150°的等腰三角形存在“友好分割线”．
等边三角形不存在“友好分割线”．
故答案为：①；
（2）∵∠A=60°,∠B=40°,
∴∠ACB=180°−60°−40°=80°,
如图，
当EC＝EA时，∠AEC＝60°，
当FC＝FB时，∠BFC＝100°，
当BC＝BG时，∠B＝40°．
如图，
当AC＝AR时，∠CAR＝20°，
当CA＝CW时，∠C＝80°，
如图，
当BC＝BQ时，∠CBQ＝20°，
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20°，40°，60°，80°或100°；
（3）解：如图2中，作AG⊥l于点G．
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°．
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°．
∴△CDA不是等腰三角形．
∵CD为△ABC的“友好分割线”，
∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形．
∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝4．
∵∠BAC＝30°，
∴AC＝2CD＝8．
∵DN⊥l于N，
∴∠DNE＝∠AGE＝90°．
∵E为AD的中点，
∴DE＝AE．
在△DNE和△AGE中，
{∠AGE=∠DNEDE=AE∠DEN=∠AEG
∴△DNE≌△AGE（ASA），
∴DN＝AG．
在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°，
∴CM≤CF，AG≤AF，
∴CM+AG≤CF+AF，
即CM+AG≤AC，
∴CM+DN≤8，
∴CM+DN的最大值为8．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
评卷人
得分
一、单选题
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二、填空题
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三、解答题
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