专题12 抛物线方程及其简单几何性质中档题突破——高考数学一轮复习重难点（解析版）

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专题12 抛物线方程及其简单几何性质性质
题型一 求轨迹方程
1．已知点到的距离与到直线的距离相等，求点的轨迹方程．
【解答】解：设点为，则
根据题意

．
故答案为：．
2．已知圆的方程为，求与轴相切且与圆外切的动圆圆心轨迹方程．
【解答】解：若动圆在轴右侧，则动圆圆心到定点与到定直线的距离相等，其轨迹是抛物线，方程为，
若动圆在轴左侧，则动圆圆心轨迹是负半轴，方程为，，
综上，动圆圆心轨迹方程是或，．
3．点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是　　．
【解答】解：设，依题意得
点到点的距离比它到直线的距离小1，
由两点间的距离公式，得，
根据平面几何原理，得，原方程化为
两边平方，得，整理得
即点的轨迹方程是．
故答案为：．

4．点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是　　．
【解答】解：点到点的距离比它到直线的距离小1，点到直线的距离和它到点的距离相等．
根据抛物线的定义可得点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
，抛物线的标准方程为，
故答案为．
5．平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大1，求动点的轨迹方程．
【解答】解：设，
由到定点的距离为，
到轴的距离为，
当时，的轨迹为；
当时，又动点到定点的距离比到轴的距离大1，
列出等式：
化简得，为焦点为的抛物线．
则动点的轨迹方程为：或．
6．设动圆与轴相切且与圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为　或　．
【解答】解：设动圆圆心的坐标为，则
动圆与轴相切且与圆相外切，
，
当时，；当时，．
故答案为：或．
7．已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切，求动圆的圆心的轨迹方程．
【解答】解：令点坐标为，，动圆得半径为，
则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，，，
在直线的左侧，故到定直线的距离是，
所以，，即，
化简得：
8．已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且．
（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；
（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程．
【解答】解：（1）因为点是抛物线的顶点，
故点的坐标为，
根据题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，
设，，，，
故，
因为，
则，
因为、是上的两个动点，
则有，，
故，
整理可得，解得，
由，消去可得，
则有，，
所以，解得，
故直线的方程为，
所以直线经过一个定点．
（2）线段的中点坐标为，
又直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的方程为，①
同理，线段的垂直平分线的方程为，②
由①②解得，
设点，则有，
消去，得到，
所以点的轨迹方程为．

题型二 抛物线的几何性质
9．已知抛物线的焦点为，在上有一点，，则的中点到轴的距离为　　
A．4 B．5 C． D．6
【解答】解：设抛物线的准线为，过点作于点，准线与轴的交点为，
由抛物线的定义可知，，
故的中点到的准线的距离为，
故的中点到轴的距离为4．
故选：．

10．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点．若，且的面积为，则点到准线的距离是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：

抛物线的焦点，，准线方程为：，
过抛物线上一点作的垂线，垂足为，可得，
又由且，
所以，
所以，解得，
代入抛物线的方程，可得，
又由且，
所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，
所以的面积为，
解得，
所以点到准线的距离是，
故选：．
11．已知直线与抛物线交于，两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：设，，，，直线方程为．
联立，消去，得，所以．
所以，
因为、中点横坐标为3，所以，
故，又，所以的取值范围，．
故选：．
12．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的延长线交抛物线的准线于点．若，，则　　
A．2 B．3 C．6 D．8
【解答】解：设、在准线上的射影分别为、，
过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的延长线交抛物线的准线于点，
由，可得：，
因为，，可得，
故选：．

13．以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点，已知，，则　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：设抛物线为，如图，，
，，，，
，丨丨丨丨丨丨丨丨，
，解得，
故选：．

14．已知抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于，、，，过点、作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，则以下四个结论正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：当直线的斜率不存在时，，，
此时，，成立，不成立；
，，，
，，成立；
，不成立．
当的斜率存在时，可设，
联立，得．
得，，故成立；
而，故不成立；
，，，
故，成立；
而
，故不成立．
故选：．
15．已知抛物线，焦点为，过焦点的直线抛物线相交于，，，两点，则下列说法一定正确的是　　
A．的最小值为2
B．线段为直径的圆与直线相切
C．为定值
D．若，则
【解答】解：抛物线，焦点为，准线方程为，过焦点的弦中通径最短，所以的最小值为，故不正确，
如图：设线段的中点为，过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，由抛物线的定义可得，，
所以，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故正确；
设直线所在的直线方程为，
由，消去可得，
所以，，
所以，故正确；
所以，故正确．
故选：．


题型三 最值问题
16．已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为　　．
【解答】解：由题意，点到准线的距离等于点到焦点的距离，
从而到轴的距离等于点到焦点的距离减1．
过焦点作直线的垂线，此时最小，
，则，
则的最小值为．
故答案为：．
17．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为　　．
【解答】解：根据题意，设，，，
则由，得，
，，
，
当且仅当时取等号，
直线的斜率的最大值为．
故答案为：．
18．已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线相交于，两点，则线段的最小值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由，可得，则，即，
易知直线过该抛物线的焦点，
因为过焦点的弦中通径最短，所以线段的最小值为，
故选：．
19．抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，为上的动点．则的最小值为　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：由题意可得焦点，准线，
过点作准线，
所以，
因为，
所以，
求的最小值等价于求的最大值，
设，
，
所以，，
所以，．
当时，最小值为，
所以最小值为．
故选：．

20．已知为曲线上一点，，，则的最小值为　　
A．6 B． C．5 D．
【解答】解：由题意可得，曲线是抛物线的右半部分且是焦点，
为曲线上一点，设到准线的距离为，则，
，要使其最小，则即为到准线的距离，
的最小值为．
故选：．
21．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，为的中点，为上一点，则的最小值为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：由题意，得，故直线的方程为，
联立可得，
设，，，，则，，
故，，
过作垂直准线于点，根据抛物线的定义可得：，
故选：．
22．已知抛物线的焦点为，点、为抛物线上的两个动点，且，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为　　
A． B． C．2 D．1
【解答】解：设，，
由抛物线定义，得，
在梯形中，．
由余弦定理得，

配方得，，
又，

得到．（当时取等号）
则的最小值为1．
故选：．

23．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，则的最小值为　　
A． B． C． D．6
【解答】解：作轴于点，轴于
设，
由抛物线的方程可得，准线的方程为，
作于，于，
由抛物线的定义可得，，
所以，，
当时，
所以，，
所以，，
所以，
当时，，，
所以，
综上，的最小值为，
故选：．

24．已知点是抛物线上一点，点为抛物线的焦点，点，则的周长的最小值为　　
A．3 B．1 C． D．
【解答】解由题意可得在抛物线的内部，过向抛物线的准线作垂线交准线于交抛物线于，
中，三角形的周长为：，
由抛物线的性质，可得，
由抛物线的方程可得，抛物线的准线方程为，
所以，，
所以三角形的周长的最小值为：．
故选：．

25．抛物线上的点到直线距离的最小值是　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：因为点在抛物线上，设，则点到直线的距离

，当时，．
故选：．
26．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为　　
A．2 B．4 C．5 D．6
【解答】解：如图，解：分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，
则
设直线的方程为，，，，．
联立，整理得，
则，．

．
故选：．

27．已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线的焦点，则，
当直线的斜率不存在时，直线为，
由，可得，，
，
；
当直线的斜率存在时，设过点作直线的方程为，不妨设，，，，
由，消可得，
，，
，，
．
．
当且仅当时取“”．
故的最小值为．
故选：．