2023年山西省百校联考中考数学模拟试卷（四）（含解析）

这是一份2023年山西省百校联考中考数学模拟试卷（四）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山西省百校联考中考数学模拟试卷（四）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −5的绝对值是(    )
A. 15 B. 5 C. −5 D. −15
2. 下列运算正确的是(    )
A. (−2)3=−6 B. x2⋅x3=x6 C. (x3)2=x6 D. 4x2−2x=2x
3. 如图所示几何体均由5个大小相同的小立方体搭成，其中主视图与俯视图相同的是(    )
A. B.
C. D.
4. 国网山西省电力公司数据显示，截至2022年底，山西全省新能源装机容量达4013.52万千瓦，突破4000万千瓦大关，占全省总装机容量的33.23%.数据4013.52万千瓦可用科学记数法表示为(    )
A. 401352×102千瓦
B. 4013.52×104千瓦
C. 4.01352×107千瓦
D. 4.01352×108千瓦
5. 如图，直线a//b，∠1=55°，∠2=90°，则∠3的度数为(    )
A. 35°
B. 40°
C. 45°
D. 55°
6. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何角法，例如可构造如图所示的图形求解方程x(x+2)=15，这一过程体现的数学思想(    )


A. 统计思想 B. 化归思想 C. 分类讨论思想 D. 数形结合思想
7. 如图，反比例函数y1=kx(k≠0)的图象与正比例函数y2=mx(m≠0)的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为−1.当y1>y2>0时，x的取值范围是(    )
A. −1 B. x<−1
C. x>1
D. −11
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC.若AD//BC，∠BAD=70°，则∠AOC的度数为(    )
A. 110°
B. 120°
C. 130°
D. 140°
9. 九年(1)班甲、乙、丙、丁四位同学最近6次信息技术模拟测试成绩(单位：分，满分10分)的平均数和方差如下表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数
9.54
9.55
9.55
9.54
方差
6.7
6.6
6.9
6.9
根据表中数据，成绩好且发挥稳定的同学是(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，以点C为圆心交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为(    )
A. 32π−94 3
B. 34π−98 3
C. 34π
D. 32π
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算( 8+2)( 8−2)的结果为______ ．
12. 在一个不透明的袋子中装有三个编号分别为1，2，3的小球，三个小球除编号外完全相同，小明将袋子中的小球摇匀后从中随机摸出一个并记下编号，然后放回袋中摇匀再从袋子中随机摸出一个小球并记下编号，则两次所摸小球的编号之积为奇数的概率为______ ．
13. 如图，在△ABC中，∠BAC=36°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，连接CC′，当点B的对应点B′落在AC边上时，∠B′CC′的度数为______ ．


14. 春节期间电影《满江红》的公映带火拍摄地太原古县城，太原古县城也因此迎来了前游的高峰期.据了解，今年1月份第一周该景点参观人数约10万人，第三周参观人数加到约25.6万人，这两周参观人数的平均增长率为______ ．


15. 如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿DE翻折得到△DC′E，连接AC′，则AC′的长为______ ．


三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
计算：(−2)2+15+(−3)+(12)−1．
17. (本小题5.0分)
解不等式组2x+5≥3(x+1),amp;①x+12>x3,amp;②并将其解集表示在如图所示的数轴上．


18. (本小题7.0分)
如图，已知AB//CD，且AB=CD，连接BD，作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE.猜想四边形AECF的形状，并说明理由．

19. (本小题7.0分)
闻喜花馍享誉全国，是闻喜人民用当地生产的优质小麦粉，经和面后，采用捏，搓，揉，拽，剪，贴等多道工艺，捏出花果、人物、鸟兽等栩栩如生的形象，再经过蒸制、晾晒、着色制作而成.某展览会上展销闻喜花馍，王阿姨购买了2个A型花馍和3个B型花馍共花费480元，李阿姨购买了3个A型花馍和2个B型花馍共花费520元，分别求出A型、B型花馍的单价．

20. (本小题7.0分)
综合与实践是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，它搭建了课程学习和实践应用之间的桥梁.学校为了解综合与实践活动的开展情况，组织全体学生进行了一次关于“每周参与综合与实践活动情况”的问卷调查，并准备随机抽取200名学生的问卷进行统计分析．
【数据收集】
(1)学校设计了以下四种抽样调查方案：
方案1：在九年级学生中随机抽取200名学生的问卷；
方案2：在七年级学生中随机抽取200名学生的问卷；
方案3：在全校男生中随机抽取200名学生的问卷；
方案4：在全校学生中随机抽取200名学生的问卷；
其中最合理的方案是______ ．
【数据整理】
学校按最合理的方案进行抽样，经过对问卷数据的整理，得到如下结果．
调查主题
xx中学学生每周参与综合与实践活动情况
调查方式
抽样调查
调查对象
xx中学学生
数据的整理与描述
第一项
你每周参与综合与实践活动的时间大约为(每组数据包含第一项最小值，不包含最大值)
A.0−1小时
B.1−2小时
C.2−3小时
D.3小时及以上

第二项
你参加综合与实践活动的类型主要有哪些(可多选)
E.考察探究类
F.设计制作类
G.社会服务类
H.职业体验类

【数据分析】
(2)若该校共有1800名学生，请估计每周参与综合与实践活动不低于2小时的学生人数与选择“考察探究类”的人数．
(3)九年(1)班要根据以上调查结果对全校学生综合与实践活动情况进行分析，假如你是该班的学生，请你结合以上两项调查报告数据分别写出一条通过分析获取的信息．
21. (本小题8.0分)
阅读与思考
下面是小宇同学课外阅读的一则数学材料，请仔细阅读并完成相应任务．
“真分式”与“假分式”
我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：32=1+12在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如x+1x−1,x2x−2…这样的分式是假分式；如x−1x2+1,5x2+2⋯这样的分式是真分式，类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：
将分式x−2x+3化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下：
x−2x+3=(x+3)−3−2x+3=(x+3)−5x+3=1−5x+3
将分式x2+4x−5x+3化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下：
方法1：x2+4x−5x+3=x2+3x+x−5x+3=x(x+3)+(x+3)−8x+3=x+1−8x+3．
方法2：由于分母为x+3，可设x2+4x−5=(x+3)(x+a)+b(a,b为常数)，
∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x2+(a+3)x+(3a+b)，
∴x2+4x−5=x2+(a+3)x+(3a+b)．
∴a+3=43a+b=−5解得a=1,b=−8.
∴x2+4x−5=(x+3)(x+1)−8．
∴x2+4x−5x+3=(x+3)(x+1)−8x+3=(x+3)(x+1)x+3−8x+3=x+1−8x+3．
这样，分式x2+4x−5x+3就被化成了一个整式与一个真分式的和的形式．
任务：
(1)分式2x+3是______ 分式(填“真”或“假”)；将假分式2x+3x化为一个整式与一个真分式的和的形式为______ ．
(2)请将x2+2x−14x−3化为一个整式与一个真分式的和的形式．
(3)若分式x2+2x−14x−3的值为整数，请根据(2)的结果直接写出符合条件的2个x的值．
22. (本小题9.0分)
“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，这些耸立在高山、草原上的“大风车”构成了一道道亮丽的风景线.周日，某校项目学习小组的同学来到郊外山脚下，计划测量一座风力发电机组的塔筒AB的高度.如图，斜坡CB的坡角∠BCE=30°，小颖同学在坡底C处测得塔筒顶端A的仰角为45°，小颖沿坡面CB前行120m到达D处，测得塔筒顶端A的仰角为60°.其中点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内.请根据以上数据求塔筒AB的高度.(结果精确到1m，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)

23. (本小题13.0分)
综合与实践
问题情境
四边形ABCD是边长为5的菱形，连接BD.将△BCD绕点B按顺时针方向旋转得到△BEF，点C，D旋转后的对应点分别为E，F.旋转角为α(0°<α<360°)．
观察思考
(1)如图1，连接AC，当点F第一次落在对角线AC上时，α= ______ ．
探究证明
(2)如图2，当α>180°，且EF//BD时，EF与AD交于点G.试判断四边形BDGF的形状，并说明理由．
拓展延伸
(3)如图3，连接CE.在旋转过程中，当EF与菱形ABCD的一边平行时，且tan∠DAB=34，请直接写出线段CE的长．


24. (本小题14.0分)
综合与探究
如图1，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A(−1,0)，C(0,3).点P是抛物线上的一个动点；
(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线BC的函数表达式；
(2)如图1，当点P在直线BC上方时，连接AP交BC于点E，当PE=12AE时，求点P的坐标．
(3)如图2，连接CP，过点P作QP⊥CP交抛物线的对称轴于点Q.试探究：是否存在一点P使CP=QP.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：−5的绝对值是5，
故选：B．
利用绝对值的定义求解即可．
本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．

2.【答案】C 
【解析】解：A、(−2)3=−8，故A不符合题意；
B、x2⋅x3=x5，故B不符合题意；
C、(x3)2=x6，故C符合题意；
D、4x2与−2x不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

3.【答案】B 
【解析】解：A.主视图的底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形，故本选项不符合题意；
B.主视图与俯视图相同，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形，故本选项符合题意；
C.主视图的底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形；俯视图的底层中间是一个小正方形，上层是三个小正方形，故本选项不符合题意；
D.主视图的底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：B．
据从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题主要考查几何体三视图的画法；用到的知识点为：主视图是从几何体正面看得到的平面图形；左视图是从几何体左面看得到的图形．

4.【答案】C 
【解析】解：4013.52万=40135200=4.01352×107．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5.【答案】A 
【解析】解：如图，

∵∠1=55°，∠2=90°，
∴∠4=180°−∠1−∠2=35°，
∵a//b，
∴∠3=∠4=35°．
故选：A．
由三角形的内角和可求得∠4=35°，再由平行线的性质即可求∠3的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．

6.【答案】D 
【解析】解：这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想．
故选：D．
根据构图的方法解方程，体现数形结合思想．
此题主要考查了一元二次方程的应用，正确掌握数学思想方法是解题关键．

7.【答案】A 
【解析】解：从图象看，当y1>y2>0时，x的取值范围是−1 故选：A．
观察图象，找出反比例函数落在正比例函数图象上方且均在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，这种题目通常不需要解不等式，只需要观察函数图象的位置关系即可．

8.【答案】D 
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠B=180°−∠BAD=110°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D=180°−∠B=180°−110°=70°，
由圆周角定理得∠AOC=2∠D=140°，
故选：D．
根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形求出∠D，根据圆周角定理即可求解．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：∵乙、丙的平均数较大，
∴从乙、丙中选择一人参加竞赛，
∵乙的方差较小，
∴成绩好且发挥稳定的同学是乙，
故选：B．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的同学．
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

10.【答案】C 
【解析】解：连接CD，
∵∠C=90°，∠A=30°，AB=6，
∴∠CBA=90°−∠A=60°，BC=12AB=3，
∴∠DCE=90°−60°=30°，AC= AB2−BC2=3 3，
∵CD=CB，
∴△CBD为等边三角形，
∴∠DCB=60°，
∴S扇形CBD=32×60π360=32π，S扇形CDE=32×30π360=34π，
∵S△BCD= 34BC2=9 34，
∴阴影部分的面积为SABC+S扇形CBD−2S△BCD−S扇形CDE=12×3×3 3+32π−2×9 34−34π=34π.
故选：C．
连接CD，由SABC+S扇形CBD−2S△BCD−S扇形CDE求解．
本题考查扇形的面积，等边三角形的性质和判定，含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形及熟练掌握扇形面积公式．

11.【答案】6 
【解析】解：原式=( 8)2−( 2)2
=8−2
=6．
故答案为：6．
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式的定义是关键．

12.【答案】49 
【解析】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之积为奇数的结果有4种，
故两次所摸小球的编号之积为奇数的概率为49．
故答案为：49．
画树状图，共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之积为奇数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

13.【答案】72° 
【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′=36°，
∴∠B′CC′=180°−36°2=72°，
故答案为：72°．
由旋转的性质可得AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′=36°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．

14.【答案】60% 
【解析】解：设这两周参观人数的平均增长率为x，
根据题意得：10(1+x)2=25.6，
解得：x1=0.6=60%，x2=−2.6(不符合题意，舍去)，
∴这两周参观人数的平均增长率为60%．
故答案为：60%．
设这两周参观人数的平均增长率为x，利用今年1月份第三周该景点参观人数=今年1月份第一周该景点参观人数×(1+这两周参观人数的平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15.【答案】4 105 
【解析】解：如图，连接BC′，CC′，过点C′作C′G⊥AB于点G，
∵正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，
∴BE=CE=2，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得DE= CE2+CD2=2 5，
由翻折可知：DE垂直平分CC′，
∴12DE⋅CH=12CE⋅CD，
∴2 5CH=2×4，
∴CH=4 55，
∴CC′=8 55，
由折叠可得，CE=C′E=BE，
∴△BCC′是直角三角形，
∴BC′= BC2−CC′2=4 55，BC′⊥CC′，
∴∠C′BG=90°−∠CBC′=∠BCC′，
∵∠C′GB=∠CC′B=90°，
∴△C′GB∽△BC′C，
∴BC′BC=C′GBC′=BGCC′，
∴4 554=C′G4 55=BG8 55，
∴C′G=45，BG=85，
∴AG=AB−BG=125，
∴AC′= AG2+C′G2=4 105．
故答案为：4 105．
连接BC′，CC′，过点C′作C′G⊥AB于点G，根据勾股定理可得DE长，再根据DE垂直平分CC′，利用三角形面积求出CH，然后证明△C′GB∽△BC′C，得BC′BC=C′GBC′=BGCC′，求出C′G=45，BG=85，再根据勾股定理求出AC′的长即可．
本题考查了翻折变换，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△C′GB∽△BC′C．

16.【答案】解：(−2)2+15+(−3)+(12)−1
=4+15+(−3)+2
=18． 
【解析】根据有理数的乘方，负整数指数幂，有理数的加法法则计算即可．
本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，有理数的加法等，熟练掌握这些知识是解题的关键．

17.【答案】解：由①得：x≤2，
由②得：x>−3，
把解集在数轴上表示出来为：

∴不等式组的解集为：−3 【解析】先把①②的解集求出，然后把两个解集画在数轴上，判断不等式组的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是求出各个不等式的解集．

18.【答案】解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：
∵AB//CD，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEF=∠CFE=90°，
∴AE//CF，
在△ABE和△CDF中，
∠B=∠D∠AEB=∠CFDAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形． 
【解析】首先利用AAS证明△ABE≌△CDF，得AE=CF，再利用平行四边形的判定定理可得答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

19.【答案】解：设A型花馍的单价为x元，B型花馍的单价为y元，
根据题意，得2x+3y=4803x+2y=520．
解得x=120y=80．
答：A型花馍的单价为120元，B型花馍的单价为80元． 
【解析】设A型花馍的单价为x元，B型花馍的单价为y元．根据“王阿姨购买了2个A型花馍和3个B型花馍共花费480元，李阿姨购买了3个A型花馍和2个B型花馍共花费520元”找到等量关系，列出方程组，并解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组．

20.【答案】方案4 
【解析】解：(1)由抽样调查的可靠性，知应在全校学生中随机抽取200名学生的问卷；
故答案为：方案4；
(2)∵(16%+8%)×1800=432(人)，
∴估计每周参与综合与实践活动不低于2小时的学生人数为432人；
∵40%×1800=720(人)，
∴估计选择“考察探究类”的人数为720人；
(3)第一项获取信息：每周参与综合与实践活动的时间1−2小时的学生超过一半，达56%；(答案不唯一)
第二项获取信息：参加综合与实践活动为社会服务类的人数是职业体验类人数的2倍．(答案不唯一)
(1)根据抽样的可靠性判断即可；
(2)将样本中每周参与综合与实践活动不低于2小时的学生人数比例乘以1800即可作出估计；
(3)结合两项调查报告数据分别写出一条通过分析获取的信息即可．
本题考查数据的获取，整理与描述过程，扇形统计图，条形统计图，抽样的可靠性，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．

21.【答案】真  2+3x 
【解析】解：(1)根据题意可知，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，
∵分式2x+3的分子的次数为0，分母的次数为1，
∴分式2x+3是真分式；
2x+3x=2xx+3x=2+3x．
故答案为：真；2+3x．
(2)x2+2x−14x−3=(x−3)(x+5)+1x−3=(x+5)+1x−3．
(3)由(2)可知，x2+2x−14x−3=(x+5)+1x−3，
∵x为整数，
∴x+5为整数，
∴当1x−3的值为整数时，分式x2+2x−14x−3的值为整数，
∴x−3=±1，
∴x=2或4，
答：x的值为2或4．
(1)根据题中真分式与假分式的定义即可求解；用分子的两项分别除以分母即可求解．
(2)将分子先写成含有(x−3)的式子，然后再将分子分别除以分母即可求解．
(3)根据整数的整除性质即可求解．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式化简的法则是解题的关键．

22.【答案】解：过点D作DH⊥CE，垂足为H，延长AB交CE于点F，过点D作DG⊥AF，垂足为F，

由题意得：AF⊥CE，DH=FG，DG=HF，
设DG=FH=x米，
在Rt△CDH中，∠DCH=30°，CD=120米，
∴DH=12CD=60(米)，CH= 3DH=60 3(米)，
∴DH=FG=60米，CF=CH+HF=(x+60 3)米，
在Rt△ADG中，∠ADG=60°，
∴AG=DG⋅tan60°= 3x(米)，
∴AF=AG+FG=( 3x+60)米，
在Rt△ACF中，∠ACF=45°，
∴AF=CF⋅tan45°=(x+60 3)米，
∴x+60 3= 3x+60，
解得：x=60，
∴CF=AF=(60 3+60)米，
在Rt△BCF中，BF=CF⋅tan30°=(60 3+60)× 33=(60+20 3)米，
∴AB=AF−BF=60 3+60−(60+20 3)=40 3≈69(米)，
∴塔筒AB的高度约为69米． 
【解析】过点D作DH⊥CE，垂足为H，延长AB交CE于点F，过点D作DG⊥AF，垂足为F，根据题意可得：AF⊥CE，DH=FG，DG=HF，然后设DG=FH=x米，在Rt△CDH中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DH和CH的长，从而求出CF的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而求出AF的长，最后在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算可求出CF和AF的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

23.【答案】60° 
【解析】解：(1)如图1，设AC交BD于点O，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=12BD，
∴∠BOF=90°，BD=2OB，
由旋转的性质得：BF=BD，
∴BF=BD=2OB，
∴∠BFO=30°，
∴∠OBF=90°−∠BFO=90°−30°=60°，
∴α=60°，
故答案为：60°；
(2)四边形BDGF为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB=∠BDC，
由旋转的性质得：BD=BF，∠F=∠BDC，
∴∠F=∠ADB，
∵EF//BD，
∴∠F+∠DBF=180°，
∴∠ADB+∠DBF=180°，
∴DG//BF，
∵EF//BD，
∴四边形BDGF是平行四边形，
又∵BD=BF，
∴平行四边形BDGF为菱形；
(3)①如图4，当EF//BC时，

∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，
由旋转的性质得：BE=BC，EF=CD，
∴BC=BE=EF，
∴四边形BCFE是菱形，
过点D作DH⊥AB于点H，
则tan∠DAB=DHAH=34，
设DH=3a，则AH=4a，
由勾股定理得：AD= DH2+AH2= (3a)2+(4a)2=5a，
∵四边形ABCD是边长为5的菱形，
∴AD=AB=5，
∴a=1，
∴DH=3，AH=4，
∴BH=AB−AH=5−4=1，
由勾股定理得：BD= DH2+BH2= 32+12= 10，
∵EF//BC，
∴∠F=∠FBC，
∵EB=EF=BC=5，
∴∠F=∠EBF，
∴∠EBF=∠FBC，
∴BG⊥CE，CE=2EG，
∴BG=12BF，
∵BF=BD= 10，
∴BG=12 10，
∴EG= BE2−BG2= 52−(12 10)2=3 102，
∴CE=2EG=3 10；
②如图5，当EF//AB时，则∠E=∠ABE，

∵AB//CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠BDC=∠F，
∴∠F=∠ABD，
∴∠ABD+∠ABE+∠EBF=∠F+∠E+∠EBF=180°，
∵∠DBC=∠FBE，
∴∠FBE+∠ABE+∠ABD=180°，
∴E、B、C三点共线，
∴CE=BC+BE=5+5=10；
综上所述，CE的长为3 10或10．
(1)设AC交BD于点O，先由菱形的性质得出∠BOF=90°，BD=2OB，再由旋转的性质得BF=BD，则BF=BD=2OB，得∠BFO=30°，即可得出答案；
(2)由菱形的性质得∠ADB=∠BDC，再由旋转的性质得BD=BF，∠F=∠BDC，然后证四边形BDGF是平行四边形，即可得出结果；
(3)分两种情况，①当EF//BC时，先证四边形BCFE是菱形，过点D作DH⊥AB于点H，则tan∠DAB=DHAH=34，设DH=3a，则AH=4a，由菱形的性质求出a=1，则DH=3，AH=4，再由勾股定理得BD= 10，进而由勾股定理求出EG的长，即可得出CE的长；
②当EF//AB时，则∠E=∠ABE，证E、B、C三点共线，即可得出CE的长．
本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和旋转的性质是解题的关键，属于中考常考题型．

24.【答案】解：(1)将A(−1,0)，C(0,3)代入y=−x2+bx+c，
∴−1−b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
当y=0时，−x2+2x+3=0，
解得x=3或x=−1，
∴B(3,0)，
设直线BC的解析式y=kx+3，
∴3k+3=0，
解得k=−1，
∴直线BC的解析式y=−x+3；
(2)过点P作PG//y轴交BC于G，AH//y轴交BC于H点，
∴PG//AH，
∴PEAE=PGAH，
∵PE=12AE，
∴PGAH=12，
设P(t,−t2+2t+3)，则G(t,−t+3)，
∴PG=−t2+3t，
∵A(−1,0)，
∴H(−1,4)，
∴AH=4，
∴PG=2=−t2+3t，
解得t=1或t=2，
∴P(1,4)或(2,3)；
(3)存在一点P使CP=QP，理由如下：
∵CP=QP，
∴△CPQ是等腰直角三角形，
过点P作MN⊥x轴，过点C作CM⊥MN交于M点，过点Q作QN⊥MN交于N点，
∵∠CPQ=90°，
∴∠CPM+∠QPN=90°，
∵∠CPM+∠MCP=90°，
∴∠QPN=∠MCP，
∵CP=PQ，
∴△CPM≌△PQN(AAS)，
∴CM=PN，PM=QN，
设P(m,−m2+2m+3)，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴CM=PN=m，PM=QN=m−1，
∴m−1=3−(−m2+2m+3)，
解得m=3+ 52或m=3− 52(舍)，
∴P(3+ 52,5− 52). 
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)过点P作PG//y轴交BC于G，AH//y轴交BC于H点，则PG//AH，设P(t,−t2+2t+3)，则G(t,−t+3)，可得PG=−t2+3t，再由由PEAE=PGAH=12，得到PG=2=−t2+3t，求出t的值即可求P点坐标；
(3)过点P作MN⊥x轴，过点C作CM⊥MN交于M点，过点Q作QN⊥MN交于N点，证明△CPM≌△PQN(AAS)，设P(m,−m2+2m+3)，根据CM=PN=m，PM=QN=m−1，得到方程m−1=3−(−m2+2m+3)，求出P(3+ 52,5− 52).
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．