2022-2023学年江西省赣州市寻乌县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省赣州市寻乌县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江西省赣州市寻乌县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若 a−1有意义，则a的取值范围是(    )
A. a≥1 B. a≤1 C. a≥0 D. a≤−1
2. 下列各组数中，不是勾股数的一组是(    )
A. 3，4，5 B. 10，8，6 C. 5，12，13 D. 4，5，6
3. 在一次统计调查中，小明得到以下一组数据：3，4，x，5，6，若这组数据的众数是3，则这组数据中的x的值为(    )
A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 5
4. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k、b的值为(    )


A. k>0，b>0 B. k>0，b<0 C. k<0，b>0 D. k<0，b<0
5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，连接EF，若AB=6，BC=8，则EF的长是(    )
A. 5
B. 2
C. 2.5
D. 3
6. 在学校开展的节约用水活动中，从八年级600名同学中随机调查了30名同学的家庭一个月的节水量，数据(均为正整数)整理如表：
月节水量x/t
人数
1.5≤x<2.5
6
2.5≤x<3.5
15
3.5≤x<4.5
9
请你估计这600名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是(    )
A. 3.1t B. 93t C. 930t D. 1860t
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 若函数y=3xm−2是正比例函数，则m的值是______ ．
8. 若 5与最简二次根式 a+1是同类二次根式，则a= ______ ．
9. 学校组织一分钟跳绳比赛.八(1)班准备从甲、乙两人中挑选一名成绩比较稳定的同学参赛.两人最近四次的跳绳测试的成绩(单位：个)为：甲：197，213，209，196；乙：205，203，202，205，而这两人平均成绩相同，根据信息，应该选______ 参加比赛．
10. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索(绳索头与地面接触)退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为______．
11. 如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点B(m,0)(m>1)，与正比例函数y=2x的图象交于点A，则不等式kx+b<2x的解集为______ ．


12. 小亮在一张长为9cm，宽为8cm的矩形纸片上，剪了一个腰长为5cm的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上)，则这个等腰三角形的底边为______ cm．


三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题5.0分)
计算：(3 12−6 13)÷ 3．
14. (本小题5.0分)
已知小玲的饭卡里存有100元钱，她每餐吃饭的费用为7元.设吃饭的餐数为x餐，饭卡里剩下的钱为y元．
①y与x之间的函数关系式是：______ ；(不用写自变量的取值范围)
②求当x=8时，y的值．
15. (本小题5.0分)
数学老师在计算学生的学期综合成绩时，从平时作业、期中考试、期末考试三个方面进行考核，各项满分均为100分.按平时作业占20%，期中考试占40%，期末考试占40%.小华和小强两位同学的成绩如下表所示，则：
(1)这两人中综合成绩更高的同学是______ ，他的综合成绩是______ 分；
(2)若对平时作业、期中考试、期末考试的成绩分别赋予它们2，3和5的权，请计算小华的综合成绩．

平时作业
期中考试
期末考试
小华
80
80
88
小强
75
80
92

16. (本小题5.0分)
为了绿化校园.学校计划在如图所示的一块四边形ACBD的空地(图中阴影部分)上种植草皮，经测量∠ACB=90°，BC=3m，AC=4m，BD=12m，AD=13m，请求出空地的面积．

17. (本小题5.0分)
如图是7×8的矩形网格，每个小正方形的顶点称为格点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图，所作图形的顶点均在格点上(保留作图痕迹)．

(1)在图①中，作一个以AB为一边而且面积为18的平行四边形ABCD；
(2)在图②中，作一个以AB为其中一条对角线的正方形AEBF．
18. (本小题5.0分)
已知小王家、体育中心、新华书店在同一直线上.如图所示的图象反映的过程是：小王骑电动车从家出发去体育中心锻炼身体.当他骑了一段路时，突然想起要帮弟弟买书，于是原路返回到刚才经过的新华书店(不考虑电动车掉头的时间)，买到书后继续前进并到达体育中心.请根据图象回答下列问题：
(1)体育中心到小王家的距离是______ 米.
(2)第20分钟时，他在______ (地点)，他在这个地方停留了______ 分钟．
(3)买到书后，小王从新华书店到体育中心骑车的平均速度是多少？

19. (本小题8.0分)
如图，DB//AC，AC=2DB，E是AC的中点．

(1)求证：DE=BC；
(2)连接AD、BE，在不添加辅助线的情况下，请直接写出与△ABD面积相等的所有三角形．
20. (本小题8.0分)
一本好书往往能改变人的一生，在学校组织的“读书周”活动期间，同学们掀起了读书的热潮.各班读书的同学越来越多了，同学们的阅读量也增加了不少.下面是小欢同学调查的八(8)班全体同学在“读书周”活动期间阅读图书的册数情况统计图：

请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题：
(1)该班有学生______ 人.
(2)请补全条形统计图；
(3)这组数据的中位数是多少？
(4)若该校共有4000名学生，请你估计这个学校阅读了5册图书的学生人数．
21. (本小题8.0分)
观察下列含有规律的式子：① 1+13=2 13，② 2+14=3 14，③ 3+15=4 15，…根据你发现的规律，完成下面各题：
(1)按照这个规律，写出第④个式子：______ ；
(2)若式子 a+1b=8 1b(a、b为正整数)符合以上规律，则 a+b= ______ ；
(3)请你用含有正整数n的式子，表示出你所发现的规律：______ ；
(4)请你通过计算，验证：当n=20时，对应的式子是正确的．
22. (本小题9.0分)
如图，是一种学生双肩背包，其背带由固定带、活动带和调节扣构成.使用时，可以通过调节调节扣使背带的总长度(固定带与活动带使用部分的长度总和，其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短.设活动带未使用部分的长度为x cm，背带的总长度为y cm，经测量，得到如下数据：(说明：本题只讨论一条背带)
活动带未使用部分的
长度x(cm分)
5
10
15
20
…
30

背带的总长度y(cm)
65
60
55
m
…
n
(1)根据表中数据的规律，填空：m= ______ ，n= ______ ；
(2)当5≤x≤30时，求y关于x的函数解析式；
(3)在下面的平面直角坐标系中，请直接画出(2)中的函数图象；
(4)根据小敏的身高和习惯，背带的总长度为52cm时，背起来最合适，请求出此时活动带未使用部分的长度．


23. (本小题9.0分)
如图，直线y=kx+b(k≠0)交两坐标轴于点A(4,0)，B(0,3).(1)求直线y=kx+b的解析式；
(2)点C的坐标为(−3,−1)，连接BC.证明：AB⊥BC，且线段AB=BC；
(3)在(2)的条件下，点D为平面直角坐标系内一点，当四边形ABCD为正方形时，请直接写出点D的坐标．

24. (本小题12.0分)
【问题背景】在学完菱形的知识之后，小彬对菱形进行了研究：如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是射线AC上一点，F是BC的延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF．

【问题发现】(1)如图1，当E是对角线AC的中点时，小彬发现有：BE=EF.请你证明他的发现是正确的．
【类比探究】(2)如图2，若E是对角线AC上任意一点时，问题(1)中的结论是否还成立？请说明理由．
【拓展应用】(3)如图3，若E是线段AC延长线上任意一点，连接AF，其他条件不变，∠1=30°，AB=2，请求出AF的长度．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：若 a−1有意义，则a−1≥0，
解得：a≥1．
故选：A．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．

2.【答案】D 
【解析】解：A、32+42=52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
B、62+82=102，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
C、52+122=132，是正整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意．
D、42+52≠62，不是勾股数，此选项符合题意；
故选：D．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．

3.【答案】C 
【解析】解：∵这组数据3、4、x、5、6的众数是3，
∴x=3．
故选：C．
根据众数的定义即可确定x的值．
本题考查众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据为众数．

4.【答案】A 
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象过一、三象限，
∴k>0，
∵函数的图象与y轴的正半轴相交，
∴b>0．
故选：A．
先根据一次函数y=kx+b的图象过一、三象限可知k>0，由函数的图象与y轴的正半轴相交可知b>0，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0时，函数图象过一、三象限，当b>0时，函数图象与y轴的正半轴相交．

5.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°,CD=AB=6,OD=12BD．
在Rt△BCD中，BD= CD2+BC2= 62+82=10．
∴OD=12BD=5．
又∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF=12OD=2.5．
故选：C．
先根据四边形ABCD是矩形可知∠BCD=90°,CD=AB=6；OD=12BD；然后在Rt△BCD中由勾股定理求出BD的长度，再得到OD的长度．最后在△AOD中运用三角形中位线定理得出EF的长度即可．
本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识点，灵活运用相关性质、定理是解答本题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：根据表中信息可知各小组数据的组中值，月节水量的组中值为：2，3，4，
于是样本平均节水量=2×6+3×15+4×930=3.1(吨)，
∴600户家庭的总节水量=3.1×600=1860(吨)，
故选：D．
先确定各组数据的组中值，再利用样本平均节水量来估计600户家庭的节水总量．
本题考查样本估计总体思想和用频数分布组中值求加权平均数．

7.【答案】3 
【解析】解：∵函数y=3xm−2是正比例函数，
∴m−2=1，解得：m=3，
则m的值是：3．
故答案为：3．
直接利用正比例函数的定义分析得出即可．
此题主要考查了正比例函数的定义，正确得出关于m的等式是解题关键．

8.【答案】4 
【解析】解：∵ 5与 a+1是同类二次根式，∴ a+1= 5．
∴a+1=5．
∴a=4．
故答案为：4．
根据最简二次根式与同类二次根式的定义解题即可．
本题考查最简二次根式与同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．

9.【答案】乙 
【解析】解：x甲−=14(197+213+209+196)=203.75，x乙−=14(205+203+202+205)=203.75，
S甲2=14[(197−203.75)2+(213−203.75)2+(209−203.75)2+(196−203.75)2]=5 382，
S乙2=[(205−203.75)2+(203−203.75)2+(202−203.75)2+(205−203.75)2]= 1034；
∵S甲2>S乙2，
∵乙的跳绳成绩波动较小，而两人的平均成绩又相同，
∴选乙参加比赛更合适．
故答案为：乙．
观察两人的数据可以判断出两人跳绳成绩波动的大小，再结合两人的平均成绩相同，最后根据数据的波动越小，成绩就越稳定．解题即可．
本题考查方差的理解与应用，熟知方差越小，一组数据波动越小，这组数据就越稳定是解题关键．

10.【答案】(x−3)2+64=x2 
【解析】解：设绳索长为x尺，可列方程为(x−3)2+64=x2，
故答案为：(x−3)2+64=x2
设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

11.【答案】x>1 
【解析】解：∵点A在直线y=2x上，当y=2时，得x=1．
∴A(1,2)
由图象可得：不等式kx+b<2x的解集为x>1，

故答案为：x>1．
先根据点A在直线y=2x上，求出点A的坐标．再根据两直线相交于点A并结合点A的坐标观察图象可得：当不等式kx+b<2x时，其图象在直线x=1的右侧．即可解题．
本题考查一元一次不等式与函数图象之间的关系，掌握一次函数图象的性质，利用数形结合思想解题是关键．

12.【答案】5 2或4 5或3 10 
【解析】解：设AB=9cm，AD=8cm．
(1)如图①所示，当AE=AF=5cm时，EF为底边．
∴EF= AE2+AF2= 52+52=5 2(cm)．

(2)如图②所示，当DE=EF=5cm时，DF为底边．
根据题意可知AE=AD−DE=8−5=3(cm)．
∴AF= EF2−AE2= 52−32=4(cm)．
∴DF= AD2+AF2= 82+42=4 5(cm)．

(3)如图③所示，当DF=EF=5cm时，DE为底边．
根据题意可知CF=CD−DF=9−5=4(cm)．
∴CE= EF2−CF2= 52−42=3(cm)．
∴DE= CD2+CE2= 92+32=3 10(cm)．

综上所述，等腰三角形的底边为5 2cm或4 5cm或3 10cm．
故答案为：5 2或4 5或3 10．
等腰三角形腰的位置不明确，需要根据勾股定理分三种情况分别计算底边的长度：(1)两腰在矩形相邻的两边上；(2)一腰在矩形的宽上；(3)一腰在矩形的长上．
本题主要考查勾股定理，能够根据题意进行分类讨论是解题的关键．

13.【答案】解：(3 12−6 13)÷ 3
=3 12÷ 3−6 13÷ 3
=3 4−6 19
=6−2
=4． 
【解析】利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

14.【答案】y=100−7x 
【解析】解：(1)∵每餐吃饭的费用为7元．设吃饭的餐数为x餐，饭卡里剩下的钱y=100−7x，
故答案为：y=100−7x．
(2)当x=8时，y=100−7×8=44(元)．
(1)根据销题意小玲的饭卡里存有100元钱，她每餐吃饭的费用为7元．设吃饭的餐数为x餐，饭卡里剩下的钱为y元，列出y与x的解析式；
(2)把x=8代入解析式，求出y的值即可．
本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

15.【答案】小强  83.8 
【解析】解：(1)小华的综合成绩为80×20%+80×40%+88×40%=83.2(分)，
小强的综合成绩为75×20%+80×40%+92×40%=83.8(分)，
83.2<83.8，
∴这两人中综合成绩更高的同学是小强，他的综合成绩是83.8分．
故答案为：小强，83.8；
(2)80×2+80×3+88×52+3+5=84(分)．
即小华的综合成绩为84分．
(1)根据加权平均数的定义分别求出这两人的综合成绩，即可求解；
(2)根据加权平均数的定义即可求出小华的综合成绩．
本题考查了加权平均数的概念，牢记公式是解答本题的关键，难度不大．

16.【答案】解：∵∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，有AB= AC2+BC2= 42+32=5．
在△ABD中，∵AB2+BD2=52+122=25+144=169，AD2=132=169，
∴AB2+BD2=AD2．
∴△ABD是直角三角形，且∠ABD=90°．
∴S△空=S△ABD−S△ABC=5×122−3×42=30−6=24(m2)
答：空地的面积是24m2． 
【解析】先在Rt△ABC中利用勾股定理求得AB的长，再由AB、BD、AD的长度关系利用勾股定理的逆定理可证得△ABD为Rt△，且AD为斜边．最后根据四边形ACBD由Rt△ABD和Rt△ABC构成，即可求解．
本题考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．

17.【答案】解：(1)如图①所示，四边形ABCD即为所求；
∵AD=BC，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
S四边形ABCD=3×6=18；
(2)如图②所示，四边形AEBF即为所求；
∵AE2=BE2=AF2=BF2=42+22=20，AB2=22+62=40，
∴AE=BE=BF=AF，AE2+BE2=AB2，
∴∠AEB=90°，
∴四边形AEBF是正方形． 
【解析】(1)根据平行四边形的判定以及面积计算公式解题即可；
(2)根据正方形的对角线的判定定理，勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可．
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，正方形的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用所学知识是解题的关键．

18.【答案】4800  新华书店(或书店)  8 
【解析】解：(1)根据图象可知：小王家离体育中心的距离是4800米；
(2)由图象可知：第20分钟时，他在新华书店；
他在新华书店停留的时间是24−16=8(分钟)；
(3)小王从新华书店到体育中心的路程为4800−3000=1800米，
所用时间为28−24=4分钟，故其平均速度是：1800÷4=450(米/分)．
(1)根据函数图象可直接得出答案；
(2)由函数图象可知：第16～24分钟，小王在新华书店买书；
(3)找到对应时段的函数图象，根据速度=路程÷时间，即可解答．
本题主要考查学生对函数图象的读图能力，仔细观察函数图象是关键．

19.【答案】(1)证明：∵E是AC的中点，
∴AC=2CE．
∵AC=2DB，
∴DB=CE．
又∵DB//AC，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴BC=DE．
(2)解：与△ABD面积相等的有△ADE，△DBE，△ABE，△BCE．
理由：∵四边形DBCE是平行四边形，
∴△DBE与△BCE的面积相等．
又∵AE=EC，DB//AC，
∴△ADE与△ABE、△CBE的面积相等，△ABD与△DBE的面积相等．
∴与△ABD面积相等的有△ADE，△DBE，△ABE，△BCE四个． 
【解析】(1)证明四边形DBCE是平行四边形即可；
(2)根据同底等高的三角形面积相等可得结论．
本题考查平行四边形的性质和判定、等高模型、两平行线之间的距离等知识，掌握平行四边形的性质是解题的关键．

20.【答案】50 
【解析】解：(1)∵阅读2册的人数有15人，占30%，
∴该班学生人数为15÷30%=50(人)，
故答案为：50．
(2)根据题意可知，阅读4册的人数为：50−(10+15+7+5)=13(人)，
补全统计图后如答题图所示：

(3)∵该班总人数为50人，
∴中位数排在第25位与第26位，对应数据分别为2和4，
∴中位数为：2+42=3；
(4)4000×750=560(人)．
答：估计阅读5册的人数有560人．
(1)由阅读2册人数及其所占百分比可得；
(2)由总人数以及其他四项人数可得；
(3)由中位数的定义可得；
(4)用4000乘以阅读5册人数的占比可得．
本题考查统计图的识图、作图能力，以及求样本总数，中位数，样本估计总体，掌握从图表中提取有用信息进行计算是解题的关键．

21.【答案】 4+16=5 16  4  n+1n+2=(n+1) 1n+2 
【解析】解：(1)由规律可得第4个式子为： 4+16=5 16．
(2)由 a+1b=8 1b并结合规律，得到a=7、b=9．
∴原式=4．
(3)总结一般性规律得到：
n+1n+2=(n+1) 1n+2．
(4)当n=20时，有 20+122=21 122．
∵左边= 20×22+122= 44122，右边=. 44122．
∴左边=右边．
∴当n=20时，对应的式子是正确的．
观察①、②、③三个式子，我们可以发现：等式左边根号里面是一个整数加上一个分数，而且这个整数与等式的序号相同，分数的分子是1，分母比整数多2；等式右边根号外面的整数比等式的序号多1，根号里面的分数就是等式左边的分数．
(1)根据以上规律，可得第4个式子；
(2)利用得出的规律求出a与b的值，代入原式计算即可；
(3)归纳总结得到一般性规律，写出即可；
(4)先把n=20代入(3)中的等式，再将等式左右两边的式子化简即可验证．
本题考查数字变化类的规律探索问题以及二次根式的运算．

22.【答案】50  40 
【解析】解：(1)观察表格可知，y是x的一次函数，设y=kx+b，
则有5k+b=6510k+b=60，
解得k=−1b=70，
∴y=−x+70．
当x=20时，m=50，当x=30时，n=40；
故答案为：m=50，n=40；
(2)当5≤x≤30时，y关于x的函数解析式为y=−x+70；
(3)图象如下图：


(4)由题意当y=52，
∴52=−x+70，
∴x=18，
∴活动带未使用部分的长度为18cm．
(1)观察表格可知，y是x的一次函数，设y=kx+b，利用待定系数法即可解决问题；
(2)列出方程组即可解决问题；
(3)由题意当y=0，x=130，当x=0时，y=65，可得65≤a≤130．
本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

23.【答案】解：(1)∵直线y=kx+b经过点A(4,0)，B(0,3)，
∴4k+b=0b=3.解得k=−34b=3．
∴直线的解析式为y=−34x+3．
(2)方法一：如图1，过点C作CE⊥y轴于E．
可得△ABO与△BCE都是Rt△，∠C+∠CBE=90°．
∵A(4,0)，B(0,3).C(−3,−1)，
∴OB=CE=3，BE=OA=4．
∴AB= OB2+OA2= 32+42=5，
BC= CE2+BE2= 32+42=5．
∴AB=BC．
∴△ABO≌△BCE．
∴∠C=∠ABO．
∴∠ABO+∠CBE=90°，即∠ABC=90°．
∴AB⊥BC

方法二：如图2，连接AC．
∵A(4,0)，B(0,3).C(−3,−1)，
∴AB= OB2+OA2= 32+42=5；
BC= 32+(3+1)2=5；
AC= 12+(3+4)2=5 2．
∴AB=BC，AB2+BC2=AC2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴AB⊥BC，且AB=BC．


方法三：由方法一可知：AB=BC．
设直线BC的解析式为y=mx+n，可得
∴−3k+b=−1b=3解得k=43b=3．
∴直线BC的解析式为y=43x+3．
又∵直线BC与AB的解析式的一次项系数的积=43×(−34)=−1．
∴AB⊥BC．
(3)方法一：如图3．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB//CD，AB=CD；AD//BC，AD=BC．
∵将点B(0,3)向右平移4个单位，
再向下平移3个单位
可得到点A(4,0)．
∴将C(−3,−1)同样平移
可得点D(1,−4)．

也可以根据点B平移到点C的平移方式，由点A平移得出点D的坐标．
方法二：如图4.∵四边形ABCD为正方形．
∴AB//CD，AD//BC．
∵直线AB的解析式为y=−34x+3．
∴设直线CD的解析式为y=−34x+p．
又∵直线CD经过点C(−3,−1)．
∴p=−134．
∴直线CD的解析式为y=−34x−134．
同理可得，直线AD的解析式为y=43x−163．
∵点D是直线CD与直线AD的交点，
∴有y=−34x−134y=43x−163解得x=1y=−4∴点D(1,−4)．
也可以用类似的垂直法得出点D的坐标．

方法三：如图5.连接AC、BD，两线交于点H
∵四边形ABCD为正方形．
∴点H是AC的中点，也是BD的中点．
∵A(4,0)，C(−3,−1)，
∴点H(−3+42,−1+02)．
即点H(12,−12)．
又∵B(0,3).∴点D(1,−4)．

方法四：如图6.过点D作DN⊥x轴于点N．
可证得Rt△ABO≌Rt△DAN．
得到AN=OB=3，DN=OA=4．
∴ON=1．
∴点N在x轴的正半轴．
∴点D在第四象限．
∴点D(1,−4)．
 
【解析】(1)待定系数法求直线解析式即可求解；
(2)如图，过点C，作CE⊥y轴于E，得出△ABO≌△BCE，解答即可；
(3)根据一次函数的平移可得BD的解析式，同理可得，直线AD的解析式，组成方程组即可求解．
本题考查一次函数的综合运用．待定系数法求解析式，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，两直线平行、垂直、交点坐标等知识．

24.【答案】解：(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC．
又∵∠ABC=60°．
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=60°．
∵E是AC的中点，
∴∠CBE=12∠ABC=30°,AE=CE．
又∵CF=AE，
∴CE=CF．
∴∠F=∠CEF=12∠BCA=30°
∴∠CBE=∠F=30°．
∴BE=EF．
(2)结论依然成立．理由如下：
方法一：如答题图2①所示，过点E作EG//BC交AB于点G，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
又∵∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形．
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∵EG//BC．
∴∠AGE=∠AEG=60°．
∴△ABC与△AGE是等边三角形．
∴∠AGE=∠ACB=60°，AE=GE=AG，AB=AC．
∴∠BGE=∠ACF=120°.AB−AG=AC−AE.即BG=CE．
又∵CF=AE，
∴CF=GE，
∴△BGE≌△ECF．
∴BE=EF．
方法二：如答题图2②所示，连接DE、DF．

∵AC为菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，
∴BE=DE，∠DAE=∠DCF=60°.(对称性)
又∵DA=CD，AE=CF．
∴△ADE≌△DCF．
∴DF=DE，∠ADE=∠CDF．
∵∠ADE+∠EDC=60°
∴∠CDF+∠EDC=60°，即∠EDF=60°．
∴△DEF为等边三角形．
∴EF=ED．
∴EF=BE．
(3)法一：如答题图3①所示，过点E作EP//BC交AB的延长线于点P．
与(2)同理有：△ABC、△APE是等边三角形．

∴∠ABC=∠ACB=∠P=60°．
∵∠1=30°
∴∠ABE=∠ABC+∠1=60°+30°=90°．
∴BE⊥AP．
∴∠2=90°．
∴∠3=∠ACB−∠1=60°−30°=30°．
∠4=180°−∠P−∠2=180°−60°−90°=30°．
在Rt△ABE中，∵∠3=30°．
∴AE=2AB=4．
∴BE= AE2−AB2= 42−22=2 3．
又与(2)同理可得△BPE≅△ECF．
∴∠5=∠2=90°,EF=BE=2 3，
∴在Rt△AEF中，
AF= AE2+EF2= 42+(2 3)2=2 7．
方法二：也可再过点A作AN⊥BC于点N.(如答题图3②)在Rt△ANC中，

求得NC=NB=12BC=12×2=1，
AN= AB2−NB2= 22−12= 3．
再由△APE是等边三角形，与(2)同理证得△BPE≌△ECF．
∴CF=PE=AE=4．
∴NF=NC+CF=5．
在Rt△ANF中，AF= AN2+NF2= ( 3)2+52=2 7．
方法三：如答题图3③

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°．
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=2，∠ABC=∠BAC=∠2=60°..
又∵∠1=30°．
∴∠ABE=∠ABC+∠1=60°+30°=90°．
∴∠3=∠2−∠1=60°−30°=30°．
在Rt△ABE中，∵∠3=30°
∴AE=2AB=4．
∴BE= AE2−AB2= 42−22=2 3．
∴CE=AE−AC=4−2=2．
∴CE=AB．
又∵∠4=∠2．
∴∠BAC=∠4=60°．
又∵CF=AE，
∴△BAE≌△ECF．
∴∠5=∠ABE=90°,EF=BE=2 3．
∴在Rt△AEF中，
AF= AE2+EF2= 42+(2 3)2=2 7． 
【解析】(1)由菱形的性质和∠ABC=60°得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA=60°.由等边三角形的性质和E是AC的中点，CF=AE，得出CE=CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE=∠F，即可得出结论．
(2)过点E作EG//AB交AB于点G.由(1)中的△ABC是等边三角形，可证得△AGE是等边三角形，得出AG=AE=GE，∠AGE=60°.然后由SAS证得△BGE≌△ECF，即可得出结论．
(3)法一：过点E作EP//BC交AB的延长线于点P.与(2)同理有：△ABC、△APE是等边三角形，再结合∠1=30°，可得∠ABE=∠2=90°，∠1=∠3=∠4=30°.在Rt△ABE中，可得AE=2AB=4,BE=2 3，又由(2)可知△BPE≌△ECF.得到∠5=∠2=90°,EF=BE=2 3，最后，在Rt△AEF中由勾股定理可得AF的长度．法二：在法一辅助线基础上，再过点A作AN⊥BC于点N.(如答题图3②)在Rt△ANC中，求得NC=NB=1，AN= AB2−NB2= 3.与(2)同理证得△BPE≌△ECF.CF=PE=AE=4.NF=NC+CF=5.在Rt△ANF中，AF= AN2+NF2=2 7.方法三：如答题图3③，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°.可证得∠3=30°，Rt△ABE中，BE= AE2−AB2=2 3，得CE=AE−AC=2，CE=AB.可证△BAE≌△ECF，得∠5=∠ABE=90°,EF=BE=2 3.Rt△AEF中，AF= AE2+EF2=2 7．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识．