高考数学一轮复习教案 第8章_第8节_第2课时_范围、最值问题（含答案解析）

第2课时　范围、最值问题

【例1】　(2018·贵阳监测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为－.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．

[解]　(1)设椭圆的半焦距长为c，

则由题设有

解得a＝，c＝，∴b2＝1，

故椭圆C的方程为＋x2＝1.

(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，

将直线l：y＝kx＋2代入＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，

Δ＝12k2－12，x1＋x2＝，x1x2＝.

∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝，

|AB|＝|x1－x2|＝·

＝＝，

由题意可得解得k4≥13，

即k≥或k≤－.

故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．

(2019·临沂摸底考试)已知点F为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．

[解]　(1)由题意得a＝2c，b＝c，则椭圆E为＋＝1.

由得x2－2x＋4－3c2＝0.

∵直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，

∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，

∴椭圆E的方程为＋＝1.

(2)由(1)得M，

∵直线＋＝1与y轴交于P(0,2)，∴|PM|2＝，

当直线l与x轴垂直时，|PA|·|PB|＝(2＋)(2－)＝1，

∴由λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝，

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，

依题意得x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)＞0，∴k2＞，

∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，

∴λ＝，∵k2＞，∴＜λ＜1，

综上所述，λ的取值范围是.

►考法1　利用几何性质求最值问题

【例2】　在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．

　[双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.]

►考法2　建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值

【例3】　已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

[解]　(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.

又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.

故E的方程为＋y2＝1.

(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.

当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.

从而|PQ|＝|x1－x2|＝.

又点O到直线PQ的距离d＝.

所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.

设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.

因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.

所以，当△OPQ的面积最大时，

l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.

►考法3　建立函数关系利用导数求最值问题

【例4】　(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)－<x<.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值．

[解]　(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，

因为－<x<，

所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．

(2)联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是xQ＝.

因为|PA|＝＝(k＋1)，

|PQ|＝(xQ－x)＝－，

所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.

令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，

因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，

所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.

(2019·邢台模拟)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．

(1)求实数m的取值范围；

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．

[解]　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.

由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.

因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①

将AB的中点M代入直线方程y＝mx＋，

解得b＝－，②

由①②得m＜－或m＞.

故m的取值范围是∪.

(2)令t＝∈∪，则t2∈.

则|AB|＝·，

且O到直线AB的距离为d＝.

设△AOB的面积为S(t)，

所以S(t)＝|AB|·d＝≤，

当且仅当t2＝时，等号成立，此时满足t2∈.

故△AOB面积的最大值为.

(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

[解]　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.

Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.

由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.

因此l的方程为y＝x－1.

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或

因此所求圆的方程为

(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.