初中数学浙教版七年级上册第2章 有理数的运算2.4 有理数的除法一课一练

这是一份初中数学浙教版七年级上册第2章 有理数的运算2.4 有理数的除法一课一练，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2.4有理数的除法培优


一、单选题
1．已知abc＜0，a＋b＋c＞0，且，则x的值为（ ）
A．0 B．0或1 C．0或－2或1 D．0或1或－2或－6
【答案】A
【分析】
由abc＜0，a＋b＋c＞0，可得a、b、c三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，由此可得a、b、c的符号有三种情况（a＜0，b＞0，c＞0或a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0），再根据绝对值的性质分三种情况求得x的值即可解答.
【详解】
∵abc＜0，a＋b＋c＞0，
∴a、b、c三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，
∴a＜0，b＞0，c＞0或a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0，
当a＜0，b＞0，c＞0时，ab＜0，ac＜0，bc＞0，
∴
=
；
当a＞0，b＜0，c＞0时，ab＜0，ac＞0，bc＜0，
∴
=
；
当a＞0，b＞0，c＜0时，ab＞0，ac＜0，bc＜0，
∴
=
.
综上，当abc＜0，a＋b＋c＞0时， =0.
故选A.
【点睛】
本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到a、b、c的符号有三种情况（a＜0，b＞0，c＞0或a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0）是解决问题的关键.
2．如果两个数的和是正数，商是负数，那么这两个数的积是（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．以上三种结论都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两个数的积是负数得到两个数异号，而两个数的和是正数，由此即可判定这两个数的符号.
【详解】
解：∵两个数的商是负数，
∴两个数异号，而两个数的和是正数，
∴正数的绝对值大于负数的绝对值.
∴这两个数的积是负数.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了有理数的运算法则，解题关键是利用有理数的运算法则判定两个数的符号.
3．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（ ）
A．3 B．﹣2 C． D．
【答案】C
【分析】
分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．
【详解】
∵a1＝3，
∴a2＝＝﹣2，
a3＝，
a4＝，
a5＝，
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴a2019＝a3＝．
故选：C．
【点睛】
本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
4．已知表示两个非零的实数，则的值不可能是（ ）
A．2 B．–2 C．1 D．0
【答案】C
【详解】
∵当时，；当时，；
当时，；当时，；
∴①当时，；
②当时，；
③当时，；
④当时，；
∴综上所述，的值可能为2，-2，0，不可能为1.
故选C.
点睛：（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；（2）分情况讨论时，虽然③④两种情况在本题中的计算结果是一样的，但在分类讨论时，还是要分为两种.
5．下列等式或不等式中：①；②；③；④，表示a、b异号的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
根据有理数的加法、乘法、绝对值运算、除法逐个判断即可得．
【详解】
①当时，，但同号；
②，则异号；
③当时，，但同号；
④因为，
所以分以下四种情况：
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
则只有当异号时，；
综上，表示异号的个数有2个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的加法、乘法、绝对值运算、除法，较难的是题④，正确分四种情况讨论是解题关键．
6．若a、b都是有理数且都不为零，则式子 值为（　　）
A．0或﹣2 B．2或﹣2 C．0或2 D．0或±2
【答案】D
【解析】
试题解析：分情况讨论：
①a＞0，b＞0；
则式子=1﹣1=0，
②a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，
则式子=1﹣（﹣1）=2或式子=﹣1﹣1=﹣2
③a＜0，b＜0，
则式子=﹣1﹣（﹣1）=0．
所以式子的值是2，0或﹣2．
故选D．
7．式子的值等于（ ）
A． B． C．或 D．3或1
【答案】C
【解析】
由题意可知：a、b、c的值都不为0.
当时，；当时，；即的值为1或-1.
同理可得：的值为1或-1，的值为1或-1；
因此原式的值共有以下四种情况：
（1）当三个式子的值都为1时，原式=3；
（2）当三个式子的值都为-1时，原式=-3；
（3）当三个式子中有两个的值为1，一个的值为-1时，原式=1；
（4）当三个式子中有两个的值为-1，一个的值为1时，原式=-1；
综上所述，的值为或.
故选C.
8．已知a，b，c为有理数，且，，则的值为（ ）
A．1 B．或 C．1或 D．或3
【答案】A
【分析】
先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a，b，c中应有奇数个负数，进而可将a，b，c的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a，b，c的符号只能为1负2正，然后化简即得．
【详解】
∵
∴a，b，c中应有奇数个负数
∴a，b，c的符号可以为：1负2正或3负
∵
∴a，b，c的符号为1负2正
令，，
∴，，
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则，利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关键．


二、填空题
9．在数轴上有理数a，分别用点A，A1表示，我们称点A1是点A的“差倒数点”．已知数轴上点A的差倒数点为点A1；点A1的差倒数点为点A2；点A2的差倒数点为点A3…这样在数轴上依次得到点A，A1，A2，A3，…，An．若点A，A1，A2，A3，…，An在数轴上分别表示的有理数为a，a1、a2、a3、…，an．则当a时，代数式a1+a2+a3+…+a2020的值为______．
【答案】
【分析】
先根据已知求出各个数，根据求出的数得出规律，即可得出答案．
【详解】
解：∵a，
∴，
∴，
∴，
∴，
…，
∵2020÷3＝673……1，
∴
∴a1+a2+a3+…+a2020

故答案为：．
【点睛】
本题考查了数轴和有理数的计算，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
10．三个有理数a、b、c满足abc>0，则的值为________．
【答案】3或－1
【分析】
a、b、c为三个非零有理数，若，则a、b、c中有两个为负数或者三个都是正数，分两种情况进行讨论即可．
【详解】
a、b、c为三个非零有理数，若，则a、b、c中有一个为负数或者三个都是负数，
若a、b、c中有两个为负数，则原式
a、b、c三个都是正数，则原式
故答案为3或－1．
【点睛】
考查有理数的乘法以及绝对值的化简，注意分类讨论，不要漏解．
11．对于有理数a、b，定义运算“”如下：，试比较大小______(填“＞”“＜”或“＝”)．
【答案】＜
【详解】
试题分析：定义新运算题目，关键是理解未知符号和已知符号的等价性
试题解析：=，
，
＜.
点睛：定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
12．拓展探索：有若干个数，第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，若，从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，如：，…如此计算，_______，______；根据你的推断，_______．
【答案】； ； ．
【分析】
先计算出，的值，再根据特殊情况确定3个一循环即得．
【详解】
∵
∴
∴
∴数据3个一循环
∵
∴
故答案为：，，．
【点睛】
本题是规律题，主要考查了有理数的加减乘除混合运算，解题关键是通过特殊情况找出数据的周期，将较大数据转化为较小数据．
13．若|m|＝1，|n|＝2，且|m＋n|＝m＋n，则＝________．
【答案】±2
【分析】
由绝对值的性质可求解对应的m，n值，再分别代入计算即可求解．
【详解】
∵|m|=1，|n|=2，
∴m=±1，n=±2，
∵|m+n|=m+n，
∴m=1，n=2或m=-1，n=2，
∴当m=1，n=2时；
当m=-1，n=2时，．
故答案为2或-2．
【点睛】
本题主要考查有理数的除法，绝对值的性质，确定m、n值时解题的关键．
14．计算：_______ ．
【答案】
【详解】
=，得_______
根据 除数=被除数商=（-16）（-15）=.

三、解答题
15．计算：（-12）÷（-4）÷（-3）÷（-3）．
【答案】
【解析】
（-12）÷（-4）÷（-3）÷（-3）
=
=．
16．已知++=-1,试求+++的值.
【答案】0.
【解析】
试题分析：已知++=-1,说明a、b、c三数中有两负一正.所以
因为++=-1，所以a，b，c中有两个负数、一个正数.因此可以分情况讨论a、b、c的取值，求出+++的值均为0.
①若a<0，b<0，c>0，则ab>0，bc<0，ca<0，abc>0，所以原式=1-1-1+1=0；
②若a<0，b>0，c<0，则ab<0，bc<0，ca>0，abc>0，所以原式=（-1）-1+1+1=0.
其他几种情况同理可推得ab，bc，ca，abc中有两个正数、两个负数.
所以+++=0.
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1);(2);(3);(4)1;(5)－2;(6)－14
【详解】
试题分析：（1）（2）（3）利用带分数的性质，把复杂的数写成两个数的和，再用乘法分配律计算；（4）（5）（6）把乘数运算，带分数，统一成假分数的乘积形式，约分求解.
试题解析：(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
18．阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣.
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣＝∣b∣＝∣a-b∣；

当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣= =∣a-b∣；

如图3，当点A、B都在原点的左边，
∣AB∣＝∣OB∣-∣OA∣＝∣b∣-∣a∣==∣a-b∣；

如图4，当点A、B在原点的两边，
∣AB∣＝∣OB∣+∣OA∣＝∣a∣+∣b∣= =∣a-b∣；

回答下列问题：
（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和－3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是－4，则点A和B之间的距离是 ，若∣AB∣＝3，那么x为 ；
（3）当x是 时，代数式；
（4）若点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，点Q与点P 相距1个单位？（请写出必要的求解过程）
【答案】（1）5 ；5（2） ；-7或-1（3）-4或3（4）；
【解析】
试题分析：
（1）由阅读材料内容可知：若数轴上任意两点A、B所表示的数分别为：a、b，则A、B两点间的距离，由此可计算本题答案；
（2）同（1）可解得第一空的答案；根据（1）中的公式和绝对值的意义，可列方程解得第二空的答案；
（3）由阅读材料可知：表示在数轴上表示数“x”的点到表示数“-2”和数“1”这两个点的距离之和等于7，我们分、和三种情况来化简式子就可求得“x”的值；
（4）由题意可知：点A表示的数为“-1”，点B表示的数是“9”，则由已知可得：，，当P与Q相距1个单位长度时，要分点Q在点P右边和点Q在点P左边两种情况来讨论，如图1和图2，列出方程可求解；

试题解析：
（1）∵，
∴两空都应填“5”；
（2）∵数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是－4，
∴；
又∵，
∴，即，解得：或；
（3）由阅读材料可知：表示在数轴上表示数“x”的点到表示数“-2”和数“1”这两个点的距离之和等于7，所以要我们分、和三种情况来讨论：
①当时，可化为：，解得：；
②当时，可化为：，该式子不成立；
③当时，可化为：，解得；；
综上所述：或；
（4）由题意可知：点A表示的数为“-1”，点B表示的数是“9”，则由已知可得：
，，当P与Q相距1个单位长度时，要分点Q在点P右边和点Q在点P左边两种情况来讨论：
①如图1，当Q在P的右边时，由可得：，即，解得：；
②如图2，当Q在P的左边时，由可得：，即，解得；
综上所述：或.
点睛：解第（4）小题时，有两点是我们需要注意的：（1）这类与数轴有关的问题，可以画出相应的图形，采用数形结合的方法进行分析；（2）当两点间的距离确定时，要分P点在Q点的右边和P点在Q点的左边两种情况来讨论.
19．若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，求（a＋b＋cd）m﹣cd的值．
【答案】1或-3．
【解析】
试题分析：
由相反数的定义可知a+b=0；由倒数的定义可知cd=1；由绝对值的定义可知m的值既可以为2也可以为-2. 将待求值的式子中的a+b与cd分别看作一个整体形式代入相应数值，并将m的不同取值分别代入该式求值即可.
试题解析：
因为a，b互为相反数，所以a+b=0，
因为c，d互为倒数，所以cd=1，
因为m的绝对值为2，所以m=2或m=-2.
当m=2时，；
当m=-2时，.
综上所述，(a+b+cd)m-cd的值为1或-3.
点睛：
本题综合考查了相反数，倒数和绝对值的相关知识. 在解决该问题时，不应考虑如何求解所有字母的取值，应该利用整体的思想并结合条件将需要求值的式子分解为几个可以求值的部分从而解决问题. 另外，要特别注意，除零以外绝对值相等的数应有两个，它们互为相反数.
20．已知，，均为非零有理数，且满足，求的值.
【答案】1或-3
【分析】
根据可知，的积为负数，则为两正一负或三负；再利用有理数加法、除法法则计算即可.
【详解】
∵
∴为两正一负或三负
当为两正一负时，
当为三个负数时，
【点睛】
本题考查了绝对值的定义以及有理数乘除法的运算，熟练掌握相关知识点以及分类讨论思想的运用是解题关键.
21．阅读下列材料，并解答问题：
材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如和，即若设a:b=x，则；
材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc；
利用上述材料，请用简便方法计算：.
【答案】-
【解析】
【分析】
根据所给材料，先算÷的值，再根据倒数的定义即可求解．
【详解】
先计算原式的倒数：
÷
=×
=-20+15-5
=-10，
所以原式=.
【点睛】
本题考查了有理数的除法，解答本题的关键是看懂材料，灵活运用运算律简便计算．
22．如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．

（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6（单位：cm），由此可得到木棒长为　　　　　 　cm．
（2）图中A点表示的数是 ，B点表示的数是 ．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
【答案】（1）6；（2）12，18；（3）66岁
【分析】
（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），则此木棒长为6cm；
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，计算即可；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为-38，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为118，可知爷爷的年龄；
【详解】
解：（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），
18÷3=6（cm）
故答案为：6．
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，
6＋6＝12，24－6＝18．
故答案为12，18．
（3）

如图A表示小红现在的年龄，B表示爷爷现在的年龄，那么两人的年龄差就是
[118-（-38）]÷3=156÷3=52，
则爷爷现在的年龄为118-52=66岁．
【点睛】
此题考查了数轴表示数和有理数混合计算．解题的关键是树立数形结合思想，把爷爷与小红的年龄差看做一个整体（木棒AB），而后把此转化为上一题中的问题，难度适中．
23．“火星数”是指一个数等于其各数位数字之和的19倍的正整数，如114＝19×（1＋1＋4）．任意一个自然数m，若m＝a＋b（a≤b，a、b为正整数），其中当最大时，我们称之为m的“最佳分解”，并规定在“最佳分解”时，H（m）＝，如5＝1＋4＝2＋3.则可以为，，因为＜，所以H（5）＝．
（1）判断133和153是否为“火星数”请说明理由．
（2）若一个三位自然数p＝200＋10b＋c（0≤b≤9，0≤c≤9，b、c为整数）为“火星数”，求H（p）的最小值．
【答案】(1)133是 “火星数”； 153不是 “火星数”；理由见解析，（2） ．
【分析】
(1)根据“火星数”的定义判断即可；
(2)根据“火星数”的定义确定P，再根据“最佳分解”的意义求H（p）的最小值．
【详解】
解:(1) ∵133＝19×（1＋3＋3）,
∴133是 “火星数”；
153≠19×（1＋5＋3）,
∴153不是 “火星数”；
(2) 由题意可知，200≤p≤299，
∵19×11=209, 19×12=228, 19×13=247, 19×14=266,19×15=285,
∴p可能为：209,228,247，266,285，
H（209）＝，H（228）＝1，H（247）＝，H（266）＝1，H（285）＝；
∵
∴H（p）的最小值为 ．
【点睛】
本题考查了新定义问题，解题关键是理解题意，准确熟练的进行计算．
24．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，-1的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推．
（1）分别求出，，的值；
（2）计算的值；
（3）计算的值．
【答案】（1），，；（2）－1；（3）－1
【分析】
本题是阅读理解题，（1）根据阅读理解差倒数的含义，利用公式直接计算可以得到答案；（2）利用第（1）的结果进行计算即可得到答案；（3）利用第（1）的结果发现这一列数是循环的，且是3个数循环，所以每这样的3个数的积相等，只要分析好2019个数中有几组这样的3个数就可得到答案．
【详解】
解：（1）根据题意，得：，，；
（2）；
（3）由（1）知，该数列循环周期为3，
所以，
则

．
【点睛】
首先，理解好阅读文段中给出的定义很关键，然后，根据具体情境抽象出规律是解决这一类题的核心钥匙．
25．如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相问，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1、2、3、2、1，从个位到最高位依次出的一串数字仍是：1、2、3、2、1，因此12321是一个“和谐数”.再如22、545、3883、345543、…，都是“和谐数”.
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”：_________________________________；
(2)设四位“和谐数”个位上的数字为a，十位上的数字为b，请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除?并说明理由.
【答案】（1）1221,1331,2552；（2）能；理由见详解.
【分析】
（1）根据题目条件给出的和谐数的定义，注意数字的大小排列顺序，即可写出四位的和谐数，本题答案不唯一；
（2）用十进制将这个和谐数用a和b表示为，可以化简为，结合a,b都是自然数，可以得到能被11整除.
【详解】
（1）四位“和谐数”：1221,1331,2552；
（2）猜想：任意一个四位“和谐数”都能被11整除.
理由如下：
由题意可得：这个四位“和谐数”可表示为，则：

四位“和谐数”能被11整除，
a,b均为任意自然数，
任意四位“和谐数”都可以被11整除.
【点睛】
本题考查的是数的整除，结合整除的性质和形式分解是解题的关键.
26．若a＞0，b＞0，且，则a＞b；若a＜0，b＜0，且，则a＜b．以上这种比较大小的方法，叫做作商比较法．试利用作商比较法，比较与的大小．
【答案】
【详解】
试题分析：把两个数相除，然后和1比较大小
试题解析：因为，，，所以
点睛：最常用比较大小的方法有两种：（1）作差比较法：;(可以是数，也可以是一个式子)（2）作商比较法：若a＞0，b＞0，且，则a＞b；若a＜0，b＜0，且，则a＜b．