2022-2023学年江西省赣州市寻乌县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省赣州市寻乌县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a3)4=a12
C. (a−b)2=a2−b2D. a8÷a2=a4
2. 下列运算正确的是( )
A. (x+y)(−y+x)=x2−y2B. (−x+y)2=−x2+2xy+y2
C. (−x−y)2=−x2−2xy−y2D. (x+y)(y−x)=x2−y2
3. 若分式|x|−2x+2的值为0，则x的值为( )
A. 2B. 0C. −2D. x=2
4. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线AD对称，∠CAD=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是( )
A. 45°
B. 40°
C. 35°
D. 30°
5. 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，若AD=BD=BC，则∠A的度数为( )
A. 70°
B. 45°
C. 36°
D. 30°
6. 若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为( )
A. 4cmB. 6cmC. 4cm或8cmD. 8cm
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. x2−y2x+y+x2+xy2x+2y= ．
8. 若多项式x2+ax+b因式分解的结果是(x−2)(x+3)，则a+b= ．
9. 分解因式：4x2−y2= ．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB=10，CD=3，则S△ABD= ．
11. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若AB=6cm，则阴影部分的面积是 cm2．
12. 三角形的两边长为4和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题5.0分)
计算：
(1)(3a−4b)2；
(2)(−2a−b)(2a−b)．
14. (本小题5.0分)
先化简(1−3a+2)÷a2−2a+1a2−4，再从−315. (本小题5.0分)
解分式方程xx−1−1=3x2−x．
16. (本小题5.0分)
如图，DE⊥AB交其延长线于点E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)写出AB+AC与AE之间的等量关系并说明理由．
17. (本小题5.0分)
如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．
18. (本小题8.0分)
如图，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．
(1)求证：AE是∠DAB的平分线；
(2)若∠DAB=60°，求证：AD=4CD．
19. (本小题9.0分)
某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？
根据以上信息，解答下列问题．
(1)小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为______．
小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为______．
(2)请你按照(1)中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
20. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，A(0,2)，B(6,4)，C(2,5)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标(直接写答案)：A1______；B1______；C1______；
(2)△A1B1C1的面积为______；
(3)在x轴上画出点P，使PB+PA最小．
21. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：
(1)当t为何值时，△DEC为等边三角形；
(2)当t为何值时，△DEC为直角三角形．
22. (本小题10.0分)
如图，已知等边三角形ABD中，点C在BD的延长线上，DE与AC交于点F，且满足AD=DE，连接AE．
(1)若∠ADF=70°，∠EAF=35°，判断△ADF的形状，并说明理由；
(2)若∠BDE=2∠EAF.求∠AFD的大小．
23. (本小题12.0分)
如图1，已知△ABC为正三角形，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AC=AD．
(1)若∠CAD=30°，则∠BDC的度数为______；
(2)若∠CAD的大小在0°～90°范围内之间任意改变，∠BDC的度数是否随之改变？请说明理由；
(3)E是DC延长线上一点，且EB=ED，连接AE，如图2，试探究EA，EB，EC之间的关系．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、(a3)4=a12，原计算正确，故此选项符合题意；
C、(a−b)2=a2−2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、a8÷a2=a6，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据同底数幂的乘法的运算法则，幂的乘方的运算法则，完全平方公式，同底数幂的除法的运算法则，可得答案．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法．解题的关键是掌握同底数幂的乘法的运算法则，幂的乘方的运算法则，完全平方公式，同底数幂的除法的运算法则．
2.【答案】A
【解析】解：A、结果是x2−y2，原计算正确，故本选项符合题意；
B、结果是x2−2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、结果是x2+2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；
D、结果是y2−x2，原计算错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可．
本题考查了完全平方公式和平方差公式，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：(a+b)(a−b)=a2−b2，(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可知：|x|−2=0且x+2≠0，
∴x=2
故选：A．
根据分式的值为0的条件即可求出答案．
本题考查分式的值为零的条件，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
4.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BAC=180°−70°−70°=40°，
∵△AB′C′与△ABC关于直线AD对称，
∴∠BAC=∠B′AC′=40°，∠CAD=∠C′AD=10°，
∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，
∵AB=AB′，
∴∠ABB′=12(180°−100°)=40°，
故选：B．
利用三角形内角和定理轴对称的性质求出∠BAB′即可解决问题．
本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=180°−x2，
可得2x=180°−x2，
解得：x=36°，
则∠A=36°，
故选：C．
利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．
此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：①4cm是底边时，腰长为12×(16−4)=6，能组成三角形，
②4cm是腰长时，底边为16−2×4=8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm．
故选：A．
分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，难点在于分情况讨论．
7.【答案】3x2−y
【解析】解：原式=(x+y)(x−y)x+y+x(x+y)2(x+y)
=x−y+x2
=3x2−y．
故答案为：3x2−y．
进行分式的加减时，能化简的要化简后再计算．
本题考查了分式的计算，掌握分式的计算方法是关键．
8.【答案】−5
【解析】解：∵多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x−2)(x+3)，
∴x2+ax+b
=(x−2)(x+3)
=x2+x−6，
故a=1，b=−6，
则a+b=−5．
故答案为：−5．
首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案．
本题考查了因式分解，整式的乘方运算，掌握多项式乘多项式法则是解本题的关键．
9.【答案】(2x+y)(2x−y)
【解析】
【分析】
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的特征是解题的关键，是基础题．
直接运用平方差公式分解因式即可．
【解答】
解：4x2−y2=(2x+y)(2x−y)．
故答案为：(2x+y)(2x−y)．
10.【答案】15
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=3，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×10×3=15，
故答案为15．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
11.【答案】4.5
【解析】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=6cm，
∴AC=3cm．
由题意可知BC//DE，
∴∠AFC=∠ADE=45°，
∴AC=CF=3cm．
故S△ACF=12×3×3=4.5(cm2).
故答案为：4.5．
由于BC//DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B=30°，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
本题考查了含30°角的直角三角形及等腰直角三角形的知识，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．
12.【答案】14或16或18
【解析】解：∵一个三角形的两边长为4和6，
∴6−4<第三边<6+4，即2<第三边<10，
∵第三边为偶数，
∴第三边为4或6或8，
∴这个三角形的周长为4+6+4=14或4+6+6=16或4+6+8=18，
故答案为：14或16或18．
根据三角形三边的关系确定出第三边的取值范围，再根据第三边为偶数结合三角形周长公式进行求解即可．
本题主要考查了三角形三边的关系的应用，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
13.【答案】解：(1)(3a−4b)2=9a2−24ab+16b2；
(2)(−2a−b)(2a−b)
=(−b)2−(2a)2
=b2−4a2．
【解析】(1)根据完全平方公式进行计算即可求解；
(2)根据平方差公式进行计算即可求解．
本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
14.【答案】解：原式=a+2−3a+2×(a+2)(a−2)(a−1)2
=a−2a−1
∵a≠−2，2，1
∴a=0时，
原式=2
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
15.【答案】解：去分母得：x2−x(x−1)=3，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x(x−1)=6≠0，
∴分式方程的解为x=3．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC；
(2)AB+AC=2AE，
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠AFD=90°，
在△AED与△AFD中，
∵∠AED=∠AFD∠EAD=∠FADAD=AD，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF，
∵BE=CF，
∴AB+AC=AE−BE+AF+CF=AE+AE=2AE．
【解析】(1)根据HL得出Rt△BDE≌Rt△CDF，得出DE=DF，所以AD平分∠BAC；
(2)根据AAS证明△AED≌△AFD，所以AE=AF，进而可得答案．
本题考查了角平分线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
17.【答案】解：如图所示；

【解析】本题要求思维严密，根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形．
本题主要考查的是利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
18.【答案】证明：(1)过点E作EF⊥AD于点F，则，

∵DE平分∠ADC，
∴EC=EF，
∵点E是BC的中点，
∴CE=EB，
∴EF=EB，
在Rt△EAB和Rt△EAF中，
EF=EBEA=EA，
∴Rt△EAB≌Rt△EAF(HL)，
∴∠EAF=∠EAB，
∴AE是∠DAB的平分线；
(2)∵∠DAB=60°，∠EAF=∠EAB，
∴∠DAE=∠EAB=30°，
∵∠C=∠B=90°，
∴AB//CD，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∴∠ADC=120°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=60°，
∴∠DEC=30°，∠DEA=90°，
∴DE=2CD，AD=2DE，
∴AD=4CD．
【解析】(1)过点E作EF⊥AD于点F，由DE平分∠ADC得到EC=EF，再由点E是BC的中点得到EF=EB，最后证明△EAB≌△EAF得到∠EAF=∠EAB，从而得到结果；
(2)先由∠DAB=60°得到∠DAE=∠EAB=∠DEC=30°，∠DEA=90°，进而利用含30°角的直角三角形三边关系得到DE=2CD，AD=2DE，即有AD=4CD．
本题考查了角平分线的判定和性质定理、直角三角形全等的判定，全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的三边关系，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．
19.【答案】解：(1)800x+10=600x；800y=600y+10；
(2)设乙型机器人每小时搬运xkg产品，根据题意可得：
800x+10=600x，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
答：乙型机器人每小时搬运30kg产品．
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式方程的应用，根据题意正确得出等量关系是解题关键．
(1)根据甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等，以及甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，分别得出等式求出答案；
(2)利用分式方程的解法进而计算得出答案．
【解答】
解：(1)小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为：
800x+10=600x；
小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为：
800y=600y+10；
故答案为：800x+10=600x；800y=600y+10；
(2)见答案．
20.【答案】(0,2) (−5,4) (−2,5) 7
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．A1(0,2)，B1(−6,4)，C2(−2,5)．
故答案为(0,2)，(−5,4)，(−2,5)．
(2)△A1B1C1的面积=3×6−12×1×4−12×2×3−12×2×6=7．
故答案为7．
(3)如图，点P即为所求．
(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可解决问题．
(2)利用分割法求解即可．
(3)作点A关于X轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P，连接PA，点P即为所求．
本题考查作图−复杂作图，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)根据题意可得AD=t，CD=6−t，CE=2t，
∵∠B=30°，AC=6cm，
∴BC=2AC=12cm，
∵∠C=90°−∠B=30°=60°，△DEC为等边三角形，
∴CD=CE，
6−t=2t，
t=2，
∴当t为2时，△DEC为等边三角形；
(2)①当∠DEC为直角时，∠EDC=30°，
∴CE=12DC，
2t=12(6−t)，
t=65；
②当∠EDC为直角时，∠DEC=30°，
CD=12CE，
6−t=12⋅2t，
t=3．
∴当t为65或3时，△DEC为直角三角形．
【解析】(1)根据等边三角形的性质列出方程求出t的值；
(2)分两种情况讨论：①当∠DEC为直角时，②当∠EDC为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键．
22.【答案】解：(1)结论：直角三角形．
理由如下：∵AD=DE，∠ADF=70°，
∴∠DAE=∠DEA=55°，
∵∠EAF=35°，
∴∠FAD=20°，
∴AFD=90°，
∴△ADF是直角三角形；
(2)设∠ADE=x，
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠E=90°−12x，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD，∠BDA=∠BAD=∠ABD=60°，
∴∠BDE=60°+x，
∵∠BDE=2∠EAF，
∴∠EAF=30°+12x，
∴∠E+∠EAF=120°，
∴∠AFD=120°．
【解析】
【分析】((1)根据AD=DE，∠ADF=70°得出∠DAF=∠DEA=55°，再利用EAF=35°结合∠FAD=20°得出∠AFD=90°即可解答；
(2)设∠ADE=x，利用AD=DE得出∠DAE=∠E=90°−12x，再利用等边三角形的性质∠BDA=∠BAD=∠ABD=60°，最后再进行计算即可；
本题考查的是直角三角形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理有关知识，综合运用以上知识是解题的关键．
23.【答案】30°
【解析】解：(1)∵△ABC为正三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵∠CAD=30°，AC=AD，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵AC=AD，∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=12×(180°−30°)=75°，
∴∠BDC=75°−45°=30°，
故答案为：30°；
(2)∠BDC的度数不变，
理由如下：∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=12×(180°−∠CAD)=90°−12∠CAD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=12×(180°−60°−∠CAD)=60°−12∠CAD，
∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=(90°−12∠CAD)−(60°−12∠CAD)=30°；
(3)在线段EA上截取EF=EB，连接BF，
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB=30°，
∴∠BED=120°，
∵AB=AD，EB=ED，
∴AE垂直平分BD，
∴∠BEF=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BE=BF，∠EBF=60°，
∴∠EBF=∠ABC，
∴∠ABF=∠CBE，
在△ABF和△CBE中，
AB=BC∠ABF=∠CBEBF=BE，
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴AF=EC，
∴EA=AF+EF=BE+EC．
(1)根据等边三角形的性质得到∠BAC=60°，AB=AC，根据等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算，得到答案；
(2)根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得出结论；
(3)在线段EA上截取EF=EB，连接BF，证明△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是等边三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质，正确作出辅助性、灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键．