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2022-2023学年湖南省永州市新田县八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省永州市新田县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省永州市新田县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 点P的坐标是(4,−3)，则点P所在象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列图象是函数图象的是( )
A. B. C. D.
3. 习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道，下列有关环保的四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是( )
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10
5. 某商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，绘制了如图所示的频数分布直方图，请问选择最合适的包装为( )
A. 3kg/包 B. 4kg/包 C. 5kg/包 D. 6kg/包
6. 如图，点A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③∠APB的大小；④直线MN，AB之间的距离.其中会随点P的移动而不改变的是( )
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
7. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，如果DE=5，那么四边形ABCD的面积是( )
A. 20 5
B. 25
C. 20
D. 15 5
8. 下列命题，其中正确命题的个数为( )
(1)等边三角形是中心对称图形；
(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
(3)两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
(4)两条对角线互相垂直的四边形是菱形．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 点P在∠ABC的平分线上，点P到BA边的距离等于3，点D是BC边上的任意一点，则关于PD长度的选项正确的是( )
A. PD=3 B. PD<3 C. PD≤3 D. PD≥3
10. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=−x的图象分别为直线l1，l2过点(1,0)作x轴的垂线交l1于点A1，过A1点作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A2作y轴的垂线交l2于点A4…依次进行下去，则点A2023的坐标为( )
A. (−21011,−21012)
B. (−10112,10112)
C. (−21011,21011)
D. (−21011,−21011)
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=2cm，则AB的长为______ cm．
12. 某班级有50名学生，在期中考试学情分析中，分数段在80～89分的频率为0.2，则该班级在这个分数段内的学生有______ 人.
13. 函数y= 2−x中自变量x的取值范围是______ ．
14. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，OE=2.5，AC=6，则菱形ABCD的面积是______ ．
15. 已知点P(2a−1,5)，点Q(a+2,m)，若PQ//y轴，则a= ______ ．
16. 如图，在▱ABCD中AC、BD相交于点O，AC=12，当OD= ______ 时，▱ABCD是矩形．
17. 如图，正方形ABCD的边长是4，点P为AB边上一点(不与点B重合)，过点P、B在正方形内部作正方形PBEF，交边BC于点E，连接DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，PB的长为______ ．
18. 如图，直线y=kx+b经过点B(−3,0)与直线y=ax−1相交于点A(−1,−2)，与y轴交于C，则不等式组ax−1
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
已知A(0,2)，B(4,0)，C(3,3)．
(1)点B关于y轴的对称点B′的坐标是______ ．
(2)点C关于原点的对称点C′的坐标是______ ．
(3)在直角坐标系中画出△AB′C′．
(4)△AB′C′的面积是______ ．
20. (本小题8.0分)
如图，已知在△ABC与△ABD中，AC=BD，∠C=∠D=90°，AD与BC交于点E．
(1)求证：AD=BC；
(2)若AC=3，BC=4，求△ACE的周长．
21. (本小题8.0分)
为营造“人人关心、人人参与、人人支持”的创建文明县城的浓厚氛围.校某举行了“文明在我身边”摄影比赛，已知每幅参赛作品成绩记为x分(60≤x<100)校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表．
分数段
频数
频率
60≤x<70
18
0.36
70≤x<80
17
c
80≤x<90
a
0.24
90≤x<100
b
0.06
合计
1
根据以上信息解答下列问题：
(1)统计表中c的值为______ ；样本成绩的中位数落在分数段______ 中；
(2)补全频数分布直方图：
(3)若80分以上(含80分)的作品将被组织展评，试估计全校被展评的作品数量是多少．
22. (本小题10.0分)
数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的．
小红同学先任意画出△ABC，再取边AC的中点O，连结BO并延长到点D，使OD=OB，连结AD，CD(如图所示)，并写出了如下尚不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形ABCD中，OD=OB.OA= ______ ．
求证：四边形ABCD是______ 四边形．
(1)补全已知和求证(在方框中填空)．
(2)小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程(可以用小红的思路，也可以用其他方法)．
23. (本小题10.0分)
如图，长方形ABCD中，BC=8，CD=5，点E为边AD上一动点(不与A、D重合)，连接CE，随着点E的运动，四边形ABCE的面积也发生变化．
(1)求四边形ABCE的面积y与AE的长x(0
24. (本小题10.0分)
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
(1)求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，要求购进甲种粽子不少于乙种粽子的3倍，若设购买甲种粽子m个，总费用为w元，请为该超市设计出最省钱的购买方案并求最低费用．
25. (本小题12.0分)
如图，四边形ABCD是正方形，M是边BC上一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM．
求证：(1)∠AMB=2∠MAE；
(2)AM=AD+MC；
(3)若AD=5，求AM的长．
26. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=12x+b与x轴，y轴分别交于点B(−8,0)、点A，点C的坐标为C(3,0)，点P是x轴上一动点．
(1)求一次函数表达式和点A的坐标；
(2)连接AP，若△ABP的面积为10，求点P的坐标；
(3)当点P在x轴上运动时，是否存在点P使△APC是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：点P(4,−3)在第四象限．
故选：D．
由于点P的横坐标为正，纵坐标为负，根据各象限内的点的坐标特征即可进行判断．
本题考查了点的坐标：记住各象限内的点的坐标特征．
2.【答案】B
【解析】解：A、作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有两个交点，故A不符合题意；
B、作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故B符合题意；
C、作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有两个交点，故C不符合题意；
D、作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有两个交点，故D不符合题意；
故选：B．
根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
3.【答案】B
【解析】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4.【答案】C
【解析】解：如图，延长a，b交于点C，
∵a⊥b，
∴∠ACB=90°，
∴正多边形的一个外角为180°−90°2=45°，
∴n=36045=8．
故选：C．
延长a、b交于点C，根据a⊥b得到∠ACB=90°，于是可以得到正多边形的一个外角为45°，进而可得正多边形的边数．
本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由图知这组数据的众数为2.5kg～3.5kg，取其组中值3kg，
故选：A．
最合适的包装即顾客购买最多的包装，而顾客购买最多的包装质量即这组数据的众数，取所得范围的组中值即可．
本题主要考查频数(率)分布直方图，解题的关键是根据最合适的包装即顾客购买最多的包装，并根据频数分布直方图得出具体的数据及众数的概念．
6.【答案】B
【解析】解：∵点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN=12AB，MN//AB，
∴线段MN的长不变，直线MN，AB之间的距离，故①④符合题意，
PA、PB的长随点P的运动而改变，∠APB的大小随点P的运动而改变，故②③不符合题意；
故选：B．
根据三角形中位线定理判断即可．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
7.【答案】C
【解析】解：设EC的长是x，则正方形的边长就是2x，根据勾股定理可得：
x2+(2x)2=52，
∴x2=5
所以正方形ABCD面积=2x×2x=4x2=4×5=20，
答：四边形ABCD的面积是20，
.故选：C．
要求四边形ABCD的面积，需要求出正方形的边长，再根据梯形的面积公式计算即可，设EC的长是x，则正方形的边长就2x，根据勾股定理可得：x2+(2x)2=52，据此求出x2的值，再利用面积公式计算即可解答．
本题考查了正方形的性质，解答此题的关键是根据右边的直角三角形，利用勾股定理求出的值，再代入梯形的面积公式计算即可解答问题．
8.【答案】A
【解析】解：(1)因为正奇边形不是中心对称图形，故等边三角形不是中心对称图形，此选项错误；
(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，因为等腰梯形也符合此条件，此选项错误；
(3)两条对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确；
(4)两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项错误．
故选：A．
根据中心对称的概念以及平行四边形、正方形、菱形的判定定理进行判断即可．
本题考查了特殊图形的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形、正方形、菱形的各种判定定理．
9.【答案】D
【解析】解：如图，过点P作PM⊥BA于M，PN⊥BC于N，
∵BP平分∠ABC，点P到BA边的距离等于3，
∴PN=PM=3，
∴PD≥PN=3．
故选：D．
过点P作PM⊥BA于M，PN⊥BC与N，由角平分线的性质得PN=PM=3，由点到直线的距离垂线段最短得出PD≥PN即可解答．
本题考查点到直线的距离最短问题，关键掌握角平分线的性质，和垂线段的性质．
10.【答案】A
【解析】解：当x=1时，y=2，
∴点A1的坐标为(1,2)；
当y=−x=2时，x=−2，
∴点A2的坐标为(−2,2)；
同理可得：A3(−2,−4)，A4(4,−4)，A5(4,8)，A6(−8,8)，A7(−8,−16)，A8(16,−16)，A9(16,32)，…，
∴A4n+1(22n,22n+1)，A4n+2(−22n+1,22n+1)，
A4n+3(−22n+1,−22n+2)，A4n+4(22n+2,−22n+2)(n为自然数)．
∵2023=505×4+3，
∴点A2023的坐标为(−2505×2+1,−2505×2+2)，即(−21011,−21012).
故选：A．
根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1(22n,22n+1)，A4n+2(−22n+1,22n+1)，A4n+3(−22n+1,−22n+2)，A4n+4(22n+2,−22n+2)(n为自然数)”，依此规律结合2023=505×4+3即可找出点A2023的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，找到坐标的变化规律是解题关键．
11.【答案】4
【解析】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=2cm，
∴AB=2BC=4(cm)，
故答案为：4．
利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】10
【解析】解：根据题意得：该班级在这个分数段内的学生有50×0.2=10人．
故答案为：10．
用50乘以分数段在80～89分的频率，即可求解．
本题主要考查了求频数，熟练掌握频数等于总数乘以频率是解题的关键．
13.【答案】x≤2
【解析】解：根据题意得：2−x≥0，
解得：x≤2．
故答案为：x≤2．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
本题考查的是函数的自变量取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.【答案】24
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AO=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，
∵点E是AD的中点，
∴OE是△DAB的中位线，
∴AB=2OE=5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB= AB2−OA2= 52−32=4，
∴BD=2OB=8，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6×8=24，
故答案为：24．
由菱形的性质得AO=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，再由三角形中位线定理得AB=2OE=5，然后由勾股定理得OB=4，则BD=2OB=8，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：∵点P(2a−1,5)，点Q(a+2,m)，PQ//y轴，
∴2a−1=a+2，
∴a=3．
故答案为：3．
根据PQ//y轴可知P，Q两点的横坐标相同，列出关于a的方程，求出a的值即可．
本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上各点的横坐标相同是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=AC=12时，四边形ABCD是矩形，
∴OD=12BD=6，
∴当OD=6时，四边形ABCD是矩形．
故答案为：6．
当BD=AC=12时，平行四边形ABCD是矩形，即可求出OD=12BD=6，
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法．
17.【答案】4−2 2或2
【解析】解：连接BF，如图：
∵四边形ABCD、PBEF是正方形，AB=4，
∴B、F、D共线，CD=AB=4，
①当FD=CD=4时，BF=BD−FD=4 2−4，
∴PB= 22BF=4−2 2；
②当FD=FC时，∠FCD=∠FDC=45°，
∴∠DFC=90°，
∴FD= 22CD=2 2，
∴BF=BD−FD=4 2−2 2=2 2，
∴PB= 22BF=2；
③当CF=CD=4时，F与B重合，不符合题意，舍去，
∴这种情况不存在；
∴当△CDE为等腰三角形时，PB的长为4−2 2或2．
故答案为：4−2 2或2．
分三种情形：①当FD=CD=4时，②当FD=FC时，③当CF=CD=4时，根据等腰直角三角形的性质求出AE即可解决问题．
本题考查正方形的性质、等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质，熟练应用等腰直角三角形的斜边等于直角边的 2倍，属于中考常考题型．
18.【答案】−3
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
19.【答案】(−4,0) (−3,−3) 7
【解析】解：(1)点B关于y轴的对称点B′的坐标是(−4,0)．
故答案为：(−4,0)；
(2)点C关于原点的对称点C′的坐标是(−3,−3)；
故答案为：(3,−3)；
(3)如图，△AB′C′即为所求；
(4)△AB′C′的面积=4×5−12×2×4−12×3×5−12×1×3=7．
故答案为：7．
(1)利用轴对称变换的性质判断即可；
(2)利用中心对称变换的性质判断即可；
(3)根据要求作出三角形即可；
(4)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图=旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
20.【答案】(1)证明：∵∠C=∠D=90°，
∴△ABC与△ABD均是直角三角形，
在Rt△ABC与Rt△BAD中，
AB=BAAC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
∴AD=BC；
(2)解：∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴AD=BC，∠BAD=∠ABC，
∴AE=BE，
∵BC=4，
∴BE+CE=AE+CE=4，
∵AC=3，
∴△ACE的周长为AC+AE+CE=3+4=7．
【解析】(1)根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，即可求证；
(2)根据Rt△ABC≌Rt△BAD，可得AD=BC，∠BAD=∠ABC，从而得到AE=BE，进而得到AE+CE=4，即可求解．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
21.【答案】0.34 70≤x<80
【解析】解：(1)本次调查的作品总数为18÷0.36=50(幅)，
则c=17÷50=0.34，a=50×0.24=12，b=50×0.06=3，
其中位数为第25、26个数的平均数，
∴中位数落在70≤x<80中，
故答案为：0.34，70≤x<80；
(2)补全图形如下：
(3)600×(0.24+0.06)=180(幅)，
答：估计全校被展评作品数量是180幅．
(1)由60≤x<70频数和频率求得总数，根据频率=频数÷总数求得a、b、c的值，由中位数定义求解可得；
(2)根据(1)中所求数据补全图形即可得；
(3)总数乘以80分以上的频率即可．
本题考查读频数(率)分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及条形统计图；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22.【答案】OC 平行
【解析】(1)解：已知：如图，在四边形ABCD中，OD=OB，OA=OC，
求证：四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：OC，平行．
(2)证明：在△ABO与△CDO中，
OD=OB∠AOB=∠CODOC=OA，
∴△ABO≌△CDO(SAS)，
∴AB=CD，∠BAO=∠DCO，
∴AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(1)根据题意补全已知和求证；
(2)证明△ABO≌△CDO(SAS)得出AB=CD，AB//CD，即可得证．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵梯形的面积=(上底+下底)×高÷2，
∴y=12×(x+8)×5=52x+20(0
解得：x=4，即AE=4，
∴DE=BC−AE=8−4=4，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得CE2=DE2+CD2，
∴CE= 42+52= 41．
【解析】(1)根据梯形的面积公式代入数值即可找到y与x之间的关系式；
(2)将y=30代入函数关系式求出x，再求出DE的长，然后利用勾股定理即可求出答案．
本题考查了梯形的面积，函数关系式，函数关系式中的求值等知识点，数形结合是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，
依题意得：800x−12002x=50，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，
则2x=8，
即甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为4元；
(2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，总费用为w元，
依题意得：w=8m+4(200−m)=4m+800，
∵m≥3(200−m)，
∴m≥150，
∵k=4>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=150时，w有最小值为：4×150+800=1400元，
此时200−m=50(个)，
即购进150个甲种粽子，50个乙种粽子．
【解析】(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意：购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，总费用为w元，可得w与m的函数关系式，再根据m≥3(200−m)解答即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据题意列函数关系式，再根据m≥3(200−m)解答即可．
25.【答案】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠DAM=∠AMB，
∵AE平分∠DAM，
∴∠MAE=12∠DAM，
∴∠AMB=2∠MAE．
(2)证明：如图2所示：
过点E作EF⊥AM交AM于点F，连接EM．
∵AE平分∠DAM，DE⊥AD，DF⊥AM，
∴ED=EF，
又∵E是CD的中点，
∴ED=EC，
∴EF=EC，
在Rt△EFM和Rt△ECM中，
EF=ECEM=EM，
∴Rt△EFM≌Rt△ECM(HL)，
∴FM=MC，
同理可求AF=AD，
又∵AM=AF+FM，
∴AM=AD+MC；
(3)解：设MC=a，则FM=a，
∵AD=5，
∴AD=AF=AB=BC=5，
∴AM=AF+FM=5+a，
又∵BC=BM+MC，
∴BM=5−a，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
AM2=AB2+BM2，
∴(5+a)2=(5−a)2+52，
解得：a=54，
∴AM=5+a=5+54=254．
【解析】(1)由AD//BC，得，∠DAM=∠AMB；又因AE平分∠DAM，得∠MAE=12∠DAM，等量代换得∠AMB=2∠MAE；
(2)因AE平分∠DAM，得ED=EF，AD=AF，CD的中点，可证明Rt△EFM≌Rt△ECM，易得FM=CM；即可证明AM=AD+MC；
(3)由(2)和AD=5，在Rt△ABM中，由勾股定理可求得AM的长．
本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理等相关知识的综合运用，重点掌握判定两个三角形全等的方法，难点是作垂线，构建角平分线和两个三角形全等，以及证明不在同一条直线上的两条线段的和等于另一条线段方法是将该两条线段转换到同一条直线上．
26.【答案】解：(1)把B(−8,0)代入y=12x+b，得12×(−8)+b=0，
解得：b=4，
∴一次函数的表达式为y=12x+4，
令x=0，得y=4，
∴A(0,4)；
(2)设P(x,0)，则BP=|x+8|，
∵△ABP的面积为10，
∴12BP⋅OA=10，即12|x+8|×4=10，
解得：x=−3或−13，
∴点P的坐标为(−3,0)或(−13,0)；
(3)存在，点P的坐标为(8,0)或(−2,0)或(−3,0)或(−76,0)．
设P(x,0)，则CP=|x−3|，
在Rt△ACO中，AC= OA2+OC2= 42+32=5，
当CP=AC时，|x−3|=5，
解得：x=8或−2，
∴点P的坐标为(8,0)或(−2,0)；
当AP=AC时，如图，
∵AO⊥PC，
∴OP=OC=3，
∴P(−3,0)；
当AP=CP时，x2+42=(x−3)2，
解得：x=−76，
∴P(−76,0)；
综上所述，点P的坐标为(8,0)或(−2,0)或(−3,0)或(−76,0)．
【解析】(1)运用待定系数法可求得一次函数的表达式，令x=0即可求得点A的坐标；
(2)设P(x,0)，则BP=|x+8|，根据三角形面积建立方程求解即可得出答案；
(3)设P(x,0)，则CP=|x−3|，利用勾股定理可得AC= OA2+OC2= 42+32=5，分三种情况讨论，当CP=AC时，②当AP=AC时，当AP=CP时，由等腰三角形的性质可求解．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象与性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
2022-2023学年湖南省永州市新田县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 点P的坐标是(4,−3)，则点P所在象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列图象是函数图象的是( )
A. B. C. D.
3. 习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道，下列有关环保的四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是( )
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10
5. 某商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，绘制了如图所示的频数分布直方图，请问选择最合适的包装为( )
A. 3kg/包 B. 4kg/包 C. 5kg/包 D. 6kg/包
6. 如图，点A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③∠APB的大小；④直线MN，AB之间的距离.其中会随点P的移动而不改变的是( )
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
7. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，如果DE=5，那么四边形ABCD的面积是( )
A. 20 5
B. 25
C. 20
D. 15 5
8. 下列命题，其中正确命题的个数为( )
(1)等边三角形是中心对称图形；
(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
(3)两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
(4)两条对角线互相垂直的四边形是菱形．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 点P在∠ABC的平分线上，点P到BA边的距离等于3，点D是BC边上的任意一点，则关于PD长度的选项正确的是( )
A. PD=3 B. PD<3 C. PD≤3 D. PD≥3
10. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=−x的图象分别为直线l1，l2过点(1,0)作x轴的垂线交l1于点A1，过A1点作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A2作y轴的垂线交l2于点A4…依次进行下去，则点A2023的坐标为( )
A. (−21011,−21012)
B. (−10112,10112)
C. (−21011,21011)
D. (−21011,−21011)
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=2cm，则AB的长为______ cm．
12. 某班级有50名学生，在期中考试学情分析中，分数段在80～89分的频率为0.2，则该班级在这个分数段内的学生有______ 人.
13. 函数y= 2−x中自变量x的取值范围是______ ．
14. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，OE=2.5，AC=6，则菱形ABCD的面积是______ ．
15. 已知点P(2a−1,5)，点Q(a+2,m)，若PQ//y轴，则a= ______ ．
16. 如图，在▱ABCD中AC、BD相交于点O，AC=12，当OD= ______ 时，▱ABCD是矩形．
17. 如图，正方形ABCD的边长是4，点P为AB边上一点(不与点B重合)，过点P、B在正方形内部作正方形PBEF，交边BC于点E，连接DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，PB的长为______ ．
18. 如图，直线y=kx+b经过点B(−3,0)与直线y=ax−1相交于点A(−1,−2)，与y轴交于C，则不等式组ax−1
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
已知A(0,2)，B(4,0)，C(3,3)．
(1)点B关于y轴的对称点B′的坐标是______ ．
(2)点C关于原点的对称点C′的坐标是______ ．
(3)在直角坐标系中画出△AB′C′．
(4)△AB′C′的面积是______ ．
20. (本小题8.0分)
如图，已知在△ABC与△ABD中，AC=BD，∠C=∠D=90°，AD与BC交于点E．
(1)求证：AD=BC；
(2)若AC=3，BC=4，求△ACE的周长．
21. (本小题8.0分)
为营造“人人关心、人人参与、人人支持”的创建文明县城的浓厚氛围.校某举行了“文明在我身边”摄影比赛，已知每幅参赛作品成绩记为x分(60≤x<100)校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表．
分数段
频数
频率
60≤x<70
18
0.36
70≤x<80
17
c
80≤x<90
a
0.24
90≤x<100
b
0.06
合计
1
根据以上信息解答下列问题：
(1)统计表中c的值为______ ；样本成绩的中位数落在分数段______ 中；
(2)补全频数分布直方图：
(3)若80分以上(含80分)的作品将被组织展评，试估计全校被展评的作品数量是多少．
22. (本小题10.0分)
数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的．
小红同学先任意画出△ABC，再取边AC的中点O，连结BO并延长到点D，使OD=OB，连结AD，CD(如图所示)，并写出了如下尚不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形ABCD中，OD=OB.OA= ______ ．
求证：四边形ABCD是______ 四边形．
(1)补全已知和求证(在方框中填空)．
(2)小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程(可以用小红的思路，也可以用其他方法)．
23. (本小题10.0分)
如图，长方形ABCD中，BC=8，CD=5，点E为边AD上一动点(不与A、D重合)，连接CE，随着点E的运动，四边形ABCE的面积也发生变化．
(1)求四边形ABCE的面积y与AE的长x(0
24. (本小题10.0分)
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
(1)求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，要求购进甲种粽子不少于乙种粽子的3倍，若设购买甲种粽子m个，总费用为w元，请为该超市设计出最省钱的购买方案并求最低费用．
25. (本小题12.0分)
如图，四边形ABCD是正方形，M是边BC上一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM．
求证：(1)∠AMB=2∠MAE；
(2)AM=AD+MC；
(3)若AD=5，求AM的长．
26. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=12x+b与x轴，y轴分别交于点B(−8,0)、点A，点C的坐标为C(3,0)，点P是x轴上一动点．
(1)求一次函数表达式和点A的坐标；
(2)连接AP，若△ABP的面积为10，求点P的坐标；
(3)当点P在x轴上运动时，是否存在点P使△APC是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：点P(4,−3)在第四象限．
故选：D．
由于点P的横坐标为正，纵坐标为负，根据各象限内的点的坐标特征即可进行判断．
本题考查了点的坐标：记住各象限内的点的坐标特征．
2.【答案】B
【解析】解：A、作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有两个交点，故A不符合题意；
B、作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故B符合题意；
C、作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有两个交点，故C不符合题意；
D、作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有两个交点，故D不符合题意；
故选：B．
根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
3.【答案】B
【解析】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4.【答案】C
【解析】解：如图，延长a，b交于点C，
∵a⊥b，
∴∠ACB=90°，
∴正多边形的一个外角为180°−90°2=45°，
∴n=36045=8．
故选：C．
延长a、b交于点C，根据a⊥b得到∠ACB=90°，于是可以得到正多边形的一个外角为45°，进而可得正多边形的边数．
本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由图知这组数据的众数为2.5kg～3.5kg，取其组中值3kg，
故选：A．
最合适的包装即顾客购买最多的包装，而顾客购买最多的包装质量即这组数据的众数，取所得范围的组中值即可．
本题主要考查频数(率)分布直方图，解题的关键是根据最合适的包装即顾客购买最多的包装，并根据频数分布直方图得出具体的数据及众数的概念．
6.【答案】B
【解析】解：∵点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN=12AB，MN//AB，
∴线段MN的长不变，直线MN，AB之间的距离，故①④符合题意，
PA、PB的长随点P的运动而改变，∠APB的大小随点P的运动而改变，故②③不符合题意；
故选：B．
根据三角形中位线定理判断即可．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
7.【答案】C
【解析】解：设EC的长是x，则正方形的边长就是2x，根据勾股定理可得：
x2+(2x)2=52，
∴x2=5
所以正方形ABCD面积=2x×2x=4x2=4×5=20，
答：四边形ABCD的面积是20，
.故选：C．
要求四边形ABCD的面积，需要求出正方形的边长，再根据梯形的面积公式计算即可，设EC的长是x，则正方形的边长就2x，根据勾股定理可得：x2+(2x)2=52，据此求出x2的值，再利用面积公式计算即可解答．
本题考查了正方形的性质，解答此题的关键是根据右边的直角三角形，利用勾股定理求出的值，再代入梯形的面积公式计算即可解答问题．
8.【答案】A
【解析】解：(1)因为正奇边形不是中心对称图形，故等边三角形不是中心对称图形，此选项错误；
(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，因为等腰梯形也符合此条件，此选项错误；
(3)两条对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确；
(4)两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项错误．
故选：A．
根据中心对称的概念以及平行四边形、正方形、菱形的判定定理进行判断即可．
本题考查了特殊图形的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形、正方形、菱形的各种判定定理．
9.【答案】D
【解析】解：如图，过点P作PM⊥BA于M，PN⊥BC于N，
∵BP平分∠ABC，点P到BA边的距离等于3，
∴PN=PM=3，
∴PD≥PN=3．
故选：D．
过点P作PM⊥BA于M，PN⊥BC与N，由角平分线的性质得PN=PM=3，由点到直线的距离垂线段最短得出PD≥PN即可解答．
本题考查点到直线的距离最短问题，关键掌握角平分线的性质，和垂线段的性质．
10.【答案】A
【解析】解：当x=1时，y=2，
∴点A1的坐标为(1,2)；
当y=−x=2时，x=−2，
∴点A2的坐标为(−2,2)；
同理可得：A3(−2,−4)，A4(4,−4)，A5(4,8)，A6(−8,8)，A7(−8,−16)，A8(16,−16)，A9(16,32)，…，
∴A4n+1(22n,22n+1)，A4n+2(−22n+1,22n+1)，
A4n+3(−22n+1,−22n+2)，A4n+4(22n+2,−22n+2)(n为自然数)．
∵2023=505×4+3，
∴点A2023的坐标为(−2505×2+1,−2505×2+2)，即(−21011,−21012).
故选：A．
根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1(22n,22n+1)，A4n+2(−22n+1,22n+1)，A4n+3(−22n+1,−22n+2)，A4n+4(22n+2,−22n+2)(n为自然数)”，依此规律结合2023=505×4+3即可找出点A2023的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，找到坐标的变化规律是解题关键．
11.【答案】4
【解析】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=2cm，
∴AB=2BC=4(cm)，
故答案为：4．
利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】10
【解析】解：根据题意得：该班级在这个分数段内的学生有50×0.2=10人．
故答案为：10．
用50乘以分数段在80～89分的频率，即可求解．
本题主要考查了求频数，熟练掌握频数等于总数乘以频率是解题的关键．
13.【答案】x≤2
【解析】解：根据题意得：2−x≥0，
解得：x≤2．
故答案为：x≤2．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
本题考查的是函数的自变量取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.【答案】24
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AO=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，
∵点E是AD的中点，
∴OE是△DAB的中位线，
∴AB=2OE=5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB= AB2−OA2= 52−32=4，
∴BD=2OB=8，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6×8=24，
故答案为：24．
由菱形的性质得AO=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，再由三角形中位线定理得AB=2OE=5，然后由勾股定理得OB=4，则BD=2OB=8，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：∵点P(2a−1,5)，点Q(a+2,m)，PQ//y轴，
∴2a−1=a+2，
∴a=3．
故答案为：3．
根据PQ//y轴可知P，Q两点的横坐标相同，列出关于a的方程，求出a的值即可．
本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上各点的横坐标相同是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=AC=12时，四边形ABCD是矩形，
∴OD=12BD=6，
∴当OD=6时，四边形ABCD是矩形．
故答案为：6．
当BD=AC=12时，平行四边形ABCD是矩形，即可求出OD=12BD=6，
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法．
17.【答案】4−2 2或2
【解析】解：连接BF，如图：
∵四边形ABCD、PBEF是正方形，AB=4，
∴B、F、D共线，CD=AB=4，
①当FD=CD=4时，BF=BD−FD=4 2−4，
∴PB= 22BF=4−2 2；
②当FD=FC时，∠FCD=∠FDC=45°，
∴∠DFC=90°，
∴FD= 22CD=2 2，
∴BF=BD−FD=4 2−2 2=2 2，
∴PB= 22BF=2；
③当CF=CD=4时，F与B重合，不符合题意，舍去，
∴这种情况不存在；
∴当△CDE为等腰三角形时，PB的长为4−2 2或2．
故答案为：4−2 2或2．
分三种情形：①当FD=CD=4时，②当FD=FC时，③当CF=CD=4时，根据等腰直角三角形的性质求出AE即可解决问题．
本题考查正方形的性质、等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质，熟练应用等腰直角三角形的斜边等于直角边的 2倍，属于中考常考题型．
18.【答案】−3
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
19.【答案】(−4,0) (−3,−3) 7
【解析】解：(1)点B关于y轴的对称点B′的坐标是(−4,0)．
故答案为：(−4,0)；
(2)点C关于原点的对称点C′的坐标是(−3,−3)；
故答案为：(3,−3)；
(3)如图，△AB′C′即为所求；
(4)△AB′C′的面积=4×5−12×2×4−12×3×5−12×1×3=7．
故答案为：7．
(1)利用轴对称变换的性质判断即可；
(2)利用中心对称变换的性质判断即可；
(3)根据要求作出三角形即可；
(4)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图=旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
20.【答案】(1)证明：∵∠C=∠D=90°，
∴△ABC与△ABD均是直角三角形，
在Rt△ABC与Rt△BAD中，
AB=BAAC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
∴AD=BC；
(2)解：∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴AD=BC，∠BAD=∠ABC，
∴AE=BE，
∵BC=4，
∴BE+CE=AE+CE=4，
∵AC=3，
∴△ACE的周长为AC+AE+CE=3+4=7．
【解析】(1)根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，即可求证；
(2)根据Rt△ABC≌Rt△BAD，可得AD=BC，∠BAD=∠ABC，从而得到AE=BE，进而得到AE+CE=4，即可求解．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
21.【答案】0.34 70≤x<80
【解析】解：(1)本次调查的作品总数为18÷0.36=50(幅)，
则c=17÷50=0.34，a=50×0.24=12，b=50×0.06=3，
其中位数为第25、26个数的平均数，
∴中位数落在70≤x<80中，
故答案为：0.34，70≤x<80；
(2)补全图形如下：
(3)600×(0.24+0.06)=180(幅)，
答：估计全校被展评作品数量是180幅．
(1)由60≤x<70频数和频率求得总数，根据频率=频数÷总数求得a、b、c的值，由中位数定义求解可得；
(2)根据(1)中所求数据补全图形即可得；
(3)总数乘以80分以上的频率即可．
本题考查读频数(率)分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及条形统计图；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22.【答案】OC 平行
【解析】(1)解：已知：如图，在四边形ABCD中，OD=OB，OA=OC，
求证：四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：OC，平行．
(2)证明：在△ABO与△CDO中，
OD=OB∠AOB=∠CODOC=OA，
∴△ABO≌△CDO(SAS)，
∴AB=CD，∠BAO=∠DCO，
∴AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(1)根据题意补全已知和求证；
(2)证明△ABO≌△CDO(SAS)得出AB=CD，AB//CD，即可得证．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵梯形的面积=(上底+下底)×高÷2，
∴y=12×(x+8)×5=52x+20(0
解得：x=4，即AE=4，
∴DE=BC−AE=8−4=4，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得CE2=DE2+CD2，
∴CE= 42+52= 41．
【解析】(1)根据梯形的面积公式代入数值即可找到y与x之间的关系式；
(2)将y=30代入函数关系式求出x，再求出DE的长，然后利用勾股定理即可求出答案．
本题考查了梯形的面积，函数关系式，函数关系式中的求值等知识点，数形结合是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，
依题意得：800x−12002x=50，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，
则2x=8，
即甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为4元；
(2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，总费用为w元，
依题意得：w=8m+4(200−m)=4m+800，
∵m≥3(200−m)，
∴m≥150，
∵k=4>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=150时，w有最小值为：4×150+800=1400元，
此时200−m=50(个)，
即购进150个甲种粽子，50个乙种粽子．
【解析】(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意：购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，总费用为w元，可得w与m的函数关系式，再根据m≥3(200−m)解答即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据题意列函数关系式，再根据m≥3(200−m)解答即可．
25.【答案】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠DAM=∠AMB，
∵AE平分∠DAM，
∴∠MAE=12∠DAM，
∴∠AMB=2∠MAE．
(2)证明：如图2所示：
过点E作EF⊥AM交AM于点F，连接EM．
∵AE平分∠DAM，DE⊥AD，DF⊥AM，
∴ED=EF，
又∵E是CD的中点，
∴ED=EC，
∴EF=EC，
在Rt△EFM和Rt△ECM中，
EF=ECEM=EM，
∴Rt△EFM≌Rt△ECM(HL)，
∴FM=MC，
同理可求AF=AD，
又∵AM=AF+FM，
∴AM=AD+MC；
(3)解：设MC=a，则FM=a，
∵AD=5，
∴AD=AF=AB=BC=5，
∴AM=AF+FM=5+a，
又∵BC=BM+MC，
∴BM=5−a，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
AM2=AB2+BM2，
∴(5+a)2=(5−a)2+52，
解得：a=54，
∴AM=5+a=5+54=254．
【解析】(1)由AD//BC，得，∠DAM=∠AMB；又因AE平分∠DAM，得∠MAE=12∠DAM，等量代换得∠AMB=2∠MAE；
(2)因AE平分∠DAM，得ED=EF，AD=AF，CD的中点，可证明Rt△EFM≌Rt△ECM，易得FM=CM；即可证明AM=AD+MC；
(3)由(2)和AD=5，在Rt△ABM中，由勾股定理可求得AM的长．
本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理等相关知识的综合运用，重点掌握判定两个三角形全等的方法，难点是作垂线，构建角平分线和两个三角形全等，以及证明不在同一条直线上的两条线段的和等于另一条线段方法是将该两条线段转换到同一条直线上．
26.【答案】解：(1)把B(−8,0)代入y=12x+b，得12×(−8)+b=0，
解得：b=4，
∴一次函数的表达式为y=12x+4，
令x=0，得y=4，
∴A(0,4)；
(2)设P(x,0)，则BP=|x+8|，
∵△ABP的面积为10，
∴12BP⋅OA=10，即12|x+8|×4=10，
解得：x=−3或−13，
∴点P的坐标为(−3,0)或(−13,0)；
(3)存在，点P的坐标为(8,0)或(−2,0)或(−3,0)或(−76,0)．
设P(x,0)，则CP=|x−3|，
在Rt△ACO中，AC= OA2+OC2= 42+32=5，
当CP=AC时，|x−3|=5，
解得：x=8或−2，
∴点P的坐标为(8,0)或(−2,0)；
当AP=AC时，如图，
∵AO⊥PC，
∴OP=OC=3，
∴P(−3,0)；
当AP=CP时，x2+42=(x−3)2，
解得：x=−76，
∴P(−76,0)；
综上所述，点P的坐标为(8,0)或(−2,0)或(−3,0)或(−76,0)．
【解析】(1)运用待定系数法可求得一次函数的表达式，令x=0即可求得点A的坐标；
(2)设P(x,0)，则BP=|x+8|，根据三角形面积建立方程求解即可得出答案；
(3)设P(x,0)，则CP=|x−3|，利用勾股定理可得AC= OA2+OC2= 42+32=5，分三种情况讨论，当CP=AC时，②当AP=AC时，当AP=CP时，由等腰三角形的性质可求解．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象与性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
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