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2022-2023学年湖南省永州市零陵区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省永州市零陵区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省永州市零陵区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列文字中是中心对称图形的是( )
A. 端 B. 午 C. 节 D. 日
2. 如图是某校门口的电动伸缩门，电动伸缩门利用了性质( )
A. 四边形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 四边形的稳定性 D. 三角形的不稳定性
3. 若正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减少，则一次函数y=2x−k的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC边上的中点，∠ADB=120°，则∠C=( )
A. 30°
B. 60°
C. 25°
D. 45°
5. 如图，小明与小亮在玩“五子棋”，小明是黑子，他把第四子下在棋盘坐标的(1,−2)上，则小亮下的白色第三子的棋盘坐标是( )
A. (2,6) B. (6,−2) C. (−6,−2) D. (6,2)
6. 勾股定理现约有500多种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，在中国周朝的商定提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，古埃及人用“结绳法”在金字塔等建筑的拐角处作出直角；“普林顿322”的古巴比伦泥板上记载了很多勾股数；公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了勾股定理.下面图例中，不能证明勾股定理的是( )
A. B. C. D.
7. 下列关系中，属于成正比例函数关系的是( )
A. 正方形的面积与边长 B. 三角形的周长与边长
C. 圆的面积与它的半径 D. 速度一定时，路程与时间
8. 如图，正方形ABCD的边长为4，建立平面直角坐标系后，表示点D的坐标正确的是( )
A. (4,0) B. (2,−2) C. (0,4) D. (−2,−4)
9. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，∠BAD=60°，则阴影部分的面积为( )
A. 6 3 B. 6 C. 9 D. 9 3
10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点M从B点以每秒4个单位的速度沿B→C→D的方向移动到点D，经过x秒后，△ADM的面积为y，当△ADM的面积y为3时，则x的值为( )
A. 52
B. 4
C. 138
D. 132
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，将△ABC向右平移4个单位，得到△DEF，连接AD，BE，CF，则图中有______ 个平行四边形．
12. 如图，∠ABD=90°，四边形ABCD是平行四边形，依据以上条件可以判定△ABD≌△CDB，这种判定三角形全等的方法，可以简写为“______ ”(答案不唯一)．
13. 若点A的坐标为(−1−b2,1+a2)，则点A在第______ 象限．
14. 如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若BC=12，则△DEB的面积为______ ．
15. 小胜参加2023年的高考，到达考点时发现没有带身份证，求助交警后，交警驱车载小胜迅速回到离考点2千米的家取身份证，并立即返回考场，小胜离考点行驶路程y(米)与时间x(分钟)之间的变化关系如图所示，根据图象中的数据，写出y与x(0≤x≤6)之间的函数表达式______ ．
16. 如图，直角边长为单位1的等腰Rt△AOB的直角边OA与x轴重合，以斜边OB的长度为半径画弧，交x轴于点A1，以OA1为直角边的Rt△A1OB1中∠OA1B1=90°，另一直角边A1B1为单位1；以斜边OB1的长度画弧交x轴于点A2，以OA2为直角边的Rt△A2OB2中∠OA2B2=90°，另一直角边A2B2为单位1；以斜边OB2的长度画弧交x轴于点A3，以OA3为直角边的Rt△A3OB3中∠OA3B3=90°，另一直角边A3B3为单位1，依此类推，则Bn的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
如图，在公路与铁路的夹角内部区域，需要建一个货运站点P，使货运站点P到公路和铁路的距离相等，且到公交A站与地铁B站的距离也相等，请用尺规作图在图中标出货运站点P的位置.(不写作法，保留作图痕迹)
18. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，E、F分别是边AB、AC上的点，且EF//BC，DF//AB，CE平分∠ACB；求证：BD=CF．
19. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中C的坐标为(1,2)．
(1)点A的坐标是______ ，点B的坐标是______
(2)将△ABC绕A点顺时针旋转90°，得到Δ A′B′C′，再将Δ A′B′C′向上平移6个单位得到Δ A″B″C″请在网格直角坐标中画出Δ A″B″C”．
(3)求△ABC的面积．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为△ABC内一点，连接AD，EH⊥AD，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，BC=4，AD=6，求：四边形EFGH的面积．
21. (本小题8.0分)
小唐同学去年暑假随爸爸去成都大熊猫繁殖基地看熊猫，发现整个基地的燃猫都未出熊猫内室，当天的温度有33度，他了解到熊猫的外出活动与室外温度有关，因此通过一年(以365天计算)的观察，对熊猫“花花”外出活动时的温度(以0°C至40°C为监测温度区间)进行了调查，并制作了如图所示的频数分布表与直方图：
温度区间温度区间°
频数(天数)
频率
0≤x<8
5
173
8≤x<16
45
973
16≤x<24
a
3573
24≤x<32
135
b
32≤x<40
5
173
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)在频数分布表中，求出a= ______ ，b= ______ ：并补全频数分布直方图．
(2)熊猫最喜欢外出活动时的温度区间为______ ；
(3)成都的全年每个月的平均温度如下表：
一月
二月
三月
四月
五月
六月
3℃～10°C
5℃～12°C
9℃～16°C
13°C～22°C
17°C～20°C
16℃～24℃
七月
八月
九月
十月一
十一月
十二月
22℃～30°C
23℃−30°C
26℃～32℃
13°C～19°C
4℃～12°C
1℃～10°C
你认为哪个月看熊猫最合适，为什么？
22. (本小题9.0分)
2023年“水州陆港杯”中国龙舟公开赛(湖南一水州站)在冷水滩潇湘平湖举行，为确保此次龙舟竞赛水域安全，特别是谨防青少年在观赛时溺水，某单位在一处观赛台后方小山坡上竖立了“防溺水”宣传牌.小刚为了测得宣传牌的高度，他站在山坡底端C处，测得宣传牌顶端A的仰角∠DCA=45°，然后小刚从山坡底端C沿着倾斜角为30°的斜坡走了20米，到达E处平台，与宣传牌底端B水平，此时测得宣传牌顶端A的仰角∠BEA=60°，求“防溺水”宣传牌的高度．
23. (本小题9.0分)
暑期将至，阅读和运动成了孩子们假期的主题生活.某乒乓球馆面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下：
方案一：不购买学生暑期会员卡，每次打球费用按九折优惠；
方案二：购买一张学生暑期会员卡，每次打球费用按七折优惠．
设某学生暑期打球x(次)，按照方案一，所需费用为y1(元)；按照方案二，所需费用为y2(元)，其函数图象如图所示．
(1)分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)今年暑假，八年级学生王某计划每天练1次乒乓球，练一个月(按30天计算)，结合函数图象应选择哪种方案更划算？并请说明理由．
24. (本小题10.0分)
定义共弦、共弦角如下：
共弦：将正多边形绕某顶点顺时针旋转60°得到的新正多边形与原正多边形相交于一点O，连接旋转中心与交点O，把这条线段叫做正多边形的共弦：图1以正四边形为例，图2以正五边形为例，线段OA即为正四(五)边形的共弦.共弦角：共弦与离原正多边形最近的边组成的角叫做共弦角：如图1，∠OAB是共弦角，因此0°<∠OAB<90°．
(1)如图1，四边形ABCD是正方形.求证：∠OAB=∠OAD′，并求出∠OAB的值；
(2)依照(1)的方法，有人求出了以下正多边形的共弦角：
正五边形：12(108°−60°)=24°
正六边形：12(120°−60°)=30°
正七边形：12(57×180°−60°)
请你根据以上结论，猜想任意正n边形的共弦角的度数(用含n的代数式表示)？并写出这样猜想的理由．
(3)请审视以上数学问题、问题解决以及猜想过程，提出至少两个与之有关的、你认为需要进一步探究的数学问题．
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=12x−1与x轴相交于点A，将直线AC绕点A逆时针旋转90°得到直线AB：y=−2x+b，直线AB与y轴相交于点B，在直线AC上截取AC，使AC=AB，过B、C两点的直线BC交x轴于点D．
(1)点A的坐标为______ ，点C的坐标为______ ；
(2)若点E是线段BC上的动点，△ABE的面积为5时，求点E的坐标；
(3)在符合以上条件的A、B、E三点的基础上，平面内是否存在一点F，使得以点A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点F的可能坐标(至少写两个)；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、端不是中心对称图形，不符合题意；
B、午不是中心对称图形，不符合题意；
C、节不是中心对称图形，不符合题意；
D、日是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，求解判断即可．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
2.【答案】A
【解析】解：电动伸缩门能伸缩的几何原理是四边形具有不稳定性．
故选：A．
四边形具有不稳定性，易变形，电动伸缩们是利用了这一特性．
本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，四边形的不稳定性运用比较广泛，伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性．
3.【答案】A
【解析】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
∵一次函数y=2x−k的一次项系数大于0，常数项大于0，
∴一次函数y=2x−k的图象经过第一、三象限，且与y轴的正半轴相交．
故选：A．
依据题意，根据自正比例函数的性质得到k<0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=2x−k的图象经过第一、二、三象限．
本题主要考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,b)．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠ADB是△BDC的一个外角，∠ADB=120°，
∴∠ADC=∠DBC+∠C=120°，
∵∠ABC=90°，点D是AC边上的中点，
∴BD=CD=12AC，
∴∠DBC=∠C=60°，
故选：B．
先根据三角形的外角性质可得∠DBC+∠C=120°，然后再利用直角三角形斜边上的中线性质可得BD=CD，从而可得∠DBC=∠C=60°，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：如图所示：小亮下的白色第三子的棋盘坐标是：(6,2)．
故选：D．
根据第四子下在棋盘坐标的(1,−2)建立坐标系，进而可得白色第三子的棋盘坐标．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、根据“勾三股四弦五”可证明勾股定理；
B、根据大正方形的面积等于边长的平方或等于4个直角三角形的面积加小正方形的面积可证明勾股定理；
C、根据已知图形不能证明勾股定理；
D、根据大正方形的面积等于边长的平方或等于4个直角三角形的面积加小正方形的面积可证明勾股定理，
故选项C符合题意，
故选：C．
根据大正方形的面积等于边长的平方或等于4个直角三角形的面积加小正方形的面积可证明勾股定理判断B、D；根据“勾三股四弦五”判断A；根据已知图形C不能证明勾股定理；
本题考查了勾股定理的证明，用不同的方法表示出大正方形的面积是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：正方体的面积是边长的平方，即：S=a2，因此A选项不符合题意；
若是等边三角形，则三角形的周长等于边长的3倍，即：C=3a，因此B选项不符合题意；
圆的面积S=πr2，S是r的二次函数，因此C选项不符合题意；
路程=速度×时间，因此选项D符合题意；
故选：D．
分别得出各个选项中的两个变量的函数关系式，进而确定是正比例函数．
此题考查正比例函数的定义，理解相应函数的意义和相应的关系式是正确判断的前提．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∴第一个图形中点D(4,0)，第二个图形中点D(2,2)，第三个图形中点D(4,4)，第四个图形中点D(2,4)，
故选：A．
根据正方形的性质进行逐一判断即可．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，熟练运用正方形的性质是本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=6，∠DAC=12∠BAD=30°，AC⊥BD，
∴OD=12AD=3，OA= 32AD=3 3，
∴BD=2OD=6，AC=2OA=6 3，
观察图形得，阴影部分面积等于菱形面积的一半，
∴S菱形=12AC⋅BD=12×6×6 3=18 3，
∴阴影部分面积=12×18 3=9 3．
故选：D．
根据菱形的性质及解直角三角形求出BD=6，AC=6 3，观察图形，阴影部分面积是菱形面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出阴影部分面积．
本题考查菱形的性质，看出阴影部分面积等于菱形面积的一半是解题的突破口．
10.【答案】C
【解析】解：当M在BC边上时，△ADM的面积=4×4÷2=8，
∵△ADM的面积y为3，
∴M点在CD边上，
∴y=4×(4+4−4x)÷2，
3=16−8x，
x=138．
答：x的值为138．
故选：C．
当M在BC边上移动时，△ADM的底边是AD=4，高是4，面积等于4×4÷2=8，当M在CD边上移动时△ADM的底边是AD=4，高是AM=4+4−4x=8−4x，面积=4×(8−4x)÷2，所以当△ADM的面积为3时，x在CD边上，列方程即可．
本题考查的是三角形的面积公式．解题的关键是确定M点所在的位置．
11.【答案】3
【解析】解：∵将△ABC向右平移4个单位，得到△DEF，
∴AD//BE，AD=BE=4；AD//CF，AD=CF=4；BE//CF，BE=CF=4，
∴四边形ABED、四边形ACFD、四边形BCFE都是平行四边形，
∴图中有三个平行四边形，
故答案为：3．
由平移得AD//BE，AD=BE；AD//CF，AD=CF；BE//CF，BE=CF，则四边形ABED、四边形ACFD、四边形BCFE都是平行四边形，于是得到问题的答案．
此题重点考查平移的性质、平行四边形的定义等知识，正确地找出图中的四边形是解题的关键．
12.【答案】SAS
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//DE，
∴∠ABD=∠CDB=90°，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CDB(SAS)．
故答案为：SAS．
根据平行四边形的性质可用SAS判定△ABD≌△CDB即可．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
13.【答案】二
【解析】解：∵点A的坐标为(−1−b2,1+a2)，
∴−1−b2<0，1+a2>0，
∴点A在第二象限，
故答案为：二．
根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征(−,+)，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
14.【答案】6 3
【解析】解：∵∠A=90°，∠C=30°，BC=12，
∴AB=12BC=6，∠ABC=90°−∠C=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE=12∠ABC=30°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∴∠A=∠DEB=90°，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(AAS)，
∴AB=BE=6，
在Rt△BDE中，∠DBE=30°，
∴DE=BE 3=6 3=2 3，
∴△DEB的面积=12BE⋅DE=12×6×2 3=6 3，
故答案为：6 3．
先在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AB=6，∠ABC=60°，再利用角平分线的定义可得∠ABD=∠DBE=30°，然后根据垂直定义可得∠A=∠DEB=90°，从而利用AAS可证△ABD≌△EBD，进而可得AB=BE=6，最后在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DE的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】y=10003x
【解析】解：当0≤x≤6时，函数图象过原点，为正比例函数．设y与x的函数表达式为y=kx.将(6,2000)代入，
得6k=2000，解得10003．
∴当0≤x≤6时，y=10003x．
故答案为：y=10003x．
当0≤x≤6时，函数图象过原点，为正比例函数．设y与x的函数表达式为y=kx.将(6,2000)代入，得到关于k的一元一次方程，解得k值，代回y=kx即可．
本题考查一次函数的应用，根据函数图象求函数解析式是初中学生必须具备的能力．
16.【答案】( n+1,1)
【解析】解：由题意知，OA1=OB，OA2=OB1，OA3=OB2，OA4=OB3，……
∵等腰Rt△AOB的直角边OA=AB=1，
∴B(1,1)，OB= OA2+AB2= 12+12= 2，
∴OA1= 2，
∴B1( 2,1)，
∵在Rt△OA1B1中，OB1= (OA1)2+(A1B1)2= ( 2)2+12= 3，
∴OA2= 3，
∴B2( 3,1)，
∵在Rt△OA2B2中，OB2= (OA2)2+(A2B2)2= ( 3)2+12= 4，
∴OA3=2
∴B3(2,1)，
……
∴Bn( n+1,1)
由题意知，OA1=OB，OA2=OB1，OA3=OB2，OA4=OB3，……，在等腰Rt△AOB中，由勾股定理求得OB= 2，则OA1= 2，进而得出点B1的坐标，同法依次求得B2、B3的坐标，最后根据规律写出Bn的坐标即可．
本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标规律，涉及等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，根据勾股定理依次求出OA1，OA2，OA2，得出B1、B2、B3的坐标是解答本题的关键．
17.【答案】解：如图：点P即为所求．
【解析】根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握角平分线的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
18.【答案】证明：∵EF//BC，DF//AB，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴EF=BD，
∵EF//BC，
∴∠FEC=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECF=∠BCE，
∴∠FEC=∠ECF，
∴EF=CF，
∴BD=CF．
【解析】根据平行四边形的性质得到四边形BDFE是平行四边形，求得EF=BD，根据平行线的性质得到∠FEC=∠ECB，根据角平分线的定义得到∠ECF=∠BCE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19.【答案】(2,−1) (4,3)
【解析】解：(1)由图形可知，点A(2,−1)，B(4,3)，
故答案为：(2,−1)，(4,3)；
(2)如图，△A′′B′′C′′即为所求；
(3)△ABC的面积为3×4−12×1×3−12×2×4−12×1×3=5．
(1)根据点A、B的位置可得坐标；
(2)根据旋转和平移的性质作出点A′′、B′′、C′′即可；
(3)根据△ABC所在的矩形面积减去周围三个三角形面积．
本题主要考查了作图−平移变换，旋转变换，三角形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
20.【答案】解：∵E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH是△ABC的中位线，
∴EH//BC，EH=12BC=2．
同理EF//AD//GH，EF=HG=12AD=3，
∴EH//FG，EF//HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EH⊥AD，
∴EH⊥EF，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH=12BC=2，EF=12AD=3，
∴四边形EFGH的面积为：EF⋅EH=2×3=6．
答：四边形EFGH的面积为6．
【解析】利用三角形中位线定理和矩形的判定定理推知四边形EFGH是矩形，然后利用矩形的性质作答．
本题考查中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定，关键是应用三角形中位线定理来解决问题．
21.【答案】175 2773 16≤x<24
【解析】解：(1)a=365−5−45−135−5=175，b=135365=2773，
补全直方图：
故答案为：175，2773；
(2)根据频数分布表可得16≤x<24，频数最大，则熊猫最喜欢外出活动时的温度区间为16≤x<24，
故答案为：16≤x<24；
(3)六月份去成都看熊猫“花花”最合适，
因为六月份的平均气温为16≤x<24，最接近熊猫“花花”最喜外出活动的温度区间16≤x<24．
(1)根据365减去其他频数，求得a，根据频数除以总数求得b，进而补全频数分布直方图；
(2)观察表格可得频数较大的温度区间为熊猫最喜欢外出活动时的温度区间；
(3)根据(2)的结论即可求解．
本题考查了频数分布直方图，频数分布表，从统计图表中获取信息是解题的关键．
22.【答案】解：延长AB交CD于点F，
由题意得：AF⊥CF，ED⊥CD，BF=DE，BE=DF，
在Rt△EDC中，CE=20米，∠DCE=30°，
∴DE=12CE=10(米)，CD= 3DE=10 3(米)，
∴BF=DE=10米，
设BE=DF=x米，
∴CF=DF+CD=(x+10 3)米，
在Rt△ABE中，∠AEB=60°，
∴AB=BE⋅tan60°= 3x(米)，
∴AF=AB+BF=( 3x+10)米，
在Rt△AFC中，∠ACF=45°，
∴AF=CF⋅tan45°=(x+10 3)米，
∴ 3x+10=x+10 3，
解得：x=10，
∴AB= 3x=10 3(米)，
∴“防溺水”宣传牌的高度为10 3米．
【解析】延长AB交CD于点F，根据题意可得：AF⊥CF，ED⊥CD，BF=DE，BE=DF，然后在Rt△EDC中，利用含30度角的直角三角形性质求出DE和CD的长，再设BE=DF=x米，则CF=(x+10 3)米，最后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而求出AF的长，再在Rt△AFC中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由图得：y1经过(2,84)，y2经过(2,108)，(0,40)，设y1=k1x，y2=k2x+b，
∴k1=842=42，
∴108=2k2+b40=b，
解得：k=34b=40，
∴y1，y2函数表达式为y1=42x，y2=34x+40；
(2)由题音得，联立方程得：
y=42xy=34x+40，
解得：x=5，
∴y1，y2的交点横坐标为5，
∴练习5次时，方案一与方案二花费相同．
当练习次数大于5次时，由函数图象可知y2
(2)联立方程可得练习5次时，方案一与方案二花费相同，练习次数大于5次时，由函数图象可知y2
24.【答案】解：(1)由题意可知：四边形ABCD是正方形，正方形A′B′C′D′是正方形ABCD绕A点顺时针旋转60°得到，
∴∠d=∠d′=90°，AD=AD′，
在正方形ABCD中，AB=AB′，
∴Rt△ABO≌△RtAD′O(HL)，
∴∠BAO=∠D′AO，
∴∠OAB=12∠D′AB=12(∠DAB−∠D′AB)=12(90°−60°)=15°，
∴∠OAB的度数为：15°；
(2)猜想：任意正n边形的共弦角的度数12[(n−2)×180°n−60°]或60°−180°n，
理由如下：
正四边形的共弦角的度数：12[(4−2)×180°4−60°]，
正五边形的共弦角的度数：12[(5−2)×180°5−60°]，
正六边形的共弦角的度数：12[(6−2)×180°6−60°]，
正七边形的共弦角的度数：12[(7−2)×180°7−60°]，
以此类推，
正n边形的共弦角的度数12[(n−2)×180°n−60°]或60°−180°n；
(3)答案不唯一，对以上问题的科学性，问题解决的严谨性及猜想的合理性等质疑，可提出以下问题：
1.“有人证明了正五边形的共弦角是24°，这一结论是否正确，请予证明？
2.共弦角∠OAB的取值范围是0°<∠OAB<90°，为什么？
3.正三角形也是正多边形，他是否有共弦角？
【解析】(1)根据旋转的性质得出，证明Rt△ABO≌Rt△AD′O(HL)可得∠BAO=∠D′AO，进而即可求解；
(2)猜想：任意正n边形的共弦角的度数，根据正四边形、正五边形、正六边形……得共弦角的度数，找到规律，即可求解；
(3)答案不唯一，对以上问题的科学性，问题解决的严谨性及猜想的合理性等质疑，提出问题即可求解．
本题考查了正方形的性质，正多边形的内角和定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握以上知识．
25.【答案】(2,0) (6,2)
【解析】解：(1)当y=0时，0=12x−1，
解得x=2，
∴A(2,0)，
∴0=−2×2+b，
解得b=4，
∴B(0,4)，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠BAC=90°，
∴∠OBA+∠OAB=∠OAB+∠HAC=90°，
∴∠OBA=∠HAC，
又∵∠AOB=∠CHA=90°，AB=AC，
∴△OAB≌△HCA，
∴CH=OA=2，AH=OB=4，
∴C(6,2)，
故答案为：(2,0)，(6,2)；
(2)过点E作EF⊥y轴于F，
设直线BC的解析式为y=kx+a，
∴a=46k+a=2，
解得a=4k=−13，
∴直线BC的解析式为y=−13x+4，
设E(m,−13m+4)，
∵△AOB的面积+△ABE的面积=△BEF的面积+梯形AOFE的面积，
∴12×2×4+5=12[4−(−13m+4)]m+12(m+2)(−13m+4)，
解得m=3，
∴E点的坐标为(3,3)；
(3)存在，
∵A(2,0)、B(0,4)、E(3,3)，
若使得以点A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情况：
①以AB为对角线时，
则A点向上平移1个单位，向左平移3个单位得到F点坐标，
即F(−1,1)；
②以AE为对角线时，
则A点向下平移1个单位，向右平移3个单位得到F点坐标，
即F(5,−1)；
③以BE为对角线时，
则B点向上平移3个单位，向右平移1个单位得到F点坐标，
即F(1,7)；
综上所述，符合条件的F点的坐标为(−1,1)或(5,−1)或(1,7)．
(1)根据AC的解析式求出A点的坐标，然后求出B点的坐标，过点C作CH⊥x轴于点H，证△OAB≌△HCA，根据CH=OA，AH=OB，求出C点的坐标即可；
(2)过点E作EF⊥y轴于F，根据△AOB的面积+△ABE的面积=△BEF的面积+梯形AOFE的面积，计算得出结论即可；
(3)分三种情况根据平移的性质分别求出F点的坐标即可．
本题主要考查一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积等知识是解题的关键．
2022-2023学年湖南省永州市零陵区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列文字中是中心对称图形的是( )
A. 端 B. 午 C. 节 D. 日
2. 如图是某校门口的电动伸缩门，电动伸缩门利用了性质( )
A. 四边形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 四边形的稳定性 D. 三角形的不稳定性
3. 若正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减少，则一次函数y=2x−k的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC边上的中点，∠ADB=120°，则∠C=( )
A. 30°
B. 60°
C. 25°
D. 45°
5. 如图，小明与小亮在玩“五子棋”，小明是黑子，他把第四子下在棋盘坐标的(1,−2)上，则小亮下的白色第三子的棋盘坐标是( )
A. (2,6) B. (6,−2) C. (−6,−2) D. (6,2)
6. 勾股定理现约有500多种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，在中国周朝的商定提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，古埃及人用“结绳法”在金字塔等建筑的拐角处作出直角；“普林顿322”的古巴比伦泥板上记载了很多勾股数；公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了勾股定理.下面图例中，不能证明勾股定理的是( )
A. B. C. D.
7. 下列关系中，属于成正比例函数关系的是( )
A. 正方形的面积与边长 B. 三角形的周长与边长
C. 圆的面积与它的半径 D. 速度一定时，路程与时间
8. 如图，正方形ABCD的边长为4，建立平面直角坐标系后，表示点D的坐标正确的是( )
A. (4,0) B. (2,−2) C. (0,4) D. (−2,−4)
9. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，∠BAD=60°，则阴影部分的面积为( )
A. 6 3 B. 6 C. 9 D. 9 3
10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点M从B点以每秒4个单位的速度沿B→C→D的方向移动到点D，经过x秒后，△ADM的面积为y，当△ADM的面积y为3时，则x的值为( )
A. 52
B. 4
C. 138
D. 132
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，将△ABC向右平移4个单位，得到△DEF，连接AD，BE，CF，则图中有______ 个平行四边形．
12. 如图，∠ABD=90°，四边形ABCD是平行四边形，依据以上条件可以判定△ABD≌△CDB，这种判定三角形全等的方法，可以简写为“______ ”(答案不唯一)．
13. 若点A的坐标为(−1−b2,1+a2)，则点A在第______ 象限．
14. 如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若BC=12，则△DEB的面积为______ ．
15. 小胜参加2023年的高考，到达考点时发现没有带身份证，求助交警后，交警驱车载小胜迅速回到离考点2千米的家取身份证，并立即返回考场，小胜离考点行驶路程y(米)与时间x(分钟)之间的变化关系如图所示，根据图象中的数据，写出y与x(0≤x≤6)之间的函数表达式______ ．
16. 如图，直角边长为单位1的等腰Rt△AOB的直角边OA与x轴重合，以斜边OB的长度为半径画弧，交x轴于点A1，以OA1为直角边的Rt△A1OB1中∠OA1B1=90°，另一直角边A1B1为单位1；以斜边OB1的长度画弧交x轴于点A2，以OA2为直角边的Rt△A2OB2中∠OA2B2=90°，另一直角边A2B2为单位1；以斜边OB2的长度画弧交x轴于点A3，以OA3为直角边的Rt△A3OB3中∠OA3B3=90°，另一直角边A3B3为单位1，依此类推，则Bn的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
如图，在公路与铁路的夹角内部区域，需要建一个货运站点P，使货运站点P到公路和铁路的距离相等，且到公交A站与地铁B站的距离也相等，请用尺规作图在图中标出货运站点P的位置.(不写作法，保留作图痕迹)
18. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，E、F分别是边AB、AC上的点，且EF//BC，DF//AB，CE平分∠ACB；求证：BD=CF．
19. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中C的坐标为(1,2)．
(1)点A的坐标是______ ，点B的坐标是______
(2)将△ABC绕A点顺时针旋转90°，得到Δ A′B′C′，再将Δ A′B′C′向上平移6个单位得到Δ A″B″C″请在网格直角坐标中画出Δ A″B″C”．
(3)求△ABC的面积．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为△ABC内一点，连接AD，EH⊥AD，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，BC=4，AD=6，求：四边形EFGH的面积．
21. (本小题8.0分)
小唐同学去年暑假随爸爸去成都大熊猫繁殖基地看熊猫，发现整个基地的燃猫都未出熊猫内室，当天的温度有33度，他了解到熊猫的外出活动与室外温度有关，因此通过一年(以365天计算)的观察，对熊猫“花花”外出活动时的温度(以0°C至40°C为监测温度区间)进行了调查，并制作了如图所示的频数分布表与直方图：
温度区间温度区间°
频数(天数)
频率
0≤x<8
5
173
8≤x<16
45
973
16≤x<24
a
3573
24≤x<32
135
b
32≤x<40
5
173
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)在频数分布表中，求出a= ______ ，b= ______ ：并补全频数分布直方图．
(2)熊猫最喜欢外出活动时的温度区间为______ ；
(3)成都的全年每个月的平均温度如下表：
一月
二月
三月
四月
五月
六月
3℃～10°C
5℃～12°C
9℃～16°C
13°C～22°C
17°C～20°C
16℃～24℃
七月
八月
九月
十月一
十一月
十二月
22℃～30°C
23℃−30°C
26℃～32℃
13°C～19°C
4℃～12°C
1℃～10°C
你认为哪个月看熊猫最合适，为什么？
22. (本小题9.0分)
2023年“水州陆港杯”中国龙舟公开赛(湖南一水州站)在冷水滩潇湘平湖举行，为确保此次龙舟竞赛水域安全，特别是谨防青少年在观赛时溺水，某单位在一处观赛台后方小山坡上竖立了“防溺水”宣传牌.小刚为了测得宣传牌的高度，他站在山坡底端C处，测得宣传牌顶端A的仰角∠DCA=45°，然后小刚从山坡底端C沿着倾斜角为30°的斜坡走了20米，到达E处平台，与宣传牌底端B水平，此时测得宣传牌顶端A的仰角∠BEA=60°，求“防溺水”宣传牌的高度．
23. (本小题9.0分)
暑期将至，阅读和运动成了孩子们假期的主题生活.某乒乓球馆面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下：
方案一：不购买学生暑期会员卡，每次打球费用按九折优惠；
方案二：购买一张学生暑期会员卡，每次打球费用按七折优惠．
设某学生暑期打球x(次)，按照方案一，所需费用为y1(元)；按照方案二，所需费用为y2(元)，其函数图象如图所示．
(1)分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)今年暑假，八年级学生王某计划每天练1次乒乓球，练一个月(按30天计算)，结合函数图象应选择哪种方案更划算？并请说明理由．
24. (本小题10.0分)
定义共弦、共弦角如下：
共弦：将正多边形绕某顶点顺时针旋转60°得到的新正多边形与原正多边形相交于一点O，连接旋转中心与交点O，把这条线段叫做正多边形的共弦：图1以正四边形为例，图2以正五边形为例，线段OA即为正四(五)边形的共弦.共弦角：共弦与离原正多边形最近的边组成的角叫做共弦角：如图1，∠OAB是共弦角，因此0°<∠OAB<90°．
(1)如图1，四边形ABCD是正方形.求证：∠OAB=∠OAD′，并求出∠OAB的值；
(2)依照(1)的方法，有人求出了以下正多边形的共弦角：
正五边形：12(108°−60°)=24°
正六边形：12(120°−60°)=30°
正七边形：12(57×180°−60°)
请你根据以上结论，猜想任意正n边形的共弦角的度数(用含n的代数式表示)？并写出这样猜想的理由．
(3)请审视以上数学问题、问题解决以及猜想过程，提出至少两个与之有关的、你认为需要进一步探究的数学问题．
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=12x−1与x轴相交于点A，将直线AC绕点A逆时针旋转90°得到直线AB：y=−2x+b，直线AB与y轴相交于点B，在直线AC上截取AC，使AC=AB，过B、C两点的直线BC交x轴于点D．
(1)点A的坐标为______ ，点C的坐标为______ ；
(2)若点E是线段BC上的动点，△ABE的面积为5时，求点E的坐标；
(3)在符合以上条件的A、B、E三点的基础上，平面内是否存在一点F，使得以点A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点F的可能坐标(至少写两个)；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、端不是中心对称图形，不符合题意；
B、午不是中心对称图形，不符合题意；
C、节不是中心对称图形，不符合题意；
D、日是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，求解判断即可．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
2.【答案】A
【解析】解：电动伸缩门能伸缩的几何原理是四边形具有不稳定性．
故选：A．
四边形具有不稳定性，易变形，电动伸缩们是利用了这一特性．
本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，四边形的不稳定性运用比较广泛，伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性．
3.【答案】A
【解析】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
∵一次函数y=2x−k的一次项系数大于0，常数项大于0，
∴一次函数y=2x−k的图象经过第一、三象限，且与y轴的正半轴相交．
故选：A．
依据题意，根据自正比例函数的性质得到k<0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=2x−k的图象经过第一、二、三象限．
本题主要考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,b)．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠ADB是△BDC的一个外角，∠ADB=120°，
∴∠ADC=∠DBC+∠C=120°，
∵∠ABC=90°，点D是AC边上的中点，
∴BD=CD=12AC，
∴∠DBC=∠C=60°，
故选：B．
先根据三角形的外角性质可得∠DBC+∠C=120°，然后再利用直角三角形斜边上的中线性质可得BD=CD，从而可得∠DBC=∠C=60°，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：如图所示：小亮下的白色第三子的棋盘坐标是：(6,2)．
故选：D．
根据第四子下在棋盘坐标的(1,−2)建立坐标系，进而可得白色第三子的棋盘坐标．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、根据“勾三股四弦五”可证明勾股定理；
B、根据大正方形的面积等于边长的平方或等于4个直角三角形的面积加小正方形的面积可证明勾股定理；
C、根据已知图形不能证明勾股定理；
D、根据大正方形的面积等于边长的平方或等于4个直角三角形的面积加小正方形的面积可证明勾股定理，
故选项C符合题意，
故选：C．
根据大正方形的面积等于边长的平方或等于4个直角三角形的面积加小正方形的面积可证明勾股定理判断B、D；根据“勾三股四弦五”判断A；根据已知图形C不能证明勾股定理；
本题考查了勾股定理的证明，用不同的方法表示出大正方形的面积是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：正方体的面积是边长的平方，即：S=a2，因此A选项不符合题意；
若是等边三角形，则三角形的周长等于边长的3倍，即：C=3a，因此B选项不符合题意；
圆的面积S=πr2，S是r的二次函数，因此C选项不符合题意；
路程=速度×时间，因此选项D符合题意；
故选：D．
分别得出各个选项中的两个变量的函数关系式，进而确定是正比例函数．
此题考查正比例函数的定义，理解相应函数的意义和相应的关系式是正确判断的前提．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∴第一个图形中点D(4,0)，第二个图形中点D(2,2)，第三个图形中点D(4,4)，第四个图形中点D(2,4)，
故选：A．
根据正方形的性质进行逐一判断即可．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，熟练运用正方形的性质是本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=6，∠DAC=12∠BAD=30°，AC⊥BD，
∴OD=12AD=3，OA= 32AD=3 3，
∴BD=2OD=6，AC=2OA=6 3，
观察图形得，阴影部分面积等于菱形面积的一半，
∴S菱形=12AC⋅BD=12×6×6 3=18 3，
∴阴影部分面积=12×18 3=9 3．
故选：D．
根据菱形的性质及解直角三角形求出BD=6，AC=6 3，观察图形，阴影部分面积是菱形面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出阴影部分面积．
本题考查菱形的性质，看出阴影部分面积等于菱形面积的一半是解题的突破口．
10.【答案】C
【解析】解：当M在BC边上时，△ADM的面积=4×4÷2=8，
∵△ADM的面积y为3，
∴M点在CD边上，
∴y=4×(4+4−4x)÷2，
3=16−8x，
x=138．
答：x的值为138．
故选：C．
当M在BC边上移动时，△ADM的底边是AD=4，高是4，面积等于4×4÷2=8，当M在CD边上移动时△ADM的底边是AD=4，高是AM=4+4−4x=8−4x，面积=4×(8−4x)÷2，所以当△ADM的面积为3时，x在CD边上，列方程即可．
本题考查的是三角形的面积公式．解题的关键是确定M点所在的位置．
11.【答案】3
【解析】解：∵将△ABC向右平移4个单位，得到△DEF，
∴AD//BE，AD=BE=4；AD//CF，AD=CF=4；BE//CF，BE=CF=4，
∴四边形ABED、四边形ACFD、四边形BCFE都是平行四边形，
∴图中有三个平行四边形，
故答案为：3．
由平移得AD//BE，AD=BE；AD//CF，AD=CF；BE//CF，BE=CF，则四边形ABED、四边形ACFD、四边形BCFE都是平行四边形，于是得到问题的答案．
此题重点考查平移的性质、平行四边形的定义等知识，正确地找出图中的四边形是解题的关键．
12.【答案】SAS
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//DE，
∴∠ABD=∠CDB=90°，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CDB(SAS)．
故答案为：SAS．
根据平行四边形的性质可用SAS判定△ABD≌△CDB即可．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
13.【答案】二
【解析】解：∵点A的坐标为(−1−b2,1+a2)，
∴−1−b2<0，1+a2>0，
∴点A在第二象限，
故答案为：二．
根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征(−,+)，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
14.【答案】6 3
【解析】解：∵∠A=90°，∠C=30°，BC=12，
∴AB=12BC=6，∠ABC=90°−∠C=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE=12∠ABC=30°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∴∠A=∠DEB=90°，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(AAS)，
∴AB=BE=6，
在Rt△BDE中，∠DBE=30°，
∴DE=BE 3=6 3=2 3，
∴△DEB的面积=12BE⋅DE=12×6×2 3=6 3，
故答案为：6 3．
先在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AB=6，∠ABC=60°，再利用角平分线的定义可得∠ABD=∠DBE=30°，然后根据垂直定义可得∠A=∠DEB=90°，从而利用AAS可证△ABD≌△EBD，进而可得AB=BE=6，最后在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DE的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】y=10003x
【解析】解：当0≤x≤6时，函数图象过原点，为正比例函数．设y与x的函数表达式为y=kx.将(6,2000)代入，
得6k=2000，解得10003．
∴当0≤x≤6时，y=10003x．
故答案为：y=10003x．
当0≤x≤6时，函数图象过原点，为正比例函数．设y与x的函数表达式为y=kx.将(6,2000)代入，得到关于k的一元一次方程，解得k值，代回y=kx即可．
本题考查一次函数的应用，根据函数图象求函数解析式是初中学生必须具备的能力．
16.【答案】( n+1,1)
【解析】解：由题意知，OA1=OB，OA2=OB1，OA3=OB2，OA4=OB3，……
∵等腰Rt△AOB的直角边OA=AB=1，
∴B(1,1)，OB= OA2+AB2= 12+12= 2，
∴OA1= 2，
∴B1( 2,1)，
∵在Rt△OA1B1中，OB1= (OA1)2+(A1B1)2= ( 2)2+12= 3，
∴OA2= 3，
∴B2( 3,1)，
∵在Rt△OA2B2中，OB2= (OA2)2+(A2B2)2= ( 3)2+12= 4，
∴OA3=2
∴B3(2,1)，
……
∴Bn( n+1,1)
由题意知，OA1=OB，OA2=OB1，OA3=OB2，OA4=OB3，……，在等腰Rt△AOB中，由勾股定理求得OB= 2，则OA1= 2，进而得出点B1的坐标，同法依次求得B2、B3的坐标，最后根据规律写出Bn的坐标即可．
本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标规律，涉及等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，根据勾股定理依次求出OA1，OA2，OA2，得出B1、B2、B3的坐标是解答本题的关键．
17.【答案】解：如图：点P即为所求．
【解析】根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握角平分线的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
18.【答案】证明：∵EF//BC，DF//AB，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴EF=BD，
∵EF//BC，
∴∠FEC=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECF=∠BCE，
∴∠FEC=∠ECF，
∴EF=CF，
∴BD=CF．
【解析】根据平行四边形的性质得到四边形BDFE是平行四边形，求得EF=BD，根据平行线的性质得到∠FEC=∠ECB，根据角平分线的定义得到∠ECF=∠BCE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19.【答案】(2,−1) (4,3)
【解析】解：(1)由图形可知，点A(2,−1)，B(4,3)，
故答案为：(2,−1)，(4,3)；
(2)如图，△A′′B′′C′′即为所求；
(3)△ABC的面积为3×4−12×1×3−12×2×4−12×1×3=5．
(1)根据点A、B的位置可得坐标；
(2)根据旋转和平移的性质作出点A′′、B′′、C′′即可；
(3)根据△ABC所在的矩形面积减去周围三个三角形面积．
本题主要考查了作图−平移变换，旋转变换，三角形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
20.【答案】解：∵E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH是△ABC的中位线，
∴EH//BC，EH=12BC=2．
同理EF//AD//GH，EF=HG=12AD=3，
∴EH//FG，EF//HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EH⊥AD，
∴EH⊥EF，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH=12BC=2，EF=12AD=3，
∴四边形EFGH的面积为：EF⋅EH=2×3=6．
答：四边形EFGH的面积为6．
【解析】利用三角形中位线定理和矩形的判定定理推知四边形EFGH是矩形，然后利用矩形的性质作答．
本题考查中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定，关键是应用三角形中位线定理来解决问题．
21.【答案】175 2773 16≤x<24
【解析】解：(1)a=365−5−45−135−5=175，b=135365=2773，
补全直方图：
故答案为：175，2773；
(2)根据频数分布表可得16≤x<24，频数最大，则熊猫最喜欢外出活动时的温度区间为16≤x<24，
故答案为：16≤x<24；
(3)六月份去成都看熊猫“花花”最合适，
因为六月份的平均气温为16≤x<24，最接近熊猫“花花”最喜外出活动的温度区间16≤x<24．
(1)根据365减去其他频数，求得a，根据频数除以总数求得b，进而补全频数分布直方图；
(2)观察表格可得频数较大的温度区间为熊猫最喜欢外出活动时的温度区间；
(3)根据(2)的结论即可求解．
本题考查了频数分布直方图，频数分布表，从统计图表中获取信息是解题的关键．
22.【答案】解：延长AB交CD于点F，
由题意得：AF⊥CF，ED⊥CD，BF=DE，BE=DF，
在Rt△EDC中，CE=20米，∠DCE=30°，
∴DE=12CE=10(米)，CD= 3DE=10 3(米)，
∴BF=DE=10米，
设BE=DF=x米，
∴CF=DF+CD=(x+10 3)米，
在Rt△ABE中，∠AEB=60°，
∴AB=BE⋅tan60°= 3x(米)，
∴AF=AB+BF=( 3x+10)米，
在Rt△AFC中，∠ACF=45°，
∴AF=CF⋅tan45°=(x+10 3)米，
∴ 3x+10=x+10 3，
解得：x=10，
∴AB= 3x=10 3(米)，
∴“防溺水”宣传牌的高度为10 3米．
【解析】延长AB交CD于点F，根据题意可得：AF⊥CF，ED⊥CD，BF=DE，BE=DF，然后在Rt△EDC中，利用含30度角的直角三角形性质求出DE和CD的长，再设BE=DF=x米，则CF=(x+10 3)米，最后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而求出AF的长，再在Rt△AFC中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由图得：y1经过(2,84)，y2经过(2,108)，(0,40)，设y1=k1x，y2=k2x+b，
∴k1=842=42，
∴108=2k2+b40=b，
解得：k=34b=40，
∴y1，y2函数表达式为y1=42x，y2=34x+40；
(2)由题音得，联立方程得：
y=42xy=34x+40，
解得：x=5，
∴y1，y2的交点横坐标为5，
∴练习5次时，方案一与方案二花费相同．
当练习次数大于5次时，由函数图象可知y2
(2)联立方程可得练习5次时，方案一与方案二花费相同，练习次数大于5次时，由函数图象可知y2
24.【答案】解：(1)由题意可知：四边形ABCD是正方形，正方形A′B′C′D′是正方形ABCD绕A点顺时针旋转60°得到，
∴∠d=∠d′=90°，AD=AD′，
在正方形ABCD中，AB=AB′，
∴Rt△ABO≌△RtAD′O(HL)，
∴∠BAO=∠D′AO，
∴∠OAB=12∠D′AB=12(∠DAB−∠D′AB)=12(90°−60°)=15°，
∴∠OAB的度数为：15°；
(2)猜想：任意正n边形的共弦角的度数12[(n−2)×180°n−60°]或60°−180°n，
理由如下：
正四边形的共弦角的度数：12[(4−2)×180°4−60°]，
正五边形的共弦角的度数：12[(5−2)×180°5−60°]，
正六边形的共弦角的度数：12[(6−2)×180°6−60°]，
正七边形的共弦角的度数：12[(7−2)×180°7−60°]，
以此类推，
正n边形的共弦角的度数12[(n−2)×180°n−60°]或60°−180°n；
(3)答案不唯一，对以上问题的科学性，问题解决的严谨性及猜想的合理性等质疑，可提出以下问题：
1.“有人证明了正五边形的共弦角是24°，这一结论是否正确，请予证明？
2.共弦角∠OAB的取值范围是0°<∠OAB<90°，为什么？
3.正三角形也是正多边形，他是否有共弦角？
【解析】(1)根据旋转的性质得出，证明Rt△ABO≌Rt△AD′O(HL)可得∠BAO=∠D′AO，进而即可求解；
(2)猜想：任意正n边形的共弦角的度数，根据正四边形、正五边形、正六边形……得共弦角的度数，找到规律，即可求解；
(3)答案不唯一，对以上问题的科学性，问题解决的严谨性及猜想的合理性等质疑，提出问题即可求解．
本题考查了正方形的性质，正多边形的内角和定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握以上知识．
25.【答案】(2,0) (6,2)
【解析】解：(1)当y=0时，0=12x−1，
解得x=2，
∴A(2,0)，
∴0=−2×2+b，
解得b=4，
∴B(0,4)，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠BAC=90°，
∴∠OBA+∠OAB=∠OAB+∠HAC=90°，
∴∠OBA=∠HAC，
又∵∠AOB=∠CHA=90°，AB=AC，
∴△OAB≌△HCA，
∴CH=OA=2，AH=OB=4，
∴C(6,2)，
故答案为：(2,0)，(6,2)；
(2)过点E作EF⊥y轴于F，
设直线BC的解析式为y=kx+a，
∴a=46k+a=2，
解得a=4k=−13，
∴直线BC的解析式为y=−13x+4，
设E(m,−13m+4)，
∵△AOB的面积+△ABE的面积=△BEF的面积+梯形AOFE的面积，
∴12×2×4+5=12[4−(−13m+4)]m+12(m+2)(−13m+4)，
解得m=3，
∴E点的坐标为(3,3)；
(3)存在，
∵A(2,0)、B(0,4)、E(3,3)，
若使得以点A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情况：
①以AB为对角线时，
则A点向上平移1个单位，向左平移3个单位得到F点坐标，
即F(−1,1)；
②以AE为对角线时，
则A点向下平移1个单位，向右平移3个单位得到F点坐标，
即F(5,−1)；
③以BE为对角线时，
则B点向上平移3个单位，向右平移1个单位得到F点坐标，
即F(1,7)；
综上所述，符合条件的F点的坐标为(−1,1)或(5,−1)或(1,7)．
(1)根据AC的解析式求出A点的坐标，然后求出B点的坐标，过点C作CH⊥x轴于点H，证△OAB≌△HCA，根据CH=OA，AH=OB，求出C点的坐标即可；
(2)过点E作EF⊥y轴于F，根据△AOB的面积+△ABE的面积=△BEF的面积+梯形AOFE的面积，计算得出结论即可；
(3)分三种情况根据平移的性质分别求出F点的坐标即可．
本题主要考查一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积等知识是解题的关键．
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