2022-2023学年山东省淄博市周村区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

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2022-2023学年山东省淄博市周村区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式是最简二次根式的是(    )
A. 3 B. a2 C. 12 D. 27
2. 如果2x=5y(y≠0)，那么的值是(    )
A. B. C. D.
3. 如图，在△ABC中，DE//BC，AD=9，DB=3，CE=2，则AE的长为(    )




A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 如图，AD，BC相交于点O，且AB//CD.如果AO=CO=2，BO=1，那么OD的值是(    )


A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 如图，平行四边形ABCD中，点E为AD中点，若△AEO的面积为1，则△BOC的面积为(    )


A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
6. 如图，在△ABC中，点D在AB上一点，下列条件中，能使△ABC与△BDC相似的是(    )






A. ∠B=∠ACD B. ∠ACB=∠ADC
C. AC2=AD⋅AB D. BC2=BD⋅AB
7. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于(    )
A. 2
B. 2.4
C. 2.5
D. 2.25
8. 如图，在△ABC中，BC=60，高AD=30，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则正方形EFGH的面积为(    )


A. 200 B. 400 C. 600 D. 900
9. 如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是(    )


A. 22.5° B. 30° C. 36° D. 45°
10. 如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴，y轴上，OD=2OA=6，AD=3AB，则点C的坐标是(    )
A. (2,7)
B. (3,7)
C. (3,8)
D. (4,8)
11. 如图，在△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为(    )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
12. 如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB=8m，CD=12m，则点M离地面的高度MH为(    )
A. 4 m
B. 245m
C. 5m
D. 163m
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
13. 计算 16的结果是______．
14. 如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD=2：3，则△ABC与△DEF的周长比是______．


15. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为2，则另一个根为______ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2,0)，直线y=43x+8与x轴，y轴分别交于点A，B，点Q是直线AB上的一个动点，则线段PQ的最小值为______ ．


17. 如图，线段AB、CD的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点M.若每个小正方形的边长都是1，则MCMD的值是           ．







三、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
计算：
(1) 12+ 8× 6；
(2) 20+ 5 5−2．
19. (本小题8.0分)
解方程：
(1)x2+4x−5=0；
(2)3x2+2x=1．
20. (本小题10.0分)
已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为(3,1)，(2,−1)．
(1)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1标注顶点字母名称；
(2)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2使△OA2B2与△OAB位似比为2：1，标注顶点字母名称；
(3)直接写出△OA2B2的面积：______ ．

21. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，CA=CD，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E．
(1)求证：△ABC∽△DBE；
(2)如果BC=5，BE=3，求AC的长．

22. (本小题10.0分)
如图，将等边三角形ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处(不与B，C重合).折痕为EF．
(1)求证：△BDE∽△CFD；
(2)若BD=6，DC=2，求BE的长．

23. (本小题12.0分)
如图，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上，且BE=CD，EP//AC交直线CD于点P，交直线AB于点F，∠ADP=∠ACB．
(1)求证：△CBD∽△ABC；
(2)图中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并证明；若不存在，说明理由．

24. (本小题12.0分)
如图，P为正方形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，过P作MN⊥DE分别交BC，AD于M，N．

(1)如图1，求证：MN=DE；
(2)如图2，点F与点C关于直线DE对称，连接FA并延长交直线DE于点G，连接BG．
①设∠ADE的度数为x，求∠DGF的度数；
②猜想AF与BG之间的数量关系，并证明．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A． 3是最简二次根式，因此选项A符合题意；
B. a2=|a|，因此选项B不符合题意；
C. 12= 22，因此选项C不符合题意；
D. 27=3 3，因此选项D不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是正确解答的前提．

2.【答案】C 
【解析】解：∵2x=5y(y≠0)，
∴=，
故选：C．
利用比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：∵DE//BC，AD=9，DB=3，CE=2，
∴ADDB=AEEC，
∴93=AE2，
解得AE=6．
故选C．
根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
本题考查平行线分线段成比例．

4.【答案】B 
【解析】解：∵AB//CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴=，
即=，
∴OD=4．
故选：B．
根据相似三角形的判定方法，由AB//CD可判断△AOB∽△DOC，然后利用相似比可求出OD的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠AEO=∠CBO，∠EAO=∠BCO，
∴△AEO∽△CBO，
∵点E为AD中点，
∴AE=12AD=12BC，即AEBC=12，
∵△AEO的面积为1，
∴S△AEOS△BOC=(12)2=14，即1S△BOC=14，
解得：S△BOC=4；
故选：C．
根据题意易证△AEO∽△CBO，再根据点E为AD中点得出相似比，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△BOC的面积．
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，相似三角形面积比等于相似比的平方．

6.【答案】D 
【解析】解：选项A、B、C的条件无法判断△ABC与△BDC相似．
正确答案是D.理由如下：
∵BC2=BD⋅BA，
∴BCBA=BDBC，∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD(两边成比例夹角相等的两个三角形相似)．
故选：D．
根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，即可判断．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．

7.【答案】B 
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∵∠A=90°，∠CFB=90°，
∴△ABE∽△FCB，
∴ABFC=BEBC，
∵AB=2，BC=3，E是AD的中点，
∴BE=2.5，
∴2FC=2.53，
解得：FC=2.4．
故选：B．
根据相似三角形的判定与性质得出△ABE∽△FCB，得出ABFC=BEBC，进而得出答案．
此题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，根据已知得出△ABE∽△FCB是解题关键．

8.【答案】B 
【解析】解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF=∠EHG=90°，EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN=90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN=EH=x，
∵△AEF∽△ABC，
∴ANAD=EFBC(相似三角形对应边上的高的比等于相似比)，
∵BC=60，AD=30，
∴AN=30−x，
∴30−x30=x60，
解得：x=20，
∴正方形EFGH的面积为=20×20=400．
故选：B．
设正方形EFGH的边长EF=EH=x，易证四边形EHDN是矩形，则DN=x，根据正方形的性质得出EF//BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．

9.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了黄金分割，相似三角形的判定与性质，
根据黄金分割的定义得到AD2=BD·AB，而AD=AC=BC，则BC2=BD·AB，根据相似三角形的判定得△BCD∽△BAC，则∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，根据三角形外角性质得∠ADC=∠BCD+∠B=2x，所以∠ACD=∠ADC=2x，然后根据三角形内角和定理得到x+2x+x+x=180°，再解方程即可．
【解答】
解：∵点D是线段AB的一个黄金分割点，
∴AD2=BD·AB，
∵AD=AC=BC，
∴BC2=BD·AB，
即BC：BA=BD：BC，
而∠ABC=∠CBD，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠A=∠BCD，
设∠A=x，则∠BCD=x，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=x
∴∠ADC=∠BCD+∠B=2x，
而AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=2x，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°，
∴x+2x+x+x=180°，
解得x=36°，
即∠A=36°．
故选：C．  
10.【答案】A 
【解析】解：过C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADO，
∴△CDE∽△ADO，
∴CEOD=DEOA=CDAD，
∵OD=2OA=6，AD=3AB，
∴OA=3，CD：AD=13，
∴CE=13OD=2，DE=13OA=1，
∴OE=7，
∴C(2,7)，
故选：A．
过C作CE⊥y轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠ADC=90°，根据余角的性质得到∠DCE=∠ADO，根据相似三角形的性质得到CE=13OD=2，DE=13OA=1，于是得到结论．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

11.【答案】C 
【解析】解：在Rt△ABC中(∠C=90°)，放置边长分别3，4，x的三个正方形，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴OE：PN=OM：PF，
∵EF=x，MO=3，PN=4，
∴OE=x−3，PF=x−4，
∴(x−3)：4=3：(x−4)，
∴(x−3)(x−4)=12，即x2−4x−3x+12=12，
∴x=0(不符合题意，舍去)或x=7．
故选：C．
根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．
本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边．

12.【答案】B 
【解析】解：∵AB//CD，
∴△ABM∽△DCM，
∴BHHC=ABCD=812=23，(相似三角形对应高的比等于相似比)，
∵MH//AB，
∴△MCH∽△ACB，
∴MHAB=CHBC=35，
∴MH8=35，
解得MH=245．
故选：B．
根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH//AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．
此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．

13.【答案】4 
【解析】
【分析】
本题考查了算术平方根，比较简单．
根据算术平方根的定义求出即可．
【解答】
解： 16=4，
故答案为：4．  
14.【答案】2：5 
【解析】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．
∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，
∵OA：AD=2：3，
∴OA：OD=2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．
故答案为：2：5．
先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，再利用比例性质得到OA：OD=2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换．位似变换的两个图形相似．相似比等于位似比．

15.【答案】−5 
【解析】解：设方程的另一根为x，
根据题意，得：2+x=−3，
解得：x=−5，
故答案为：−5．
设方程的另一根为x，根据一元二次方程根与系数的关系即可求出另一根．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．

16.【答案】8 
【解析】解：当PM⊥AB时，PM的长取得最小值，
y=43x+4，令x=0，得y=8，令y=0，得x=−6，
∴AO=6，BO=8，
∴AB= AO2+BO2=10，AP=OA+OP=8，
在△AOB和△AMP中，
∠A=∠A∠AOB=∠AMP=90°AB=AP，
∴△AOB≌△AMP(AAS)，
∴PM=BO=8．
故答案为：8．
当PM⊥AB时，PM的长取得最小值，根据y=43x+8，求得AO=6，BO=8，根据勾股定理得到AB= AO2+BO2=10，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．

17.【答案】127 
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，设小正方形的边长为1，取格点J，K，设AB交格线于O.证明△AJO∽△BKO，求出OK，OD，再证明△DOM∽△CBM，可得结论．
【解答】
解：如图，设小正方形的边长为1，取格点J，K，设AB交格线于O．

∵AJ//BK，
∴△AJO∽△BKO，
∴JO：OK=AJ：BK=1：3，
∴OK=34，
∴OD=DK+OK=74，
∵DO//BC，
∴△DOM∽△CBM，
∴DMCM=DOBC=743=712，
∴MCMD=127．
故答案为：127．  
18.【答案】解：(1) 12+ 8× 6
=2 3+4 3
=6 3；
(2)解法一、 20+ 5 5−2
=( 20+ 5)× 5( 5)2−2
=10+55−2
=3−2
=1；
解法二、原式= 5×( 4+1) 5−2
= 4+1−2
=2+1−2
=1． 
【解析】(1)先根据二次根式的性质和二次根式得乘法法则进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算即可；
(2)先分母有理化，再根据乘法和除法法则进行计算，最后算减法即可．
本题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．

19.【答案】解：(1)x2+4x−5=0，
因式分解得：(x+5)(x−1)=0，
解得x1=−5，x2=1；
(2)3x2+2x=1，
a=3，b=2，c=−1，
∵Δ=22−4×3×(−1)=4+12=16>0，
∴x=−2± 166=−2±46，
解得：x1=13，x2=−1； 
【解析】(1)方程利用因式分解法求出解即可；
(2)方程利用公式法求出解即可；
此题考查了解一元二次方程−因式分解法、公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．

20.【答案】10 
【解析】解：(1)如图所示：△OA1B1即为所求；
(2)如图所示：△OA2B2即为所求；
(3)△OA2B2的面积=12×5×(2+2)=10．
故答案为：10．
(1)直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)以x轴为分割线，将△OA2B2分成两部分，即可求得△OA2B2的面积．
此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．

21.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CD，
∴∠ACB=∠E=90，
∴CA=CD，
∵∠A=∠CDA，
∵∠BDE=∠CDA，
∴∠A=∠BDE，
∴△ABC∽△DBE．
(2)解：∠E=90°，BC=5，BE=3，
∴CE= BC2−BE2= 52−32=4，
∴DE=4−CD=4−AC，
∵△ABC∽△DBE，
∴=，
∴=，
∴AC=，
∴AC的长是． 
【解析】(1)由∠ACB=90°，BE⊥CD，得∠ACB=∠E，由CA=CD，得∠A=∠CDA=∠BDE，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△DBE．
(2)先根据勾股定理求得CE= BC2−BE2=4，则DE=4−CD=4−AC，再根据相似三角形的对应边成比例列方程得=，即可求得AC=．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，证明∠A=∠BDE从而证明△ABC∽△DBE是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：∵等边三角形ABC，
∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵三角形ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，
∴∠EDF=∠A=60°，
∵∠FDB=∠C+∠DFC，∠FDB=∠EDF+∠EDB，
∴∠DFC=∠EDB，
∵∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFD．
(2)解：∵BD=6，DC=2，
∴BC=BD+DC=8，
∵等边三角形ABC，
∴AB=AC=BC=8，
∵三角形ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，
∴AE=ED，AF=FD，
∴△BDE的周长为：BD+DE+BE=BD+AE+BE=BD+AB=6+8=14，
△CFD的周长为：CD+DF+CF=CD+AF+FC=CD+AC=2+8=10，
∵△BDE∽△CFD，
∴BECD=1410，
∵DC=2，
∴BE2=1410，
∴BE=2.8． 
【解析】(1)由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得∠B=∠C、∠DFC=∠EDB即可证明结论；
(2)由已知条件可得BC=8，由等边三角形的性质可得AB=AC=BC=8，再由折叠的性质可得AE=ED，AF=FD，最后根据相似三角形的性质列式求解即可．
本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵∠ADP=∠ACB，
∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD，
∴∠BCD=∠A，
∵∠CBD=∠CBA，
∴△CBD∽△ABC；
(2)解：AC=BF，理由如下：
∵EP//AC，
∴BC：BA=BE：BF，
∵△CBD∽△ABC，
∴CD：AC=BC：AB，
∴BE：BF=CD：AC，
∵BE=CD，
∴AC=BF． 
【解析】(1)由∠ADP=∠ACB，得到∠BCD=∠A，又∠CBD=∠CBA，即可证明△CBD∽△ABC；
(2)由EP//AC，推出BC：BA=BE：BF，由△CBD∽△ABC，推出CD：AC=BC：AB，因此BE：BF=CD：AC，又BE=CD，即可证明AC=BF．
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是由EP//AC，得到BC：BA=BE：BF，由△CBD∽△ABC，得到CD：AC=BC：AB．

24.【答案】证明：(1)作NH⊥BC于H，

∴四边形ABHN是矩形，HN=AB=AD，
∵MN⊥DE，
∴∠EDA+∠DNP=90°，
∵∠HNM+∠DNP=90°，
∴∠EDA=∠HNM，
在△HNM与△ADE中，
∠EDA=∠HNMHN=AD∠MHN=∠EAD，
∴△HNM≌△ADE(ASA)，
∴MN=DE；
(2)①∠DGF=45°，
∵点F与点C关于直线DE对称，且四边形ABCD是正方形，
∴DC=DF=AD，∠CDG=∠FDG=(90−x)°，
∴∠FDA=∠FDG−∠ADG=(90−2x)°，
在等腰△DAF中，∠DAF=(45+x)°，
∵∠DAF=∠ADG+∠DGF，
∴∠DGF=45°；
②AF= 2BG，
连接CG，CF，

由对称性可知GC=GF，∠DGC=∠DGF=45°，
∴△CGF是等腰Rt△，
∴CFCG= 2，
∵CACB= 2，
∴CFCG=CACB，
∵∠ACF=∠BCG=45°=∠ACG，
∴△CAF∽△CBG，
∴AFBG=CACB= 2，
∴AF= 2BG． 
【解析】(1)作NH⊥BC于H，根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
(2)①根据正方形的性质和等腰三角形的性质解答即可；
②连接CG，CF，根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答．
此题考查四边形综合题，正方形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．