高考数学一轮复习教案 第2章_第12节_导数与函数的极值、最值（含答案解析）

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第十二节　导数与函数的极值、最值
[考纲传真]　1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．

1．函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
2．函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极大值一定比极小值大． (　　)
(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件． (　　)
(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． (　　)
(4)x＝0是函数f(x)＝x3的极值点． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
A　[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]
3．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
D　[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0得x＝2，
又0＜x＜2时，f′(x)＜0，
x＞2时，f′(x)＞0.
因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.]
4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)
A．－4 B．－2 C．4 D．2
D　[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2 ∴f(x)在x＝2处取得极小值，
∴a＝2.]
5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．
8　[y′＝6x2－4x，令y′＝0，
得x＝0或x＝.
∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，
f(2)＝8，∴最大值为8.]


利用导数解决函数的极值问题
►考法1　根据导函数图象判断函数的极值
【例1】　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D　[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]　
►考法2　根据函数的解析式求极值
【例2】　已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．
[解]　(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．
x
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
ln 2－1
↘
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值．
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x＞0)，
当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，
即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a＞0时，当x∈时，f′(x)＞0，
当x∈时，f′(x)＜0，
故函数在x＝处有极大值．
综上所述，当a≤0时，函数在定义域上无极值点，
当a＞0时，函数有一个极大值点．
►考法3　已知函数的极值求参数
【例3】　(1)(2019·成都模拟)若函数f(x)＝(x2＋ax＋3)ex在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]　　　　　　B．(－∞，－2)
C．(－∞，－3] D．(－∞，－3)
(2)若函数f(x)＝x(x－a)2在x＝2处取得极小值，则a＝________.
(1)C　(2)2　[(1)f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋3)ex＝[x2＋(a＋2)x＋a＋3]ex.
令g(x)＝x2＋(a＋2)x＋a＋3，
由题意知或
即或解得a≤－3，故选C.
(2)f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x，
∴f′(x)＝3x2－4ax＋a2.
由f′(2)＝12－8a＋a2＝0，解得a＝2或a＝6.
当a＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(x－2)(3x－2)，函数在x＝2处取得极小值，符合题意；当a＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，函数在x＝2处取得极大值，不符合题意，∴a＝2.]
[规律方法]　利用导数研究函数极值的一般流程

设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)．
(1)当a＝1，且函数图象过点(0,1)时，求f(x)的极小值．
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．
[解]　f′(x)＝3ax2－4x＋1.
(1)函数图象过点(0,1)时，有f(0)＝c＝1.
当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＞0，解得x＜或x＞1；令f′(x)＜0，解得＜x＜1.
所以函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增；
在 上单调递减，极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．
①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；
②当a≠0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥.
综上，a的取值范围为.


利用导数求函数的最值
【例4】　(2019·郑州模拟)已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
[解]　(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
－ek－1
↗
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；
当1＜k＜2时，f(x)min＝－ek－1；
当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.
[规律方法]　求函数f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.
已知函数f(x)＝＋kln x，k＜，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
[解]　因为f(x)＝＋kln x，
所以f′(x)＝＋＝.
(1)若k＝0，则f′(x)＝－在上恒有f′(x)＜0，所以f(x)在上单调递减．
所以f(x)min＝f(e)＝，
f(x)max＝f＝e－1.
(2)若k≠0，f′(x)＝＝.
①若k＜0，则在上恒有＜0，
所以f(x)在上单调递减，
所以f(x)min＝f(e)＝＋kln e＝＋k－1，
f(x)max＝f＝e－k－1.
②若k＞0，由k＜，
得＞e，则x－＜0，
所以＜0，
所以f(x)在上单调递减．
所以f(x)min＝f(e)＝＋kln e＝＋k－1，
f(x)max＝f＝e－k－1.
综上，k＜时，f(x)min＝＋k－1，
f(x)max＝e－k－1.

函数极值与最值的综合问题
【例5】　已知函数f(x)＝(a＞0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
[解]　(1)f′(x)＝
＝，
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，
因为ex＞0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，
且f′(x)与g(x)符号相同．
又因为a＞0，所以当－3＜x＜0时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，当x＜－3或x＞0时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，
所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．
(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有
解得a＝1，b＝5，c＝5，
所以f(x)＝.
因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，
所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，
故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，
而f(－5)＝＝5e5＞5＝f(0)，
所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
[规律方法]　求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值
若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是________．
[－3,0)　[由题意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，

令x3＋x2－＝－得，
x＝0或x＝－3，则结合图象可知，
解得a∈[－3,0)．]


1．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1　　　　　　　　 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
A　[函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，
则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1
＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．
由x＝－2是函数f(x)的极值点得
f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)·e－3＝0，
所以a＝－1.
所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．
由ex－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x<－2时，f′(x)>0；
－2 x>1时，f′(x)>0.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点．
所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.
故选A.]
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
[解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为
f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f>2a－2等价于ln a＋a－1<0.
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.
于是，当01时，g(a)>0.
因此，a的取值范围是(0,1)．