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2022-2023学年江西省赣州市寻乌县七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江西省赣州市寻乌县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省赣州市寻乌县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中是无理数的是( )
A. π B. 4 C. 12 D. 0
2. 为了解某县2023年参加中考的6700名学生的身高情况，抽查了其中300名学生的身高进行统计分析.下列叙述正确的是( )
A. 6700名学生是总体
B. 从中抽取的300名学生的身高是总体的一个样本
C. 每名学生是总体的一个个体
D. 以上调查是普查
3. 点(3,−2)所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 下列不等式中，变形正确的是( )
A. 若a>b，则−a<−b B. 若a>b，则ac2>bc2
C. 若a>b，则a−cb，则a−c
A. b
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 9的平方根是 ．
8. 在平面直角坐标系中，点(−5,2)到y轴的距离是 ．
9. 不等式3x−4
11. 如图，直线BC经过原点O，点A在x轴上，AD⊥BC于点D，若点B(m,3)，C(n,−5)，A(6,0)，BC=9，则AD= ______ ．
12. 在平面直角坐标系xOy中，点A(0,4)，点B(3,1)，点C在坐标轴上，若三角形ABC的面积为6，则符合题意的点C的坐标是______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题6.0分)
(1)计算： 16+3−27− 1+916；
(2)解方程组3x+2y=4x−y=3．
14. (本小题6.0分)
解不等式组：3(x+1)>x−1x+72≥2x−1，并把它的解集表示在数轴上．
15. (本小题6.0分)
正方形网格中小正方形边长为1，线段AB的两个端点的坐标分别是A(5,2)，B(2,−1)．
(1)在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy；
(2)若点C在x轴上运动，当AC长度最小时，点C的坐标为______ ，依据是______ ．
(3)求三角形ABC的面积．
16. (本小题6.0分)
正数x的两个平方根分别为3-a和2a+7．
(1)求a的值；
(2)求44-x这个数的立方根．
17. (本小题6.0分)
完成下面的推理填空
如图，E、F分别在AB和CD上，∠1=∠D，∠2=∠C互余，AF⊥CE于G，求证：AB//CD．
证明：∵AF⊥CE(已知)，
∴∠CGF=90° ______ ，
∵∠1=∠D(已知)，
∴ ______ // ______ ，
∴∠4=∠CGF=90° ______ ，
又∵∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠2+∠C=90°(已知)，
∴∠C= ______ ，
∴AB//CD ______ ．
18. (本小题8.0分)
央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图(未完成)，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次共调查了______名学生；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)图2中“小说类”所在扇形的圆心角为______度；
(4)若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．
19. (本小题8.0分)
阅读探索
解方程组(a−1)+2(b+2)=62(a−1)+(b+2)=6
解：设a−1=x，b+2=y，原方程组可变为x+2y=62x+y=6
解方程组得x=2y=2，即a−1=2b+2=2，所以a=3b=0.此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高
运用上述方法解下列方程组：(a3−1)+2(b5+2)=42(a3−1)+(b5+2)=5
(2)能力运用
已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=5y=3，直接写出关于m、n的方程组5a1(m+3)+3b1(n−2)=c15a2(m+3)+3b2(n−2)=c2的解为______ ．
20. (本小题8.0分)
如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF 与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°．
(1)AD与EF平行吗？请说明理由；
(2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C，则∠F与∠H相等吗，请说明理由．
21. (本小题9.0分)
某生态园响应国家政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，甲种蔬菜售价每千克16元；乙种蔬菜售价每千克18元．
(1)求甲、乙两种蔬菜每千克进价各多少元？
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且购买甲种蔬菜不多于60千克，投入资金不超过1168元，设购买甲种蔬菜x千克(x为正整数)，求有哪几种进货方案；
22. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A，BC⊥y轴，垂足为C，OA=CB，OC=AB，已知A(a,0)，C(0,c)，其中a，c满足关系式(a−6)2+ c+8=0，点P从O点出发沿折线OA−AB−BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．
(1)在运动过程中，当点P到AB的距离为2个单位长度时，求点P的运动时间t；
(2)在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标；
23. (本小题12.0分)
问题情境1：如图1，AB//CD，P是AB、CD内部一点，P在BD的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究∠B，∠P，∠D之间的关系，小明的思路是：如图2，过P作PE//AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间的关系是______ ；
问题情境2：如图3，AB//CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得∠B，∠P，∠D之间的关系是______ ；
问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题：
已知AB//CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．
(1)如图4，若∠E=80°，求∠BFD的度数；
(2)如图5中，∠ABM=13∠ABF，∠CDM=13∠CDF，探究∠M与∠E之间的数量关系；
(3)如图5中，若∠ABM=1n∠ABF，∠CDM=1n∠CDF，设∠E=m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M= ______ ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.π是无理数，故此选项符合题意；
B. 4=2，属于有理数，故此选项不符合题意；
C.12是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D.0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：A．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，掌握实数的分类是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、6700名学生的身高情况是总体，不符合题意；
B、从中抽取的300名学生的身高是总体的一个样本，符合题意；
C、每名学生的身高是总体的一个个体，不符合题意；
D、以上调查是抽样调查，不符合题意；
故选：B．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题主要考查的是总体、个体、样本、样本容量的概念，掌握相关知识是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：由题可得，点(3,−2)所在的象限是第四象限，
故选：D．
根据第四象限内，点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
4.【答案】A
【解析】解：A.若a>b，则−a<−b，正确，故本选项符合题意；
B.若a>b，c=0，则ac2=bc2，故本选项不符合题意；
C.若a>b，则a−c>b−c，故本选项不符合题意；
D.若a>b，不妨设a=5，b=1，c=1，则a−c>b+c，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据不等式的性质对各选项进行判断．不等式的性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查实数的大小比较，理解算术平方根、立方根的意义是正确判断的前提．
根据算术平方根、立方根的意义估算出a、b的范围，再进行比较即可．
【解答】
解：∵31<37<38，
∴1<37<2，
即1
∴2
6.【答案】D
【解析】解：由3x−1
解得a≥4，
故选：D．
求出第一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得关于a的不等式，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】±3
【解析】
【分析】
直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】
解：因为±3的平方是9，
所以9的平方根是±3．
故答案为：±3
【点评】
本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题关键．
8.【答案】5
【解析】解：∵点(−5,2)，
∴点(−5,2)到y轴的距离是|−5|=5，
故答案为：5．
根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
本题考查点到坐标轴的距离，掌握点到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键．
9.【答案】1
【解析】解：3x−4
2x<4，
x<2，
所以不等式3x−4
先求出不等式的解集，再找出答案即可．
本题考查了解一元一次不等式的应用，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
10.【答案】(2,6)
【解析】解：点A(5,2)，将点A向左平移3个单位，再向上平移4个单位得点A′，
所得点的横坐标是5−3=2，纵坐标为2+4=6，即A′(2,6)．
故答案为：(2,6)．
利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．
11.【答案】163
【解析】解：过点B作BF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵点B(m,3)，C(n,−5)，A(6,0)，
∴BF=3，OE=5，OA=6，
∴S△AOB=12OA⋅BF=12×6×3=9，S△AOC=12OA⋅OE=12×6×5=15，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC=9+15=24，
∵AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=24，
∵BC=9，
∴AD=163，
故答案为：163．
过点B作BF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥y轴于点E，根据点的坐标，得到BF=3，OE=5，OA=6，进而得到S△AOB=9，S△AOC=15，求出S△ABC=24，再根据S△ABC=12BC⋅AD，即可求出AD的长．
本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，三角形的面积公式，解题关键是根据点的坐标得出相关三角形的底和高．
12.【答案】(0,0)，(0,8)，(8,0)
【解析】解：分两种情况：
①当C点在y轴上，设C(0,t)，
∵三角形ABC的面积为6，
∴12|t−4|⋅3=6，
解得t=8或0．
∴C点坐标为(0,8)，(0,0)，
②当C点在x轴上，设C(m,0)，
当点C在点B左侧时，由①得点C坐标为(0,0)，
当点C在点B右侧时，
∵三角形ABC的面积为6，且S△ABC=S△AOC−S△AOB−S△BOC，
∴12⋅4m−12×4×3−12⋅m×1=6，
解得m=8．
∴C点坐标为(8,0)，
综上所述，C点有3个，坐标为(0,0)，(0,8)，(8,0)
故答案为：(0,0)，(0,8)，(8,0)．
分类讨论：当C点在y轴上，设C(0,t)，根据三角形面积公式得到12|t−4|⋅3=6，当C点在x轴上，设C(m,0)，分两种情况进行讨论，然后分别解方程求出t和m即可得到C点坐标．
本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长，也考查了三角形面积公式．
13.【答案】解：(1) 16+3−27− 1+916
=4−3−54
=−14；
(2)3x+2y=4x−y=3，
②×2得，2x−2y=6③，
③+①得5x=10，解得x=2，
把x=2代入②得，2−y=3，
解得y=−1，
∴方程组的解为x=2y=−1．
【解析】(1)先求出算术平方根和立方根，再进行有理数的加减混合运算即可；
(2)利用加减法解二元一次方程组即可．
此题考查了实数的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握算术平方根、立方根、二元一次方程组的解法是解题的关键．
14.【答案】解：3(x+1)>x−1①x+72≥2x−1②，
由①得：x>−2，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为−2
本题考查一元一次不等式组的求解．掌握相关求解步骤及易错点是解题的关键．
15.【答案】(5,0) 垂线段最短
【解析】解：(1)如图所示：
(2)∵A(5,2)，
∴当点C运动到(5,0)时，AC长度最小，依据是垂线段最短；
故答案为：(5,0)，垂线段最短；
(3)如图所示：
三角形ABC的面积为12×2×3=3．
(1)根据点的坐标建立直角坐标系即可；
(2)根据垂线段最短即可得出结果；
(3)结合网格可得将三角形分成两个部分底均为2，高为点A、点B纵坐标绝对值之和，即可求解．
本题主要考查坐标与图形，垂线段最短，利用网格求三角形面积，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．
16.【答案】解：(1)∵正数x的两个平方根是3−a和2a+7，
∴3−a+(2a+7)=0，
解得：a=−10；
(2)∵a=−10，
∴3−a=13，2a+7=−13，
∴这个正数的两个平方根是±13，
∴这个正数x是132=169，
∴44−x=44−169=−125，
∵−125的立方根是−5，
∴44-x这个数的立方根为−5．
【解析】此题考查了立方根，平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
(1)根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值；
(2)根据a的值得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，计算出44−x的值，再根据立方根的定义即可解答．
17.【答案】垂直的定义 AF DE 两直线平行，同位角相等 ∠3 内错角相等，两直线平行
【解析】解：∵AF⊥CE(已知)，
∴∠CGF=90°(垂直的定义)．
∵∠1=∠D(已知)，
∴AF//DE(同位角相等，两直线平行)．
∴∠4=∠CGF=90°(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°．
∵∠2+∠C=90°(已知)，
∴∠C=∠3．
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：垂直的定义；AF；DE；两直线平行，同位角相等；∠3；内错角相等，两直线平行．
根据垂直的定义得出∠CGF=90°，由平行线的判定证明AF//DE，再根据平行线的性质得出∠4=∠CGF=90°，再运用等量代换证得∠C=∠3，最后根据平行线的判定定理即可证明结论．
本题主要考查了平行线的判定和性质定理、垂直、平角的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题关键．
18.【答案】解：(1)200；
(2)∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，
∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%=30人，
∴喜欢小说类书籍的人数为：200−24−76−30=70人，
如图所示；
(3)126；
(4)由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的24÷200=12%，
∴该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2500×12%=300人．
【解析】
【分析】
本题考查扇形统计图与条形统计图，用样本估计总体，属于中档题．
(1)根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数；
(2)根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数，进而补全图形；
(3)根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数；
(4)利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比，从而求出该校喜欢社科类书籍的学生人数；
【解答】
解：(1)∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，
∴此次调查的总人数为：76÷38%=200人，
故答案为200；
(2)见答案；
(3)由(2)知喜欢小说类书籍的人数为70人，
∴小说类所在圆心角为：360°×70200=126°，
故答案为126；
(4)见答案．
19.【答案】m=−2n=3
【解析】解：(1)设a3−1=x，b5+2=y，
原方程组可变形为x+2y=42x+y=5，
解得：x=2y=1，即a3−1=2b5+2=1，
解得：a=9b=−5；
(2)设5(m+3)=x，3(n−2)=y，
原方程组可变形为：a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2，
∵关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=5y=3，
∴5(m+3)=53(n−2)=3，
解得：m=−2n=3，
故答案为：m=−2n=3．
(1)设a3−1=x，b5+2=y，可得出关于x、y的方程组，即可求出x、y的值，进而可求出a、b的值；
(2)设5(m+3)=x，3(n−2)=y，根据已知方程组的解确定出m、n的值即可．
本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键．
20.【答案】解：(1)AD//EF．
理由如下：∵∠BDA+∠CEG=180°，∠ADB+∠ADE=180°，∠FEB+∠CEF=180°
∴∠ADE+∠FEB=180°，
∴AD//EF；
(2)∠F=∠H，
理由是：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠EDH=∠C，
∴HD//AC，
∴∠H=∠CGH，
∵AD//EF，
∴∠CAD=∠CGH，
∴∠BAD=∠F，
∴∠H=∠F．
【解析】(1)求出∠ADE+∠FEB=180°，根据平行线的判定推出即可；
(2)根据角平分线定义得出∠BAD=∠CAD，推出HD//AC，根据平行线的性质得出∠H=∠CGH，∠CAD=∠CGH，推出∠BAD=∠F即可．
本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．
21.【答案】解：(1)甲种蔬菜每千克进价m元，乙种蔬菜每千克进价n元，
依题意，得：15m+20n=43010m+8n=212，
解得：m=10n=14，
答：甲种蔬菜每千克进价10元，乙种蔬菜每千克进价14元．
(2)设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜(100−x)千克，依题意，得：
x≤6010x+14(100−x)≤1168，
解得：58≤x≤60
∵x为正整数，
∴x=58，59，60，
∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
【解析】(1)甲种蔬菜每千克进价m元，乙种蔬菜每千克进价n元，依题意，得：15m+20n=43010m+8n=212，进行计算即可得；
(2)设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜(100−x)千克，依题意，得：x≤6010x+14(100−x)≤1168解得：58≤x≤60，因为x为正整数，则x=58，59，60，即可得．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
22.【答案】解：(1)∵a，c满足关系式(a−6)2+ c+8=0，
∴a−6=0，c+8=0，
∴a=6，c=−8，
∴A(6,0)，C(0,−8)，
∴OA=CB=6，OC=AB=8，
当点P到AB的距离为2个单位长度时，运动路程为6−2=4或6+8+2=16，
∴4÷2=2s或16÷2=8s，
∴t为2s或8s；
(2)①当点P在OA上时，P(2t,0)；
②当点P在AB上时，PA=2t−6，
∵AB⊥x轴，
∴AB//y轴，
∴点P横坐标都为6，
∴P(6,6−2t)；
③当点P在BC上时，PC=20−2t，
∵BC⊥y轴，
∴BC//x轴，
∴点P纵坐标都为−8，
∴P(20−2t,−8)；
【解析】(1)由非负数的性质得a−6=0，c+8=0，解得a=6，c=−8，由此即可解决问题；
(2)分三种情形：①当点P在OA上时，②当点P在AB上时；③当点P在BC上时，分别表示即可．
本题考查了坐标与图形的性质，掌握矩形的性质、图形与坐标性质等知识是解题的关键．
23.【答案】∠B+∠BPD+∠D=360° ∠BPD=∠B+∠D 360°−m°2n
【解析】解：问题情境1：
如图2，∠B+∠BPD+∠D=360°，理由是：
过P作PE//AB，
∵AB//CD，PE//AB，
∴AB//PE//CD，
∴∠B+∠BPE=180°，∠D+∠DPE=180°，
∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE=360°，
即∠B+∠BPD+∠D=360°，
故答案为：∠B+∠BPD+∠D=360°；
问题情境2：
如图3，∠P=∠B+∠D，理由是：
过点P作EP//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EP，
∴∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，
∴∠BPD=∠B+∠D，
即∠P=∠B+∠D；
故答案为：∠BPD=∠B+∠D；
问题迁移：
(1)如图4，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
∴∠EBF=12∠ABE，∠EDF=12∠CDE，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，
∵∠E=80°，
∴∠ABE+∠CDE=280°，
∴∠EBF+∠EDF=140°，
∴∠BFD=360°−80°−140°=140°；
(2)如图5，16∠E+∠M=60°，理由是：
设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠FBM=2x，∠EBF=3x，∠FDM=2y，∠EDF=3y，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，
∴6x+6y+∠E=360°，
16∠E=60−x−y，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM=360°，
∴6x+6y+∠E=∠M+5x+5y+∠E，
∴∠M=x+y，
∴16∠E+∠M=60°；
(3)如图5，设∠ABM=x，∠CDM=y，
则∠FBM=(n−1)x，∠EBF=nx，∠FDM=(n−1)y，∠EDF=ny，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，
∴2nx+2ny+∠E=360°，
∴x+y=360°−m°2n，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM=360°，
∴2nx+2ny+∠E=∠M+(2n−1)x+(2n−1)y+∠E，
∴∠M=360°−m°2n；
故答案为：∠M=360°−m°2n．
问题情境1：过点P作PE//AB，根据平行线的性质，得到∠B+∠BPE=180°，∠D+∠DPE=180°，进而得出：∠B+∠BPD+∠D=360°；
问题情境2：过点P作EP//AB，再由平行线的性质即可得出结论；
②，③根据①中的方法可得出结论；
问题迁移：
(1)如图4，根据角平分线定义得：∠EBF=∠ABE，∠EDF=∠CDE，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，再根据四边形的内角和可得结论；
(2)设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠FBM=2x，∠EBF=3x，∠FDM=2y，∠EDF=3y，根据问题情境和四边形内角和得等式可得结论；
(3)同(2)将3倍换为n倍，同理可得结论．
本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
2022-2023学年江西省赣州市寻乌县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中是无理数的是( )
A. π B. 4 C. 12 D. 0
2. 为了解某县2023年参加中考的6700名学生的身高情况，抽查了其中300名学生的身高进行统计分析.下列叙述正确的是( )
A. 6700名学生是总体
B. 从中抽取的300名学生的身高是总体的一个样本
C. 每名学生是总体的一个个体
D. 以上调查是普查
3. 点(3,−2)所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 下列不等式中，变形正确的是( )
A. 若a>b，则−a<−b B. 若a>b，则ac2>bc2
C. 若a>b，则a−c
A. b
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 9的平方根是 ．
8. 在平面直角坐标系中，点(−5,2)到y轴的距离是 ．
9. 不等式3x−4
11. 如图，直线BC经过原点O，点A在x轴上，AD⊥BC于点D，若点B(m,3)，C(n,−5)，A(6,0)，BC=9，则AD= ______ ．
12. 在平面直角坐标系xOy中，点A(0,4)，点B(3,1)，点C在坐标轴上，若三角形ABC的面积为6，则符合题意的点C的坐标是______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题6.0分)
(1)计算： 16+3−27− 1+916；
(2)解方程组3x+2y=4x−y=3．
14. (本小题6.0分)
解不等式组：3(x+1)>x−1x+72≥2x−1，并把它的解集表示在数轴上．
15. (本小题6.0分)
正方形网格中小正方形边长为1，线段AB的两个端点的坐标分别是A(5,2)，B(2,−1)．
(1)在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy；
(2)若点C在x轴上运动，当AC长度最小时，点C的坐标为______ ，依据是______ ．
(3)求三角形ABC的面积．
16. (本小题6.0分)
正数x的两个平方根分别为3-a和2a+7．
(1)求a的值；
(2)求44-x这个数的立方根．
17. (本小题6.0分)
完成下面的推理填空
如图，E、F分别在AB和CD上，∠1=∠D，∠2=∠C互余，AF⊥CE于G，求证：AB//CD．
证明：∵AF⊥CE(已知)，
∴∠CGF=90° ______ ，
∵∠1=∠D(已知)，
∴ ______ // ______ ，
∴∠4=∠CGF=90° ______ ，
又∵∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠2+∠C=90°(已知)，
∴∠C= ______ ，
∴AB//CD ______ ．
18. (本小题8.0分)
央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图(未完成)，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次共调查了______名学生；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)图2中“小说类”所在扇形的圆心角为______度；
(4)若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．
19. (本小题8.0分)
阅读探索
解方程组(a−1)+2(b+2)=62(a−1)+(b+2)=6
解：设a−1=x，b+2=y，原方程组可变为x+2y=62x+y=6
解方程组得x=2y=2，即a−1=2b+2=2，所以a=3b=0.此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高
运用上述方法解下列方程组：(a3−1)+2(b5+2)=42(a3−1)+(b5+2)=5
(2)能力运用
已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=5y=3，直接写出关于m、n的方程组5a1(m+3)+3b1(n−2)=c15a2(m+3)+3b2(n−2)=c2的解为______ ．
20. (本小题8.0分)
如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF 与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°．
(1)AD与EF平行吗？请说明理由；
(2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C，则∠F与∠H相等吗，请说明理由．
21. (本小题9.0分)
某生态园响应国家政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，甲种蔬菜售价每千克16元；乙种蔬菜售价每千克18元．
(1)求甲、乙两种蔬菜每千克进价各多少元？
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且购买甲种蔬菜不多于60千克，投入资金不超过1168元，设购买甲种蔬菜x千克(x为正整数)，求有哪几种进货方案；
22. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A，BC⊥y轴，垂足为C，OA=CB，OC=AB，已知A(a,0)，C(0,c)，其中a，c满足关系式(a−6)2+ c+8=0，点P从O点出发沿折线OA−AB−BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．
(1)在运动过程中，当点P到AB的距离为2个单位长度时，求点P的运动时间t；
(2)在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标；
23. (本小题12.0分)
问题情境1：如图1，AB//CD，P是AB、CD内部一点，P在BD的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究∠B，∠P，∠D之间的关系，小明的思路是：如图2，过P作PE//AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间的关系是______ ；
问题情境2：如图3，AB//CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得∠B，∠P，∠D之间的关系是______ ；
问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题：
已知AB//CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．
(1)如图4，若∠E=80°，求∠BFD的度数；
(2)如图5中，∠ABM=13∠ABF，∠CDM=13∠CDF，探究∠M与∠E之间的数量关系；
(3)如图5中，若∠ABM=1n∠ABF，∠CDM=1n∠CDF，设∠E=m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M= ______ ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.π是无理数，故此选项符合题意；
B. 4=2，属于有理数，故此选项不符合题意；
C.12是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D.0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：A．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，掌握实数的分类是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、6700名学生的身高情况是总体，不符合题意；
B、从中抽取的300名学生的身高是总体的一个样本，符合题意；
C、每名学生的身高是总体的一个个体，不符合题意；
D、以上调查是抽样调查，不符合题意；
故选：B．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题主要考查的是总体、个体、样本、样本容量的概念，掌握相关知识是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：由题可得，点(3,−2)所在的象限是第四象限，
故选：D．
根据第四象限内，点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
4.【答案】A
【解析】解：A.若a>b，则−a<−b，正确，故本选项符合题意；
B.若a>b，c=0，则ac2=bc2，故本选项不符合题意；
C.若a>b，则a−c>b−c，故本选项不符合题意；
D.若a>b，不妨设a=5，b=1，c=1，则a−c>b+c，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据不等式的性质对各选项进行判断．不等式的性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查实数的大小比较，理解算术平方根、立方根的意义是正确判断的前提．
根据算术平方根、立方根的意义估算出a、b的范围，再进行比较即可．
【解答】
解：∵31<37<38，
∴1<37<2，
即1
∴2
6.【答案】D
【解析】解：由3x−1
解得a≥4，
故选：D．
求出第一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得关于a的不等式，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】±3
【解析】
【分析】
直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】
解：因为±3的平方是9，
所以9的平方根是±3．
故答案为：±3
【点评】
本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题关键．
8.【答案】5
【解析】解：∵点(−5,2)，
∴点(−5,2)到y轴的距离是|−5|=5，
故答案为：5．
根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
本题考查点到坐标轴的距离，掌握点到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键．
9.【答案】1
【解析】解：3x−4
2x<4，
x<2，
所以不等式3x−4
先求出不等式的解集，再找出答案即可．
本题考查了解一元一次不等式的应用，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
10.【答案】(2,6)
【解析】解：点A(5,2)，将点A向左平移3个单位，再向上平移4个单位得点A′，
所得点的横坐标是5−3=2，纵坐标为2+4=6，即A′(2,6)．
故答案为：(2,6)．
利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．
11.【答案】163
【解析】解：过点B作BF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵点B(m,3)，C(n,−5)，A(6,0)，
∴BF=3，OE=5，OA=6，
∴S△AOB=12OA⋅BF=12×6×3=9，S△AOC=12OA⋅OE=12×6×5=15，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC=9+15=24，
∵AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=24，
∵BC=9，
∴AD=163，
故答案为：163．
过点B作BF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥y轴于点E，根据点的坐标，得到BF=3，OE=5，OA=6，进而得到S△AOB=9，S△AOC=15，求出S△ABC=24，再根据S△ABC=12BC⋅AD，即可求出AD的长．
本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，三角形的面积公式，解题关键是根据点的坐标得出相关三角形的底和高．
12.【答案】(0,0)，(0,8)，(8,0)
【解析】解：分两种情况：
①当C点在y轴上，设C(0,t)，
∵三角形ABC的面积为6，
∴12|t−4|⋅3=6，
解得t=8或0．
∴C点坐标为(0,8)，(0,0)，
②当C点在x轴上，设C(m,0)，
当点C在点B左侧时，由①得点C坐标为(0,0)，
当点C在点B右侧时，
∵三角形ABC的面积为6，且S△ABC=S△AOC−S△AOB−S△BOC，
∴12⋅4m−12×4×3−12⋅m×1=6，
解得m=8．
∴C点坐标为(8,0)，
综上所述，C点有3个，坐标为(0,0)，(0,8)，(8,0)
故答案为：(0,0)，(0,8)，(8,0)．
分类讨论：当C点在y轴上，设C(0,t)，根据三角形面积公式得到12|t−4|⋅3=6，当C点在x轴上，设C(m,0)，分两种情况进行讨论，然后分别解方程求出t和m即可得到C点坐标．
本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长，也考查了三角形面积公式．
13.【答案】解：(1) 16+3−27− 1+916
=4−3−54
=−14；
(2)3x+2y=4x−y=3，
②×2得，2x−2y=6③，
③+①得5x=10，解得x=2，
把x=2代入②得，2−y=3，
解得y=−1，
∴方程组的解为x=2y=−1．
【解析】(1)先求出算术平方根和立方根，再进行有理数的加减混合运算即可；
(2)利用加减法解二元一次方程组即可．
此题考查了实数的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握算术平方根、立方根、二元一次方程组的解法是解题的关键．
14.【答案】解：3(x+1)>x−1①x+72≥2x−1②，
由①得：x>−2，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为−2
本题考查一元一次不等式组的求解．掌握相关求解步骤及易错点是解题的关键．
15.【答案】(5,0) 垂线段最短
【解析】解：(1)如图所示：
(2)∵A(5,2)，
∴当点C运动到(5,0)时，AC长度最小，依据是垂线段最短；
故答案为：(5,0)，垂线段最短；
(3)如图所示：
三角形ABC的面积为12×2×3=3．
(1)根据点的坐标建立直角坐标系即可；
(2)根据垂线段最短即可得出结果；
(3)结合网格可得将三角形分成两个部分底均为2，高为点A、点B纵坐标绝对值之和，即可求解．
本题主要考查坐标与图形，垂线段最短，利用网格求三角形面积，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．
16.【答案】解：(1)∵正数x的两个平方根是3−a和2a+7，
∴3−a+(2a+7)=0，
解得：a=−10；
(2)∵a=−10，
∴3−a=13，2a+7=−13，
∴这个正数的两个平方根是±13，
∴这个正数x是132=169，
∴44−x=44−169=−125，
∵−125的立方根是−5，
∴44-x这个数的立方根为−5．
【解析】此题考查了立方根，平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
(1)根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值；
(2)根据a的值得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，计算出44−x的值，再根据立方根的定义即可解答．
17.【答案】垂直的定义 AF DE 两直线平行，同位角相等 ∠3 内错角相等，两直线平行
【解析】解：∵AF⊥CE(已知)，
∴∠CGF=90°(垂直的定义)．
∵∠1=∠D(已知)，
∴AF//DE(同位角相等，两直线平行)．
∴∠4=∠CGF=90°(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°．
∵∠2+∠C=90°(已知)，
∴∠C=∠3．
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：垂直的定义；AF；DE；两直线平行，同位角相等；∠3；内错角相等，两直线平行．
根据垂直的定义得出∠CGF=90°，由平行线的判定证明AF//DE，再根据平行线的性质得出∠4=∠CGF=90°，再运用等量代换证得∠C=∠3，最后根据平行线的判定定理即可证明结论．
本题主要考查了平行线的判定和性质定理、垂直、平角的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题关键．
18.【答案】解：(1)200；
(2)∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，
∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%=30人，
∴喜欢小说类书籍的人数为：200−24−76−30=70人，
如图所示；
(3)126；
(4)由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的24÷200=12%，
∴该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2500×12%=300人．
【解析】
【分析】
本题考查扇形统计图与条形统计图，用样本估计总体，属于中档题．
(1)根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数；
(2)根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数，进而补全图形；
(3)根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数；
(4)利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比，从而求出该校喜欢社科类书籍的学生人数；
【解答】
解：(1)∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，
∴此次调查的总人数为：76÷38%=200人，
故答案为200；
(2)见答案；
(3)由(2)知喜欢小说类书籍的人数为70人，
∴小说类所在圆心角为：360°×70200=126°，
故答案为126；
(4)见答案．
19.【答案】m=−2n=3
【解析】解：(1)设a3−1=x，b5+2=y，
原方程组可变形为x+2y=42x+y=5，
解得：x=2y=1，即a3−1=2b5+2=1，
解得：a=9b=−5；
(2)设5(m+3)=x，3(n−2)=y，
原方程组可变形为：a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2，
∵关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=5y=3，
∴5(m+3)=53(n−2)=3，
解得：m=−2n=3，
故答案为：m=−2n=3．
(1)设a3−1=x，b5+2=y，可得出关于x、y的方程组，即可求出x、y的值，进而可求出a、b的值；
(2)设5(m+3)=x，3(n−2)=y，根据已知方程组的解确定出m、n的值即可．
本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键．
20.【答案】解：(1)AD//EF．
理由如下：∵∠BDA+∠CEG=180°，∠ADB+∠ADE=180°，∠FEB+∠CEF=180°
∴∠ADE+∠FEB=180°，
∴AD//EF；
(2)∠F=∠H，
理由是：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠EDH=∠C，
∴HD//AC，
∴∠H=∠CGH，
∵AD//EF，
∴∠CAD=∠CGH，
∴∠BAD=∠F，
∴∠H=∠F．
【解析】(1)求出∠ADE+∠FEB=180°，根据平行线的判定推出即可；
(2)根据角平分线定义得出∠BAD=∠CAD，推出HD//AC，根据平行线的性质得出∠H=∠CGH，∠CAD=∠CGH，推出∠BAD=∠F即可．
本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．
21.【答案】解：(1)甲种蔬菜每千克进价m元，乙种蔬菜每千克进价n元，
依题意，得：15m+20n=43010m+8n=212，
解得：m=10n=14，
答：甲种蔬菜每千克进价10元，乙种蔬菜每千克进价14元．
(2)设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜(100−x)千克，依题意，得：
x≤6010x+14(100−x)≤1168，
解得：58≤x≤60
∵x为正整数，
∴x=58，59，60，
∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
【解析】(1)甲种蔬菜每千克进价m元，乙种蔬菜每千克进价n元，依题意，得：15m+20n=43010m+8n=212，进行计算即可得；
(2)设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜(100−x)千克，依题意，得：x≤6010x+14(100−x)≤1168解得：58≤x≤60，因为x为正整数，则x=58，59，60，即可得．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
22.【答案】解：(1)∵a，c满足关系式(a−6)2+ c+8=0，
∴a−6=0，c+8=0，
∴a=6，c=−8，
∴A(6,0)，C(0,−8)，
∴OA=CB=6，OC=AB=8，
当点P到AB的距离为2个单位长度时，运动路程为6−2=4或6+8+2=16，
∴4÷2=2s或16÷2=8s，
∴t为2s或8s；
(2)①当点P在OA上时，P(2t,0)；
②当点P在AB上时，PA=2t−6，
∵AB⊥x轴，
∴AB//y轴，
∴点P横坐标都为6，
∴P(6,6−2t)；
③当点P在BC上时，PC=20−2t，
∵BC⊥y轴，
∴BC//x轴，
∴点P纵坐标都为−8，
∴P(20−2t,−8)；
【解析】(1)由非负数的性质得a−6=0，c+8=0，解得a=6，c=−8，由此即可解决问题；
(2)分三种情形：①当点P在OA上时，②当点P在AB上时；③当点P在BC上时，分别表示即可．
本题考查了坐标与图形的性质，掌握矩形的性质、图形与坐标性质等知识是解题的关键．
23.【答案】∠B+∠BPD+∠D=360° ∠BPD=∠B+∠D 360°−m°2n
【解析】解：问题情境1：
如图2，∠B+∠BPD+∠D=360°，理由是：
过P作PE//AB，
∵AB//CD，PE//AB，
∴AB//PE//CD，
∴∠B+∠BPE=180°，∠D+∠DPE=180°，
∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE=360°，
即∠B+∠BPD+∠D=360°，
故答案为：∠B+∠BPD+∠D=360°；
问题情境2：
如图3，∠P=∠B+∠D，理由是：
过点P作EP//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EP，
∴∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，
∴∠BPD=∠B+∠D，
即∠P=∠B+∠D；
故答案为：∠BPD=∠B+∠D；
问题迁移：
(1)如图4，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
∴∠EBF=12∠ABE，∠EDF=12∠CDE，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，
∵∠E=80°，
∴∠ABE+∠CDE=280°，
∴∠EBF+∠EDF=140°，
∴∠BFD=360°−80°−140°=140°；
(2)如图5，16∠E+∠M=60°，理由是：
设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠FBM=2x，∠EBF=3x，∠FDM=2y，∠EDF=3y，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，
∴6x+6y+∠E=360°，
16∠E=60−x−y，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM=360°，
∴6x+6y+∠E=∠M+5x+5y+∠E，
∴∠M=x+y，
∴16∠E+∠M=60°；
(3)如图5，设∠ABM=x，∠CDM=y，
则∠FBM=(n−1)x，∠EBF=nx，∠FDM=(n−1)y，∠EDF=ny，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，
∴2nx+2ny+∠E=360°，
∴x+y=360°−m°2n，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM=360°，
∴2nx+2ny+∠E=∠M+(2n−1)x+(2n−1)y+∠E，
∴∠M=360°−m°2n；
故答案为：∠M=360°−m°2n．
问题情境1：过点P作PE//AB，根据平行线的性质，得到∠B+∠BPE=180°，∠D+∠DPE=180°，进而得出：∠B+∠BPD+∠D=360°；
问题情境2：过点P作EP//AB，再由平行线的性质即可得出结论；
②，③根据①中的方法可得出结论；
问题迁移：
(1)如图4，根据角平分线定义得：∠EBF=∠ABE，∠EDF=∠CDE，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，再根据四边形的内角和可得结论；
(2)设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠FBM=2x，∠EBF=3x，∠FDM=2y，∠EDF=3y，根据问题情境和四边形内角和得等式可得结论；
(3)同(2)将3倍换为n倍，同理可得结论．
本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
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