2021-2022学年湖南省永州市新田县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省永州市新田县七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 计算的结果正确地是

A.  B.  C.  D.

2. 方程组的解是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列运算正确地是

A.  B.  C.  D.

5. 如果，，则

A.  B.  C.  D.

6. 下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是

A.  B.
C.  D.

7. 某水果店需要把个一样的苹果分装到一些同样的水果篮里，要求每个水果篮要有个或者个苹果，请问有种不同的分法．

A.  B.  C.  D.

8. 规定两正数，之间的一种运算，记作：，如果，那么例如，则那么

A.  B.  C.  D.

9. 已知多项式是完全平方式，则的值为

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 已知方程组，则的值为

A.  B.  C.  D. 不确定

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11. 计算______．
12. 计算______．
13. 多项式因式分解时应提取的公因式为______．
14. 计算______．
15. 计算：______．
16. 我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺设绳索长尺，竿长尺，则可列方程组为______ ．
17. 因式分解______．
18. 如果关于、的二元一次方程组的解和的绝对值相等，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 用指定的方法解下列方程组：
    代入法；
    加减法．
20. 计算：
    ；
    ．
21. 把下列多项式因式分解：
    ；
    ．
22. 化简求值：，其中．
23. 某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过含时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家月份用水，缴水费元；月份用水，缴水费元．
    每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？
    小英家月份用水，她家应缴水费多少元？
24. 先阅读材料：
    分解因式：．
    解：
    
    
    
    以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：．
25. 已知，，求的值；
    已知，求的值．
26. 在当今“互联网”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式因式分解的结果为当时，，，，此时可以得到数字密码．
    根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成数字密码：______．
    将关于的多项式分解因式后，利用题目中所示的方法，当时可以得到数字密码，求，的值．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：

．
故选：．
利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对单项式乘单项式的法则的掌握．
 

2.【答案】

【解析】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为．
故选：．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

3.【答案】

【解析】解：原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.原式左右两边不相等，故本选项不符合题意；
D.原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
 

4.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】

【解析】解：，，
，
故选：．
利用同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：用完全平方公式计算，故A选项不符合题意；
用完全平方公式计算，故B选项不符合题意；
用多项式乘多项式计算，故C选项不符合题意；
用平方差公式计算，故D选项符合题意；
故选：．
根据完全平方公式和平方差公式判断即可．
本题主要考查完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：设装个苹果的水果篮的个数为个，装个苹果的水果篮的个数为个，
，
当时，，满足条件，
当时，，满足条件，
当时，，满足条件，
当时，，满足条件，
有种不同的分法，
故选：．
将装个苹果和个苹果的水果篮的个数分别设出来，然后列出所有情况即可求解．
本题考查二元一次方程的运用，解题的关键是根据等量关系列出方程，列出所有的情况．
 

8.【答案】

【解析】解：，
，
故选：．
根据新定义和有理数的乘方即可得出答案．
本题考查了有理数的乘方，掌握表示个相乘是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：多项式是完全平方式，
，
解得：，
即或．
故选：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，
，得，
，得，
故选：．
得出，得出，再得出选项即可．
本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
利用幂的乘方的法则进行求解即可．
本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对幂的乘方的法则的掌握．
 

12.【答案】

【解析】解：
．
故答案为：．
利用单项式乘多项式法则计算即可得到结果．
此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式运算法则是解本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：原式．
故答案为：
根据公因式的确定方法即可得出答案．
本题考查了因式分解提公因式法，掌握当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
根据平方差公式计算即可．
本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】解：设绳索长尺，竿长尺，
依题意得：．
故答案为：．
设绳索长尺，竿长尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

18.【答案】或

【解析】解：根据题意得：或，
若，即时，方程组两方程相减得：，即；
若，即，两方程相加得：，即，
则或．
故答案为：或．
根据绝对值相等的两数相等或互为相反数得到或，代入方程组即可求出的值．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
 

19.【答案】解：把代入得：，
解得：，
把代入，得：，
则原方程组的解是；
得：，
得：，
得：，
把代入得：，
解得：，
则原方程组的解是．

【解析】方程组利用代入消元法求出解即可；
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

20.【答案】解：

；


．

【解析】根据多项式乘单项式计算方法计算即可；
根据完全平方公式计算即可．
本题主要考查单项式乘多项式及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及单项式乘多项式是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式；
原式．

【解析】原式利用平方差公式分解即可；
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

22.【答案】解：原式


当时，
原式．

【解析】先利用整式的乘法计算化简，再进一步合并后代入求得答案即可．
此题考查整式的化简求值，掌握多项式乘多项式的计算方法是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：设每吨水的政府补贴优惠价是元，每吨水的市场调节价是元．
依题意得：，
解得：．
答：每吨水的政府补贴优惠价是元，每吨水的市场调节价是元．



元．
答：小英家月份应缴水费元．

【解析】利用总价单价数量，结合“小英家月份用水，缴水费元；月份用水，缴水费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用小英家月份应缴水费每吨水的政府补贴优惠价每吨水的市场调节价超过吨的部分，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

24.【答案】解：


．

【解析】把第一项和第三项分为一组，其余两项分为一组，然后再继续分解因式，即可解答．
本题考查了因式分解分组分解法，把多项式进行合理的分组是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，
原式；
，
原式．

【解析】原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值；
原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
 

26.【答案】或或或或或

【解析】解：，
当，时，，，
可得到数字密码或或或或或，
故答案为：或或或或或；
因为，所以，，
所以，
，
解得，
即，．
由题干方法对其分解因式代入计算即可；
应用逆向思维，根据密码数写出原式的因式分解，再进行整式乘法运算，从而列出、的方程进行解答便可．
本题考查了因式分解的应用及自定义题型的做法，二问考查了对题干的理解及逆向思维的运用．