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2023年河南省驻马店市汝南县中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年河南省驻马店市汝南县中考数学二模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省驻马店市汝南县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的绝对值是( )
A. −12023 B. −2023 C. 12023 D. 2023
2. 如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为( )
A. B. C. D.
3. 如图，若a//b，∠1=46°，则∠2的度数是( )
A. 34°
B. 44°
C. 134°
D. 144°
4. 下列各式中，运算正确的是( )
A. a6÷a3=a2 B. (a3)2=a5
C. 6÷ 2= 3 D. 2 2+3 3=5 5
5. 我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒.数3000000用科学记数法表示为( )
A. 3×106 B. 3×107 C. 0.3×106 D. 30×105
6. 分式1x−1有意义时x的取值范围是( )
A. x≠1 B. x>1 C. x≥1 D. x<1
7. 已知关于x的一元二次方程x2+bx−1=0，则下列关于该方程根的判断，正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b的取值有关
8. 矩形、菱形都具有的性质是( )
A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等
9. 现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张(边长如图)，小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片9张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10. 如图，已知矩形ABCD的邻边长分别为a、b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2…则第2023次操作后，得到四边形A2023B2023C2023D2023的面积是( )
A. ab22023 B. ab22022 C. ab22024 D. ab24046
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 写一个y随x的增大而减小的函数______ ．
12. 写出一个满足不等式组1−2x<5x−32≤−1的整数解______ ．
13. 双减政策实施后，某学校为丰富学生的业余生活，发展学生的兴趣特长，增强学生的体质，开展了四个体育兴趣社团：跳绳社团，篮球社团，足球社团，健美操社团，小明和小亮对四个社团都很喜欢．他们随机选择参加其中一个社团，则两人恰好选择同一个社团的概率是______．
14. 如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，利用网格求出弧AC的长为______ ．
15. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=1，∠AOD=120°，点E1在对角线BD上，P是AE的中点，PO+PB的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)化简：(1+1m)÷1−m2m；
(2)计算： 9−2cos30°+(1−π)0−(12)−2．
17. (本小题9.0分)
为了加强心理健康教育，某校组织七年级(1)(2)两班学生进行了心理健康常识测试(分数为整数，满分为10分)，已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
(1)求(2)班学生中测试成绩为10分的人数；
(2)请确定下表中a，b，c的值(只要求写出求a的计算过程)；
统计量
平均数
众数
中位数
方差
(1)班
8
8
c
1.16
(2)班
a
b
8
1.56
(3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
18. (本小题9.0分)
越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措.驿城区某校九年级学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.5米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC=32°，在与点A相距4米的测点D处安置测倾器，测得点M仰角∠MEC=45°(点A，D与N在一条直线上)，求电池板离地面的高MN的长(结果精确到1米；参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)
19. (本小题9.0分)
学校举办了“喜迎二十大奋进新征程”演讲比赛，计划对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、乙两种奖品，已知3件甲种奖品和2件乙种奖品共需70元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需80元．
(1)求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元？
(2)根据颁奖计划，学校需甲、乙两种奖品共60件，其中甲种奖品的数量不超过20件，求购买两种奖品的总费用的最小值．
20. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=kx的图象交于点A(1,2)和B(−2,m)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出y1>y2时，x的取值范围；
(3)在平面内存在一点P，且∠APB=90°，请直接写出OP的最小值．
21. (本小题9.0分)
独轮车(图1)俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用.如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型.在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D．
(1)求证：∠A=∠C；
(2)若PD=2BD=4，求⊙O的半径．
22. (本小题10.0分)
已知函数y=−x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,−3)，(6,−3)．
(1)求b，c的值；
(2)当0≤x≤4时，求y1的最大值；
(3)当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，请直接写出m的值．
23. (本小题10.0分)
“三等分角”是数学史上一个著名问题，数学家们证明只使用尺规无法三等分一个任意角，但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角、108°角等可以用尺规三等分，如果作图工具没有限制，将条件放宽，将任意角三等分是可以解决的．
(1)用尺规三等分特殊角．
例题解读：如图1，∠AOB=90°，在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的平分线OE，则射线OD，OE将∠AOB三等分．
问题1：如图2，∠MON=45°，请用尺规把∠MON三等分.(不需写作法，但需保留作图痕迹)
(2)折纸三等分任意锐角．
步骤一：在正方形纸片上折出任意∠SBC，将正方形ABCD对折，折痕记为MN，再将矩形MBCN对折，折痕记为EF，得到图3；
步骤二：翻折正方形纸片使点B的对应点T在EF上，点M的对应点P在SB上，点E对折后的对应点记为Q，折痕记为GH，得到图4；
步骤三：折出射线BQ，BT，得到图5，则射线BQ，BT就是∠SBC的三等分线．
下面是证明射线BQ，BT是∠SBC三等分线的部分过程．
证明：如图5，过点T作TK⊥BC，垂足为K，则四边形EBKT为矩形．
根据折叠的性质，得EB=QT，∠EBT=∠QTB，BT=TB．
∴△EBT≌△QTB(SAS)．
∴∠BQT=∠TEB=90°．
∴BQ⊥PT．
⋯
问题2：①将剩余部分的证明过程补充完整；
②若将图3中的点S与点D重合，重复(2)中的操作过程得到图6，请利用图6计算tan15°的值，请直接写出结果．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：|−2023|=2023，
故选：D．
根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
2.【答案】C
【解析】解：俯视图就是从上面看到的图形，因此选项C的图形符合题意，
故选：C．
从上面看物体所得到的图形即为俯视图，因此选项C的图形符合题意．
本题考查简单几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．
3.【答案】C
【解析】解：如图：
∵a//b，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=180°，∠1=46°，
∴∠3=180°−46°=134°，
∴∠2=134°．
故选：C．
先根据∠1=46°求出∠3的度数，再由a//b，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数即可．
本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质并灵活运用是解题的关键．要注意平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
4.【答案】C
【解析】解：A、a6÷a3=a3，故A不符合题意；
B、(a3)2=a6，故B不符合题意；
C、 6÷ 2= 3，，故C符合题意；
D、2 2与3 3不属于同类二次根式，不能合并，故D不符合题意，
故选：C．
利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，二次根式的除法法则及二次根式的加法法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】A
【解析】解：数3000000用科学记数法表示为3×106．
故选：A．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意得：x−1≠0，
解得：x≠1．
故选：A．
分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
本题考查分式有意义的条件，解决本题的关键是掌握分式有意义，分母不为0．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△>0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】
解：∵△=b2−4×(−1)=b2+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【解答】
解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：B．
9.【答案】C
【解析】解：根据题意得：9a2+b2+6ab=(3a+b)2，
则还需取C纸片的张数是6张．
故选：C．
根据题意列出关系式，利用完全平方公式判断即可．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：记四边形AnCnDnBn的面积为Sn，
连接A1C1D1B1，
∵A1B1C1D1为各边的中点，
∴AD1=D1D，AA1=DC1，
∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∴△C1D1D≌△AA1D1，
∴A1D1=D1C1，
同理，A1B1=B1C1，A1D1=A1B1，
∴四边形A1B1C1D1为菱形，
∵四边形A2B2C2D2为矩形，四边形A1B1C1D1为菱形，
∴S1=12A1C1×B1D1=12ab，
S2=12A1C1×12B1D1=14ab，
……，
∴Sn= ab2n，
∴A2023B2023C2023D2023的面积=ab22023．
故选：A．
记四边形AnCnDnBn的面积为Sn，易知四边形A1B1C1D1为菱形，四边形A2B2C2D2为矩形，S1=12A1C1×B1D1=12ab，S2=12A1C1×12B1D1=14ab，……，推出Sn=ab2n.，
本题考查规律型：图形的变化类，解题的关键是找出规律，知道Sn的表示方法．
11.【答案】y=−x(答案不唯一)
【解析】解：y随x的增大而减小的函数可以是y=−x．
故答案为：y=−x(答案不唯一)．
根据反比例函数、一次函数及二次函数的增减性解答即可．
本题考查的是反比例函数、一次函数及二次函数的增减性，熟知以上知识是解题的关键．
12.【答案】−1、0、1
【解析】解：由1−2x<5得：x>−2，
由x−32≤−1得：x≤1，
则不等式组的解集为−2
故答案为：−1、0、1．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出其整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】14
【解析】解：把跳绳社团，篮球社团，足球社团，健美操社团分别记为：A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选到同一个社团的结果有4种，
∴小明和小亮选到同一个社团的概率为416=14，
故答案为：14．
画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选到同一个社团的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】2 5π
【解析】解：连接BC，作BC的垂直平分线，交AB的垂直平分线与点D(2,0)，连接AD，CD，
由图可知，DC可由DA以D旋转中点顺时针旋转90°得到，即∠ADC=90°．
又∵AD= 22+42=2 5，
∴弧AC的长为90×π×2 5180=2 5π．
故答案为：2 5π．
连接BC，作BC的垂直平分线，交AB的垂直平分线与点D(2,0)，可得弧AC所对的圆心角度数，求得半径长，可求弧AC的长．
此题主要是考查了弧长的计算，能够根据题意找到圆心，求出半径是解答此题的关键．
15.【答案】 72
【解析】解：取AB的中点F，作直线PF，
∵点P是AE的中点，
∴PF//BE，
作点B关于直线PF的对称点H，连接BH交直线PF于点G，连接OH，
∵PG垂直平分BH，
∴PB=PH，∠PGB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，AB=1，
∴BF=AF=0.5，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°−∠AOD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=1，∠BFG=∠ABO=60°，
∴∠BPG=30°，
∴FG=12BF=0.25，
∴HG=BG= BF2−FG2= 0．52−0.252= 34，
∴BH=2BG= 32，
∴OH= BH2+OB2= ( 32)2+12= 72，
∵PO+PH≥OH，
∴PO+PB≥ 72，
∴PO+PB的最小值为 72，
故答案为： 72．
取AB的中点M和AD的中点N，先证明P在MN上，再作B关于MN的对称点H，BH与MN交于点G，连接OH，OH与MN交于点P，并证明此时P点使PO+PB=OH为最小值，最后求出OH便可．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：(1)(1+1m)÷1−m2m
=m+1m÷1−m2m
=m+1m⋅m(1+m)(1−m)
=11−m．
(2) 9−2cos30°+(1−π)0−(12)−2
=3−2× 32+1−4
=3− 3+1−4
=− 3．
【解析】(1)先将括号内的进行通分合并，然后把除法变成乘法，再因式分解进行约分可得结果；
(2)根据算术平方根定义，特殊角的三角函数值，零次幂法则，负整数指数幂法则化简，然后合并计算可得结果．
此题主要是考查了分式的混合运算，实数的混合运算，能够熟练运用各种运算法则是解答此题的关键．
17.【答案】解：(1)由题意知，(1)班和(2)班人数相等，为：5+10+19+12+4=50(人)，
∴(2)班学生中测试成绩为10分的人数为：50×(1−28%−22%−24%−14%)=6(人)，
答：(2)班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
(2)由题意知，；
b=9；c=8；
故a，b，c的值分别为8，9，8；
(3)根据方差越小，数据分布越均匀可知(1)班成绩更均匀．
【解析】(1)根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；
(2)根据(1)中数据分别计算a，b，c的值即可；
(3)根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．
本题主要考查统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
18.【答案】解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，则点B、E、F在同一条直线上，设MF=x米，
∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，
∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，
∴FN=ED=AB=1.5米，AD=BE=4米，
∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，
∴MF=EF=x，
∴FB=FE+EB=x+4，
∴tan∠MBF=MFFB≈xx+4=0.62，
解得 x≈6.5米，
经检验x≈6.5米符合题意，
∴MN=MF+FN=6.5+1.5≈8(米)．
答：电池板离地面的高度MN的长约为8米．
【解析】过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，可证四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，设MF=EF=x，可求FB=x+3，由tan∠MBF=MFFB≈xx+4=0.62，解得 x≈6.5米，可求MN的长．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用−仰角俯角问题，矩形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设甲种奖品的单价为x元乙种奖品的单价为y元，
根据题意得：3x+2y=702x+3y=80，
解得x=10y=20，
∴甲种奖品的单价为10元，乙种奖品的单价为20元；
(2)设购买甲种奖品m件，购买两种奖品的总费用为w元，则购买乙种奖品(60−m)件，
∵甲种奖品的数量不超过20件，
∴m≤20，
根据题意得：w=10m+20(60−m)=−10m+1200，
∵−10<0，
∴当m=20时，w取最小值，最小值为−10×20+1200=1000(元)，
答：购买两种奖品的总费用的最小值是1000元．
【解析】(1)设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，可得：3x+2y=702x+3y=80，即可解得答案；
(2)设购买甲种奖品m件，购买两种奖品的总费用为w元，由甲种奖品的数量不超过20件，知m≤20，而w=10m+20(60−m)=−10m+1200，由一次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程组和函数关系式．
20.【答案】解：A(1,2)在反比例函数y2=kx的图象上，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为为y2=2x，
∵B(−2,m)在反比例函数y2=2x的图象上，
∴m=2−2=−1，
∴B(−2,−1)，
把A(1,2)，B(−2,−1)代入y1=ax+b得2=a+b−1=−2a+b，
解得a=1b=1，
∴一次函数解析式为y1=x+1；
(2)由函数图象可知：y1>y2时，−21；
(3)∵∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，
设AB的中点为Q，
当P，O，Q三点共线且O，P在AB的同侧时OP有最小值，
∵A(1,2)，B(−2,−1)，
∴AB= (1+2)2+(2+1)2=3 2，
∴PQ=12AB=3 22，
∵AB的中点为Q，
∴Q(−12,12)，
∴OQ= 22，
∴OP=PQ−OQ= 2，
故OP的最小值为 2．
【解析】(1)可先把A代入反比例函数解析式，求得m的值，进而求得n的值，把A，B两点分别代入一次函数解析式即可；
(2)根据函数图象即可得到结论；
(3)令x=0求出y的值，确定出C坐标，得到OC的长，三角形ABP面积由三角形ACP面积与三角形BCP面积之和求出，由已知的面积求出PC的长，即可求出OP的长．
本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、函数图象以及特殊角的三角函数值，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)由两函数图象的上下位置关系，找出结论．
21.【答案】(1)证明：连接OP，如图2，
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD⊥BC，
∴OP//BC，
∴∠OPA=∠C，
∵OA=OP，
∴∠OPA=∠A，
∴∠A=∠C；
(2)解：连接PB，如图2，
在Rt△PBD中，∵PD=2BD=4，
∴PB= 22+42=2 5，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∵∠BDP=∠BPC，∠DBP=∠PBC，
∴△BDP∽△BPC，
∴BP：BC=BD：BP，即2 5：BC=2：2 5，
解得BC=10，
∵∠A=∠C，
∴BA=BC=10，
∴⊙O的半径为5．
【解析】(1)连接OP，如图2，先根据切线的性质得到OP⊥PD，则可判断OP//BC，所以∠OPA=∠C，然后利用∠OPA=∠A可得到结论；
(2)连接PB，如图2，先利用勾股定理计算出PB=2 5，再根据圆周角定理得到∠APB=90°，接着证明△BDP∽△BPC，则利用相似比可计算出BC=10，然后利用∠A=∠C得到BA=10，从而得到⊙O的半径．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
22.【答案】解：(1)把点(0,−3)，(6,−3)代入得：
c=−3−36+6b−3=−3，
解得c=−3b=6，
∴b=6，c=−3；
(2)由(1)可知y=−x2+6x−3，
对称轴为直线x=3，
∵a=−1<0，
∴开口向下，
当x=3时，函数值有最大值，
∴当0≤x≤4时，y1的最大值y=−9+18−3=6，
(3)当0
x=m时，y有最大值为−m2+6m−3，
根据题意得−m2+6m−3−3=1，
解得m=3− 2或3+ 2(舍去)，
当3≤m≤6时，y的最大值为6，最小值为−3，不合题意，
当m>6时，
x=3，y有最大值为6，
x=m，y有最小值为−m2+6m−3，
根据题意得−m2+6m−3−3=1，
解得m=3± 5(不合，舍去)，
综上m的取值为3− 2．
【解析】(1)把点(0,−3)，(6,−3)代入即可解答；
(2)求出对称轴，根据增减性即可求解；
(3)对m分情况进行讨论即可．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图2，
在边ON上取一点A，用尺规以OA为一边向∠MON的外部作等边△OAB，
用尺规作出∠AOB的角平分线OC，
再用尺规作出∠CON的角平分线OD，
则射线OD、OC将∠MON三等分；
(2)①剩余的证明过程如下：
∵ME=PQ，EB=QT，ME=EB，
∴PQ=QT，
∴BP=BT，
∴∠PBQ=∠TBQ，
∵TK=BE，
∴TK=TQ，
∴∠QBT=∠TBC，
∴射线BQ，BT是∠SBC的三等分线；
②同①可知：射线BQ，BT是∠DBC的三等分线，
过T作TJ⊥BC，垂足为J，如图所示：
则∠TBJ=13∠DBC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC=45°，
∴∠TBJ=15°，
由折叠性质得：BH=HT，
∴∠TBJ=∠HTB=15°，
∴∠THJ=30°，
设BC=4，则BE=1，
∵将正方形ABCD对折，折痕为记为MN，再将矩形MBCN对折，折痕记为EF，TJ⊥BC，
∴四边形EBJT为矩形，
∴TJ=BE=1，
在Rt△THJ中，∠THJ=30°，
∴HT=2TJ=2，HJ=cot30°⋅TJ= 3×1= 3，
∴BJ=BH+HJ=HT+HJ=2+ 3，tan∠TBJ=TJBJ=12+ 3=2− 3，
即tan15°=2− 3．
【解析】(1)边ON上取一点A，用尺规以OA为一边向∠MON的外部作等边△OAB，用尺规作出∠AOB的角平分线OC，再用尺规作出∠CON的角平分线OD，则射线OD、OC将∠MON三等分；
(2)①证出PQ=QT，得出BP=BT，由等腰三角形的性质得出∠PBQ=∠TBQ，证出TK=TQ，由等腰三角形的性质得出∠QBT=∠TBC，即可得出结论；
②同①可知：射线BQ，BT是∠DBC的三等分线，过T作TJ⊥BC，垂足为J，则∠TBJ=13∠DBC，由正方形的性质得出∠DBC=45°，求出∠TBJ=15°，由折叠性质得：BH=HT，得出∠TBJ=∠HTB=15°，∠THJ=30°，设BC=4，则BE=1，证出四边形EBJT为矩形，得出TJ=BE=1，在Rt△THJ中，∠THJ=30°，由直角三角形的性质得出HT=2TJ=2，由三角函数求出HJ=cot30°⋅TJ= 3×1= 3，得出BJ=BH+HJ=HT+HJ=2+ 3，再由三角函数定义即可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了作图−复杂作图，正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义等知识；本题综合性强，有一定难度．
2023年河南省驻马店市汝南县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的绝对值是( )
A. −12023 B. −2023 C. 12023 D. 2023
2. 如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为( )
A. B. C. D.
3. 如图，若a//b，∠1=46°，则∠2的度数是( )
A. 34°
B. 44°
C. 134°
D. 144°
4. 下列各式中，运算正确的是( )
A. a6÷a3=a2 B. (a3)2=a5
C. 6÷ 2= 3 D. 2 2+3 3=5 5
5. 我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒.数3000000用科学记数法表示为( )
A. 3×106 B. 3×107 C. 0.3×106 D. 30×105
6. 分式1x−1有意义时x的取值范围是( )
A. x≠1 B. x>1 C. x≥1 D. x<1
7. 已知关于x的一元二次方程x2+bx−1=0，则下列关于该方程根的判断，正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b的取值有关
8. 矩形、菱形都具有的性质是( )
A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等
9. 现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张(边长如图)，小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片9张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10. 如图，已知矩形ABCD的邻边长分别为a、b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2…则第2023次操作后，得到四边形A2023B2023C2023D2023的面积是( )
A. ab22023 B. ab22022 C. ab22024 D. ab24046
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 写一个y随x的增大而减小的函数______ ．
12. 写出一个满足不等式组1−2x<5x−32≤−1的整数解______ ．
13. 双减政策实施后，某学校为丰富学生的业余生活，发展学生的兴趣特长，增强学生的体质，开展了四个体育兴趣社团：跳绳社团，篮球社团，足球社团，健美操社团，小明和小亮对四个社团都很喜欢．他们随机选择参加其中一个社团，则两人恰好选择同一个社团的概率是______．
14. 如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，利用网格求出弧AC的长为______ ．
15. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=1，∠AOD=120°，点E1在对角线BD上，P是AE的中点，PO+PB的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)化简：(1+1m)÷1−m2m；
(2)计算： 9−2cos30°+(1−π)0−(12)−2．
17. (本小题9.0分)
为了加强心理健康教育，某校组织七年级(1)(2)两班学生进行了心理健康常识测试(分数为整数，满分为10分)，已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
(1)求(2)班学生中测试成绩为10分的人数；
(2)请确定下表中a，b，c的值(只要求写出求a的计算过程)；
统计量
平均数
众数
中位数
方差
(1)班
8
8
c
1.16
(2)班
a
b
8
1.56
(3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
18. (本小题9.0分)
越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措.驿城区某校九年级学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.5米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC=32°，在与点A相距4米的测点D处安置测倾器，测得点M仰角∠MEC=45°(点A，D与N在一条直线上)，求电池板离地面的高MN的长(结果精确到1米；参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)
19. (本小题9.0分)
学校举办了“喜迎二十大奋进新征程”演讲比赛，计划对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、乙两种奖品，已知3件甲种奖品和2件乙种奖品共需70元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需80元．
(1)求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元？
(2)根据颁奖计划，学校需甲、乙两种奖品共60件，其中甲种奖品的数量不超过20件，求购买两种奖品的总费用的最小值．
20. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=kx的图象交于点A(1,2)和B(−2,m)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出y1>y2时，x的取值范围；
(3)在平面内存在一点P，且∠APB=90°，请直接写出OP的最小值．
21. (本小题9.0分)
独轮车(图1)俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用.如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型.在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D．
(1)求证：∠A=∠C；
(2)若PD=2BD=4，求⊙O的半径．
22. (本小题10.0分)
已知函数y=−x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,−3)，(6,−3)．
(1)求b，c的值；
(2)当0≤x≤4时，求y1的最大值；
(3)当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，请直接写出m的值．
23. (本小题10.0分)
“三等分角”是数学史上一个著名问题，数学家们证明只使用尺规无法三等分一个任意角，但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角、108°角等可以用尺规三等分，如果作图工具没有限制，将条件放宽，将任意角三等分是可以解决的．
(1)用尺规三等分特殊角．
例题解读：如图1，∠AOB=90°，在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的平分线OE，则射线OD，OE将∠AOB三等分．
问题1：如图2，∠MON=45°，请用尺规把∠MON三等分.(不需写作法，但需保留作图痕迹)
(2)折纸三等分任意锐角．
步骤一：在正方形纸片上折出任意∠SBC，将正方形ABCD对折，折痕记为MN，再将矩形MBCN对折，折痕记为EF，得到图3；
步骤二：翻折正方形纸片使点B的对应点T在EF上，点M的对应点P在SB上，点E对折后的对应点记为Q，折痕记为GH，得到图4；
步骤三：折出射线BQ，BT，得到图5，则射线BQ，BT就是∠SBC的三等分线．
下面是证明射线BQ，BT是∠SBC三等分线的部分过程．
证明：如图5，过点T作TK⊥BC，垂足为K，则四边形EBKT为矩形．
根据折叠的性质，得EB=QT，∠EBT=∠QTB，BT=TB．
∴△EBT≌△QTB(SAS)．
∴∠BQT=∠TEB=90°．
∴BQ⊥PT．
⋯
问题2：①将剩余部分的证明过程补充完整；
②若将图3中的点S与点D重合，重复(2)中的操作过程得到图6，请利用图6计算tan15°的值，请直接写出结果．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：|−2023|=2023，
故选：D．
根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
2.【答案】C
【解析】解：俯视图就是从上面看到的图形，因此选项C的图形符合题意，
故选：C．
从上面看物体所得到的图形即为俯视图，因此选项C的图形符合题意．
本题考查简单几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．
3.【答案】C
【解析】解：如图：
∵a//b，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=180°，∠1=46°，
∴∠3=180°−46°=134°，
∴∠2=134°．
故选：C．
先根据∠1=46°求出∠3的度数，再由a//b，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数即可．
本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质并灵活运用是解题的关键．要注意平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
4.【答案】C
【解析】解：A、a6÷a3=a3，故A不符合题意；
B、(a3)2=a6，故B不符合题意；
C、 6÷ 2= 3，，故C符合题意；
D、2 2与3 3不属于同类二次根式，不能合并，故D不符合题意，
故选：C．
利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，二次根式的除法法则及二次根式的加法法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】A
【解析】解：数3000000用科学记数法表示为3×106．
故选：A．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意得：x−1≠0，
解得：x≠1．
故选：A．
分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
本题考查分式有意义的条件，解决本题的关键是掌握分式有意义，分母不为0．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△>0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】
解：∵△=b2−4×(−1)=b2+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【解答】
解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：B．
9.【答案】C
【解析】解：根据题意得：9a2+b2+6ab=(3a+b)2，
则还需取C纸片的张数是6张．
故选：C．
根据题意列出关系式，利用完全平方公式判断即可．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：记四边形AnCnDnBn的面积为Sn，
连接A1C1D1B1，
∵A1B1C1D1为各边的中点，
∴AD1=D1D，AA1=DC1，
∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∴△C1D1D≌△AA1D1，
∴A1D1=D1C1，
同理，A1B1=B1C1，A1D1=A1B1，
∴四边形A1B1C1D1为菱形，
∵四边形A2B2C2D2为矩形，四边形A1B1C1D1为菱形，
∴S1=12A1C1×B1D1=12ab，
S2=12A1C1×12B1D1=14ab，
……，
∴Sn= ab2n，
∴A2023B2023C2023D2023的面积=ab22023．
故选：A．
记四边形AnCnDnBn的面积为Sn，易知四边形A1B1C1D1为菱形，四边形A2B2C2D2为矩形，S1=12A1C1×B1D1=12ab，S2=12A1C1×12B1D1=14ab，……，推出Sn=ab2n.，
本题考查规律型：图形的变化类，解题的关键是找出规律，知道Sn的表示方法．
11.【答案】y=−x(答案不唯一)
【解析】解：y随x的增大而减小的函数可以是y=−x．
故答案为：y=−x(答案不唯一)．
根据反比例函数、一次函数及二次函数的增减性解答即可．
本题考查的是反比例函数、一次函数及二次函数的增减性，熟知以上知识是解题的关键．
12.【答案】−1、0、1
【解析】解：由1−2x<5得：x>−2，
由x−32≤−1得：x≤1，
则不等式组的解集为−2
故答案为：−1、0、1．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出其整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】14
【解析】解：把跳绳社团，篮球社团，足球社团，健美操社团分别记为：A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选到同一个社团的结果有4种，
∴小明和小亮选到同一个社团的概率为416=14，
故答案为：14．
画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选到同一个社团的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】2 5π
【解析】解：连接BC，作BC的垂直平分线，交AB的垂直平分线与点D(2,0)，连接AD，CD，
由图可知，DC可由DA以D旋转中点顺时针旋转90°得到，即∠ADC=90°．
又∵AD= 22+42=2 5，
∴弧AC的长为90×π×2 5180=2 5π．
故答案为：2 5π．
连接BC，作BC的垂直平分线，交AB的垂直平分线与点D(2,0)，可得弧AC所对的圆心角度数，求得半径长，可求弧AC的长．
此题主要是考查了弧长的计算，能够根据题意找到圆心，求出半径是解答此题的关键．
15.【答案】 72
【解析】解：取AB的中点F，作直线PF，
∵点P是AE的中点，
∴PF//BE，
作点B关于直线PF的对称点H，连接BH交直线PF于点G，连接OH，
∵PG垂直平分BH，
∴PB=PH，∠PGB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，AB=1，
∴BF=AF=0.5，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°−∠AOD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=1，∠BFG=∠ABO=60°，
∴∠BPG=30°，
∴FG=12BF=0.25，
∴HG=BG= BF2−FG2= 0．52−0.252= 34，
∴BH=2BG= 32，
∴OH= BH2+OB2= ( 32)2+12= 72，
∵PO+PH≥OH，
∴PO+PB≥ 72，
∴PO+PB的最小值为 72，
故答案为： 72．
取AB的中点M和AD的中点N，先证明P在MN上，再作B关于MN的对称点H，BH与MN交于点G，连接OH，OH与MN交于点P，并证明此时P点使PO+PB=OH为最小值，最后求出OH便可．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：(1)(1+1m)÷1−m2m
=m+1m÷1−m2m
=m+1m⋅m(1+m)(1−m)
=11−m．
(2) 9−2cos30°+(1−π)0−(12)−2
=3−2× 32+1−4
=3− 3+1−4
=− 3．
【解析】(1)先将括号内的进行通分合并，然后把除法变成乘法，再因式分解进行约分可得结果；
(2)根据算术平方根定义，特殊角的三角函数值，零次幂法则，负整数指数幂法则化简，然后合并计算可得结果．
此题主要是考查了分式的混合运算，实数的混合运算，能够熟练运用各种运算法则是解答此题的关键．
17.【答案】解：(1)由题意知，(1)班和(2)班人数相等，为：5+10+19+12+4=50(人)，
∴(2)班学生中测试成绩为10分的人数为：50×(1−28%−22%−24%−14%)=6(人)，
答：(2)班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
(2)由题意知，；
b=9；c=8；
故a，b，c的值分别为8，9，8；
(3)根据方差越小，数据分布越均匀可知(1)班成绩更均匀．
【解析】(1)根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；
(2)根据(1)中数据分别计算a，b，c的值即可；
(3)根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．
本题主要考查统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
18.【答案】解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，则点B、E、F在同一条直线上，设MF=x米，
∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，
∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，
∴FN=ED=AB=1.5米，AD=BE=4米，
∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，
∴MF=EF=x，
∴FB=FE+EB=x+4，
∴tan∠MBF=MFFB≈xx+4=0.62，
解得 x≈6.5米，
经检验x≈6.5米符合题意，
∴MN=MF+FN=6.5+1.5≈8(米)．
答：电池板离地面的高度MN的长约为8米．
【解析】过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，可证四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，设MF=EF=x，可求FB=x+3，由tan∠MBF=MFFB≈xx+4=0.62，解得 x≈6.5米，可求MN的长．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用−仰角俯角问题，矩形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设甲种奖品的单价为x元乙种奖品的单价为y元，
根据题意得：3x+2y=702x+3y=80，
解得x=10y=20，
∴甲种奖品的单价为10元，乙种奖品的单价为20元；
(2)设购买甲种奖品m件，购买两种奖品的总费用为w元，则购买乙种奖品(60−m)件，
∵甲种奖品的数量不超过20件，
∴m≤20，
根据题意得：w=10m+20(60−m)=−10m+1200，
∵−10<0，
∴当m=20时，w取最小值，最小值为−10×20+1200=1000(元)，
答：购买两种奖品的总费用的最小值是1000元．
【解析】(1)设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，可得：3x+2y=702x+3y=80，即可解得答案；
(2)设购买甲种奖品m件，购买两种奖品的总费用为w元，由甲种奖品的数量不超过20件，知m≤20，而w=10m+20(60−m)=−10m+1200，由一次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程组和函数关系式．
20.【答案】解：A(1,2)在反比例函数y2=kx的图象上，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为为y2=2x，
∵B(−2,m)在反比例函数y2=2x的图象上，
∴m=2−2=−1，
∴B(−2,−1)，
把A(1,2)，B(−2,−1)代入y1=ax+b得2=a+b−1=−2a+b，
解得a=1b=1，
∴一次函数解析式为y1=x+1；
(2)由函数图象可知：y1>y2时，−2
(3)∵∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，
设AB的中点为Q，
当P，O，Q三点共线且O，P在AB的同侧时OP有最小值，
∵A(1,2)，B(−2,−1)，
∴AB= (1+2)2+(2+1)2=3 2，
∴PQ=12AB=3 22，
∵AB的中点为Q，
∴Q(−12,12)，
∴OQ= 22，
∴OP=PQ−OQ= 2，
故OP的最小值为 2．
【解析】(1)可先把A代入反比例函数解析式，求得m的值，进而求得n的值，把A，B两点分别代入一次函数解析式即可；
(2)根据函数图象即可得到结论；
(3)令x=0求出y的值，确定出C坐标，得到OC的长，三角形ABP面积由三角形ACP面积与三角形BCP面积之和求出，由已知的面积求出PC的长，即可求出OP的长．
本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、函数图象以及特殊角的三角函数值，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)由两函数图象的上下位置关系，找出结论．
21.【答案】(1)证明：连接OP，如图2，
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD⊥BC，
∴OP//BC，
∴∠OPA=∠C，
∵OA=OP，
∴∠OPA=∠A，
∴∠A=∠C；
(2)解：连接PB，如图2，
在Rt△PBD中，∵PD=2BD=4，
∴PB= 22+42=2 5，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∵∠BDP=∠BPC，∠DBP=∠PBC，
∴△BDP∽△BPC，
∴BP：BC=BD：BP，即2 5：BC=2：2 5，
解得BC=10，
∵∠A=∠C，
∴BA=BC=10，
∴⊙O的半径为5．
【解析】(1)连接OP，如图2，先根据切线的性质得到OP⊥PD，则可判断OP//BC，所以∠OPA=∠C，然后利用∠OPA=∠A可得到结论；
(2)连接PB，如图2，先利用勾股定理计算出PB=2 5，再根据圆周角定理得到∠APB=90°，接着证明△BDP∽△BPC，则利用相似比可计算出BC=10，然后利用∠A=∠C得到BA=10，从而得到⊙O的半径．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
22.【答案】解：(1)把点(0,−3)，(6,−3)代入得：
c=−3−36+6b−3=−3，
解得c=−3b=6，
∴b=6，c=−3；
(2)由(1)可知y=−x2+6x−3，
对称轴为直线x=3，
∵a=−1<0，
∴开口向下，
当x=3时，函数值有最大值，
∴当0≤x≤4时，y1的最大值y=−9+18−3=6，
(3)当0
x=m时，y有最大值为−m2+6m−3，
根据题意得−m2+6m−3−3=1，
解得m=3− 2或3+ 2(舍去)，
当3≤m≤6时，y的最大值为6，最小值为−3，不合题意，
当m>6时，
x=3，y有最大值为6，
x=m，y有最小值为−m2+6m−3，
根据题意得−m2+6m−3−3=1，
解得m=3± 5(不合，舍去)，
综上m的取值为3− 2．
【解析】(1)把点(0,−3)，(6,−3)代入即可解答；
(2)求出对称轴，根据增减性即可求解；
(3)对m分情况进行讨论即可．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图2，
在边ON上取一点A，用尺规以OA为一边向∠MON的外部作等边△OAB，
用尺规作出∠AOB的角平分线OC，
再用尺规作出∠CON的角平分线OD，
则射线OD、OC将∠MON三等分；
(2)①剩余的证明过程如下：
∵ME=PQ，EB=QT，ME=EB，
∴PQ=QT，
∴BP=BT，
∴∠PBQ=∠TBQ，
∵TK=BE，
∴TK=TQ，
∴∠QBT=∠TBC，
∴射线BQ，BT是∠SBC的三等分线；
②同①可知：射线BQ，BT是∠DBC的三等分线，
过T作TJ⊥BC，垂足为J，如图所示：
则∠TBJ=13∠DBC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC=45°，
∴∠TBJ=15°，
由折叠性质得：BH=HT，
∴∠TBJ=∠HTB=15°，
∴∠THJ=30°，
设BC=4，则BE=1，
∵将正方形ABCD对折，折痕为记为MN，再将矩形MBCN对折，折痕记为EF，TJ⊥BC，
∴四边形EBJT为矩形，
∴TJ=BE=1，
在Rt△THJ中，∠THJ=30°，
∴HT=2TJ=2，HJ=cot30°⋅TJ= 3×1= 3，
∴BJ=BH+HJ=HT+HJ=2+ 3，tan∠TBJ=TJBJ=12+ 3=2− 3，
即tan15°=2− 3．
【解析】(1)边ON上取一点A，用尺规以OA为一边向∠MON的外部作等边△OAB，用尺规作出∠AOB的角平分线OC，再用尺规作出∠CON的角平分线OD，则射线OD、OC将∠MON三等分；
(2)①证出PQ=QT，得出BP=BT，由等腰三角形的性质得出∠PBQ=∠TBQ，证出TK=TQ，由等腰三角形的性质得出∠QBT=∠TBC，即可得出结论；
②同①可知：射线BQ，BT是∠DBC的三等分线，过T作TJ⊥BC，垂足为J，则∠TBJ=13∠DBC，由正方形的性质得出∠DBC=45°，求出∠TBJ=15°，由折叠性质得：BH=HT，得出∠TBJ=∠HTB=15°，∠THJ=30°，设BC=4，则BE=1，证出四边形EBJT为矩形，得出TJ=BE=1，在Rt△THJ中，∠THJ=30°，由直角三角形的性质得出HT=2TJ=2，由三角函数求出HJ=cot30°⋅TJ= 3×1= 3，得出BJ=BH+HJ=HT+HJ=2+ 3，再由三角函数定义即可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了作图−复杂作图，正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义等知识；本题综合性强，有一定难度．
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