专题10 椭圆方程及其简单几何性质中档题突破——高考数学一轮复习重难点（解析版）

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 专题10 椭圆方程及其简单几何性质中档题突破
题型一 椭圆的定义
1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，并且，
解得：．
故选：．
2．方程，化简的结果是　　．
【解答】解：方程，
表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，
它的轨迹是以、为焦点，长轴，焦距的椭圆；
，，；
椭圆的方程是，即为化简的结果．
故答案为：．
3．方程表示焦点在轴的椭圆，那么实数的取值范围是　　．
【解答】解：椭圆方程化为．
焦点在轴上，则，即．
又，
．
故答案为：
4．已知两定点，，直线，在上满足的点有　　个．
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
【解答】解：由椭圆的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
故，，，
其方程是，
把代入椭圆方程并整理得：
，
由△，
在上满足的点有1个．
故选：．
5．方程表示椭圆的必要不充分条件是　　
A． B．
C．，， D．
【解答】解：由方程表示椭圆，可得，，且，
解得且，
故是方程表示椭圆的必要条件．
但由，不能推出方程表示椭圆，
例如时，方程表示圆，不是椭圆，
故是方程表示椭圆的必要条件，而不是充分条件，
故选：．

题型二 椭圆的标准方程
6．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且与轴垂直，点与点关于原点对称，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，，，则由题意可得，，可得，所以可得，
所以，
由题意且与轴垂直，可得，，所以，所以，
因为，又因为，
所以，所以，所以，
而，，，
所以椭圆的方程为：，
故选：．

7．求与椭圆有相同的离心率且经过点的椭圆方程．
【解答】解　由题意，当焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为，
椭圆过点，，椭圆标准方程为．
当焦点在轴上时，设方程为，
椭圆过点，，椭圆标准方程为．
故所求椭圆标准方程为或．
8．分别求满足下列条件的椭圆标准方程：
（1）中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，；
（2）离心率，且与椭圆有相同焦点．
【解答】解：（1）设椭圆方程为，且
由解得，．
所以椭圆方程为．
（2）由于所求椭圆与椭圆有相同焦点，
设其标准方程为，
则，所以．
由，则．
所以．
所以所求椭圆的标准方程为．
9．点在焦点为和的椭圆上，若△面积的最大值为16，则椭圆标准方程为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意，，即，
△面积的最大值为16，，
即，，
．
则椭圆的标准方程为．
故选：．
10．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，且，，，
，，
，，
，则在轴上．
在△中，，
在△中，由余弦定理可得，
根据，可得，
解得，．
椭圆的方程为：．
故选：．

11．已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，若，则三角形的面枳为　　
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，
则：，
若，所以，．
利用余弦定理：，
所以，
则：．
故选：．
12．如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在直线的方程是　　．
【解答】解：设弦的两端点，，，，斜率为，
则，，
两式相减得，
即，
弦所在的直线方程，即．
故答案为：．
13．如图，已知椭圆的中心为原点，，为的左焦点，为上一点，满足，且，则椭圆的方程为　　

A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，设右焦点为，由知，
，，
所以，
由知，
，即．
在中，由勾股定理，得，
由椭圆定义，得，从而，得，
于是，
所以椭圆的方程为．
故选：．

14．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是　　．
【解答】解：由题意设椭圆的方程为．
因为椭圆的右焦点为，所以，
又离心率等于，所以，则．
所以椭圆的方程为．
故答案为：．

题型三 椭圆的性质
15．点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是　，　．
【解答】解：依题意，椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，
所以，
，
则的取值范围是，
故答案为：，．
16．点，为椭圆的两个焦点．点为椭圆内部的动点．则△周长的取值范围为　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：设椭圆的半焦距为，
椭圆，
，，
，即，
△周长为，
当在之间时，最小值为2，但此时构不成三角形，故，
当在椭圆上时，，△周长取得最大值，但点为椭圆内部的动点．
故，
△周长的取值范围为．
故选：．
17．已知，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一个动点，则△的内切圆的半径的最大值是　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：由椭圆，得，，，则，
如图，

，
，则，
要使△内切圆半径最大，则需最大，
，
△内切圆半径的最大值为．
故选：．
18．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为　　
A．4 B．5 C．7 D．8
【解答】解：圆，则圆心为椭圆的右焦点，
又椭圆，则，，，
由椭圆的定义可知，，
则，
所以，
当，，三点共线时，取最大值1，
所以的最小值为．
故选：．
19．已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，
则由椭圆定义，
于是．
当不在直线与椭圆交点上时，、、三点构成三角形，于是，
而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，
在第三象限交点时有．
显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为
．
故选：．

题型四 椭圆的离心率问题
20．已知动点到两个定点，的距离之和为，则点轨迹的离心率的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．
【解答】解：由已知到两定点，的距离之和为的点的轨迹
是一个椭圆，
其中心坐标为，长轴长为，焦距为2，
故，，
所以离心率
，，
综上知，点轨迹的离心率的取值范围为，
故选：．
21．在椭圆中，，分别是其左右焦点，是椭圆上一点，若，则该椭圆离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据椭圆定义，将设代入得，
根据椭圆的几何性质，，故，即
，故，即，又，
故该椭圆离心率的取值范围是．
故选：．
22．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，则，
，由，
，
化为，，
整理得，，
，解得，
故选：．
23．已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即，整理可得，
即，即，从而，
则椭圆的离心率，
故选：．
24．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点．若，，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，以，为邻边作平行四边形，对角线，交于点，
则，所以，
则，
则在三角形中，，
由余弦定理可得：，
即，整理可得：，
解得，所以，且由勾股定理可得，
又为的中点，则三角形为等腰三角形，所以，
由椭圆的定义可得：，
解得，
故选：．

25．椭圆的上、下顶点分别为、，右顶点为，右焦点为，，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆的上、下顶点分别为，，
右顶点为，右焦点为，，可得，
，．
故选：．
26．已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为且，所以三角形为等边三角形，
所以可得在轴上，设为，可得，①
又因为②，由①②可得：，
故选：．
27．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：点的坐标为，设，，
则，
，
故，，，
又对称轴，
当时，即时，
则当时，最大，此时，
故只需要满足，即，则，
所以，
又，
故的范围为，，
当时，即时，
则当时，最大，此时，
则，解得，
所以，
又，
故不满足题意，
综上所述的的范围为，，
故选：．
28．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，点是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，则，
由余弦定理得，
即，
所以，
因为，
所以，
整理得，即，整理得，
所以，，，
故选：．
29．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，，△的内切圆与外接圆的半径分别为，，若，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，则．
因为，
所以，
则，则．
由等面积法可得，
整理得，
因为，所以，故．
故选：．
30．已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，
则，且由，可得，
所以，则，
由余弦定理可得，
即，
椭圆的离心率，
故选：．

31．，为椭圆上的两点，，为其左、右焦点，且满足，当时，椭圆的离心率为 　　．
【解答】解：设，由，得，
再由椭圆定义可得：，，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得．
在△中，由余弦定理可得：，
即，
整理得，即．
故答案为：．