2023年河南省驻马店市汝南县一模数学试题（含解析）

这是一份2023年河南省驻马店市汝南县一模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河南省驻马店市汝南县一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．四个有理数，其中最小的是（　　）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
2．如图，将正方体截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（    ）

A． B． C． D．
3．据央视6月初报道，电信5G技术赋能千行百业，打造数字经济底座．5G牌照发放三年来，三大电信运营商共投资4772亿元．把数字4772亿用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
4．如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（    ）

A．4 B．6 C．9 D．16
5．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（    ）

A． B． C． D．
6．如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（　　）

A．24° B．26° C．48° D．66°
7．下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（   ）
A．点在函数图象上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小
8．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
10．如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（    ）

A． B．1 C． D．

二、填空题
11．反比例函数y＝的图像分布情况如图所示，则k的值可以是 （写出一个符合条件的k值即可）．
  
12．由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 .

13．如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝，BD＝5，则⊙O的半径为 ．

14．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 ．

15．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
  

三、解答题
16．计算与化简．
(1)；
(2)．
17．如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．

18．如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．

(1)若，求线段AD的长．
(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
19．如图中，，以的一条边为直径作半圆交于点，过点作于点．

(1)求证：是半圆的切线．
(2)若，，求的长．
20．如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点C，与y轴相交于点D．

(1)请直接写出双曲线对应的函数解析式；
(2)连接，，求的面积；
(3)直接写出当时，关于x的不等式的解集．
21．阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，则．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，，
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_________， _________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为，求的值．
(3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的值．
22．2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
23．如图，已知抛物线过点，，其对称轴为．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．
①当的面积为15时，求点的坐标；
②是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点的坐标．

参考答案：
1．A
【分析】根据有理数大小比较原则：负数正数，对于负数比较大小，绝对值大的反而小即可得到答案．
【详解】解：有理数大小比较原则：负数正数，再结合负数比较大小方法，
，
故选：A．
【点睛】本题考查有理数及负数比较大小方法，熟记相关大小比较的原则是解决问题的关键．
2．D
【分析】根据主视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
【详解】解：这个几何体的主视图如下：

故选：D．
【点睛】本题考查简单组几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确判断的前提．
3．C
【分析】先将4772亿元换算成477200000000元，再根据科学记数法可直接得到答案．
【详解】解：4772亿元=477200000000元=元
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的方法，科学记数法的基本形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．B
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】设的周长是x，
∵ 与位似，相似比为，的周长为4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
5．C
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：

A
B
C
D
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）

由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
6．C
【分析】直接利用圆周角求解．
【详解】解：∵点A是的中点，
∴，
∴∠AOB=2∠ADC=2×24°=48°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．D
【分析】将代入解析式，得出在函数图象上，即可判断A选项，根据，可得抛物线开口向下，即可判断B选项，根据对称轴公式可得抛物线的对称轴为，即可判断C，D选项．
【详解】解：A． 当时，，则点不在函数图象上，故该选项不正确，不符合题意；    
B． ∵，∴抛物线开口方向向下，故该选项不正确，不符合题意；
C． ∵的对称轴是直线，故该选项不正确，不符合题意；    
D． ∵抛物线对称轴为直线，开口向下，则当时，随的增大而减小，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．B
【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′．故②正确；
③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；
④在△ACC′中，
AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9．B
【分析】先根据新定义得到关于x的方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴可化为，
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
10．A
【分析】根据矩形的性质得出，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．
【详解】解析：四边形是矩形，，，
，，，
点E、F分别为、的中点，
，，
，
，
，
．
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
11．1（答案不唯一）
【分析】根据反比例函数的图像所处的位置确定k﹣2的符号，从而确定k的范围，可得答案．
【详解】由反比例函数y＝的图像位于第二，四象限可知，k﹣2＜0，
∴k＜2，
∴k的值可以是1，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】考查了反比例函数的性质及图像，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
12．5
【分析】根据三视图得出这个几何体的构成情况，由此即可得．
【详解】解：由三视图可知，这个几何体的构成情况如下：（数字表示相应位置上小正方形的个数）

则构成这个几何体的小正方体的个数是，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图是解题关键．
13．
【分析】先由垂径定理求得BC=BD=5，再由直径所对圆周角是直角∠ACB=90°，由余弦定义可推出sinA=,即可求得sinA=,然后由圆周角定理得∠A=∠D，即可得，则半径可求．
【详解】解：连接AC，如图，

∵⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，
∴CH=DH，AB⊥CD，
∴BC=BD=5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴sinA=,
∵∠A=∠D，
∴cosA= cosD=,
∴sinA=sinD=
∴，
∴AB=
∴半径为
故答案为：
【点睛】本题考查解直角三角形，圆周角定理，垂径定理的推论，求得∠ACB=90°、∠A=∠D是解题的关键．
14．24﹣64π
【分析】由旋转的性质可得DE＝DC＝4，由锐角三角函数可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的长，分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解．
【详解】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，
∴DE＝DC＝4，
∵cos∠ADE，
∴∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴S扇形EDC4π，
∵AE6，
∴BE＝AB﹣AE＝46，
∴S四边形DCBE24﹣6，
∴阴影部分的面积＝24﹣64π，
故答案为：24﹣64π．
【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的性质，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
15．
【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．
【详解】解：如图所示：
  
当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即
解得，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
16．(1)4
(2)

【分析】（1）根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．
（2）先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可.
【详解】（1）解：


；
（2）解：


．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的加减乘除混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分式的加减乘除混合运算是解题的关键．
17．59m
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°，先证明四边形BECD是矩形，BE＝CD＝36m，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，BE＝CE＝CD＝36m，在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，求得AE≈23.4m，进而得到居民楼AB的高度．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°，

由题意可知∠CDB＝∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是矩形，
∴BE＝CD＝36m，
由题意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，
∴∠EBC＝90°－∠BCE＝45°，
∴∠EBC＝∠BCE，
∴BE＝CE＝CD＝36m，
在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，
∴AE＝CEtan33°≈23.4m，
∴AB＝AE＋BE＝23.4＋36＝59.4≈59（m）．
答：居民楼AB的高度约为59m．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
18．(1)2
(2)6

【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出；
（2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出．
【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵四边形BFED是平行四边形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．
19．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据等腰三角形的性质及平行线的性质可知，再根据垂直的定义及切线的判定解答即可；
（2）根据直径所对的圆周角是及等腰三角形的性质可知，再根据勾股定理及相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】（1）证明：连接．
∵，
∴；
∵，
∴；
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
即，
∵为半径，
∴是的切线；

（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角所对的圆周角等于，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的判定，掌握等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）将点代入，即可求解；
（2）解方程组求得点B的坐标，根据，利用三角形面积公式即可求解；
（3）观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：将点代入得，
∴双曲线对应的函数解析式为；
（2）解：∵直线与x轴交于点C，
令，则，解得，
点C的坐标为，
∵直线与双曲线相交于，B两点，
联立，
解得：，，
点B的坐标为，
；
（3）解：观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴当时，关于x的不等式的解集为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积及学会在函数图象中判断不等式的解．
21．(1)，
(2)
(3)

【分析】（1）根据材料提示的方法即可求解；
（2）根据材料提示先求出，的值，再根据分式运算，乘法公式的运算将变形，即可求解；
（3）将实数看作是关系的方程满足的两个根，再根据材料分别求出，的值，再根据分式运算将变形，即可求解．
【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，
，，
故答案为：，．
（2）解：一元二次方程的两根分别为、，
，，
．
（3）解：实数、满足，，
∴，看作是方程的两个实数根，
，，
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，即韦达定理的运用是解题的关键．
22．(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件
(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元
(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元

【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解；
(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；
(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可．
【详解】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．
23．(1)
(2)；

【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：，
则：，解得：，
∴；
（2）解：如图与对称轴交于点，设
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，解得：或，
∵点在第一象限，
∴，
∴

②设直线的解析式为，把代入得：
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴当三点共线时，最长，

解得：（舍）
∴；
所以当时，最长．

【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出二次函数解析式是解题的关键．