2023年河南省驻马店市中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省驻马店市中考数学二模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日“郑开马拉松赛”在郑州、开封两城举办，有人共赴“双城之约”，在奔跑中拥抱春天把数据“”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  千字文有云：“天地玄黄，宇宙洪荒，日月盈昃，辰宿列张”在一个正方体的表面依次书写其中的个汉字，则折叠后与“天”字相对应的汉字是(    )

A. 宇 B. 宙 C. 日 D. 月

4.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，直线，一副三角板的顶点，分别在，上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在四张大小、材质相同的卡片正面依次书写“食物发霉”、“矿石粉碎”、“大米酿酒”、“滴水成冰”几种变化，卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，抽取的两张卡片上书写的都为物理变化的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度甲、乙两种蔗糖的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是(    )
 

A. 甲、乙两种蔗糖的溶解度均随着温度的升高而增大
B. 当温度升高至时，甲蔗糖的溶解度比乙的溶解度大
C. 当温度升高至时，甲、乙蔗糖的溶解度相同，都为
D. 当温度为时，甲、乙蔗糖的溶解度都小于

9.  如图，王林用图中的一副七巧板拼出如图所示“鸟”，已知正方形的边长为，则图中，两点之间的距离为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，平面直角坐标系中点为轴上一点，，以为底构造等腰，且，将沿着射线方向平移，每次平移的距离都等于线段的长，则第次平移结束时，点的对应点坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  写出一个无理数，使得，则可以是______ 只要写出一个满足条件的即可．

12.  甲、乙两名同学次立定跳远成绩的平均值都是，方差分别是：，，这两名同学成绩比较稳定的是______ 填“甲”或“乙”．

13.  不等式组的解集是______ ．

14.  如图所示，将扇形沿方向平移得对应扇形，线段交于点，当时平移停止若，，则阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，等腰中，底边，点为的中点将线段绕点旋转得对应线段，连接旋转过程中，当时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
天气转暖，防溺水任务成了重中之重实验中学政教处举办了以防溺水为主题的知识竞赛，从全校随机抽取了名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，数据分成组，，，，，，部分信息如下：
：竞赛成绩的频数分布直方图如图．
：竞赛成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，，，，，．
请结合以上信息完成下列问题：
本次调查的样本容量为______ ；竞赛成绩在的人数是______ ；补全频数分布直方图；
抽取名学生的竞赛成绩的中位数为______ ；
竞赛成绩分及以上的同学会被评为“学习标兵”，请估计全校人中获此殊荣的人数．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点．
求反比例函数的解析式及点的坐标；
点是线段上一点，过点向轴作垂线段，垂足为，连接，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大面积及点坐标，若不存在，请说明理由．

19.  本小题分
悟颖塔图位于驻马店市汝南县境内，始建于南朝梁元帝承圣年间年，塔身为实体，雄浑庄重，因有传说每年夏至日中午没有影子，故又名无影塔某测绘兴趣小组为测算悟颖塔的高度，测得斜坡米，坡度：，在处测得悟颖塔顶端的仰角为，请依据相关数据求悟颖塔的高度结果精确到米，参考数据：，，
 

20.  本小题分
某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价高，水果店用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量少千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为元千克和元千克．
求甲、乙两种水果的进价分别是多少元千克？
若水果店购进这两种水果共千克，其中甲种水果的重量不高于乙种水果重量的倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

21.  本小题分
义务教育数学课程标准年版是风向标，梅老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”在切线的性质与判定学习完毕后，遂命制一题：“已知：如图，及外一点求作：直线，使与相切于点”李华同学经过探索，想出了两种作法具体如下已知点是直线上方一点：

请仔细阅读，并完成相应的任务．
“作法一”中的“依据”是指______ ．
请写出“作法二”的证明过程．

22.  本小题分
如图所示，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，与轴交于点，已知点坐标为．
求抛物线解析式及其顶点坐标．
若将抛物线向右平移个单位，得新抛物线“”，若“”与坐标轴仅有两个交点，求值．
若点为线段上一动点，过点作轴平行线，该平行线与“”交点为，请直接写出点的纵坐标的取值范围．
 

23.  本小题分
综合实践活动：
【用数学的眼光观察】将一张矩形纸片如图对折，使、重合，得到折痕如图，把纸片展平，则点平分边，然后按照如下步骤折叠可使边被三等分．
第一步：在图的基础上，折出、，将与的交点记为如图．
第二步：过点折叠纸片，使点、分别落在、边上的点、处，折痕为如图把纸片展平，则点、三等分边根据上述折叠的步骤，在划横线处完善折叠研究思路： ______ ；
【用数学的思维思考】
能否用一种不同于的方法折叠，使边被三等分？请借助于备图说明理由；
【用数学的语言表达】
借助中获得的经验进行折叠，在备图中使用无刻度直尺把边五等分直接画图即可

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，解题的关键是要正确确定和的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，
“天”的对面是“月”，
“地”的对面是“宙”，
“宇”的对面是“日”，
故选：．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式逐项分析判断即可求解．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握以上运算法则以及公式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：直线，，
，
，
．
故选：．
根据平行线的性质，直角三角形两角互余的性质计算即可．
本题考查了平行线的性质，直角三角形两角互余的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故选：．
先计算根的判别式的值．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是，由此建立关于的方程解答即可．
此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：当则方程有两个不相等的实数根；当则方程有两个相等的实数根；当则方程没有实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：设张卡片“食物发霉”、“矿石粉碎”、“大米酿酒”、“滴水成冰”依次为，、、，其中“矿石粉碎”、“滴水成冰”属于物理变化；
依据题意画树状图如下：

共有种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有种结果，所以从中随机抽取两张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为．
故选：．
利用树状图把所有可能情况一一画出，再利用概率公式即可求解．
本题考查画树状图法求概率，掌握画树状图求解概率的方法及概率公式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可知：
A.甲、乙两种蔗糖的溶解度均随着温度的升高而增大，
故选项A说法正确，不符合题意；
B.当温度升高至时，甲蔗糖的溶解度比乙的溶解度大，
故选项B说法正确，不符合题意；
C.当温度升高至时，甲、乙蔗糖的溶解度相同，都为，所以原说法错误，
故选项C符合题意；
D.当温度为时，甲、乙蔗糖的溶解度都小于，
故选项D说法正确，不符合题意．
故选：．
根据函数图象解答即可．
本题主要考查了函数的图象，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，

由七巧板可知：大正方形边长，
小正方形边长，
，，
在中，由勾股定理得，，
故选：．
过作于，由七巧板和正方形的性质可知，，，再利用勾股定理可得答案．
本题主要考查了正方形的性质，七巧板，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：作于点，

，是等腰三角形，且为底边，
，，
在中，，
由图观察可知，
第次平移相当于点向上平移个单位，向右平移个单位，
第次平移相当于点向上平移个单位，向右平移个单位，

点的坐标为，
第次平移后点的对应点坐标为，
第次平移结束时，点的对应点坐标为，
故选：．
根据等腰三角形的性质得到点、、的坐标，从而得到平移的规律．
本题考查了等腰三角形的性质和在平面直角坐标系中的平移规律，解直角三角形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：无理数的三种形式为：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数．
只要写出一个满足条件的即可，比如：．
故答案为：答案不唯一．
从无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，根据无理数的定义写一个无理数，满足即可．
本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的三种形式是解题的关键．
 

12.【答案】甲 

【解析】解：，
甲同学成绩更稳定，
故答案为：甲．
根据方差的定义判断即可，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．
本题考查方差，掌握方差的性质即表示的意义是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
解，得，
解，得，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式公共解集的方法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，过点作，

由平移性质知，，
，
，
，
，
在等腰中，，
，
．
故答案为：．
连接，过点作，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出，根据三角函数求出，根据求出结果即可．
本题主要考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线求出，．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图所示，过点作，

等腰中，，
，
，，
，
，
，
点为的中点，
．
当时，分类讨论如下：

当在内部时，如图，点与边中点重合，
由中位线定理可知，此时；
当在之外，如图，

，
，
，
，
为等边三角形，
，，
又，
，
在中，
．
故答案为：或．
过点作，根据题意得出，分类讨论，当在内部时，根据三角形中位线的性质，即可得出，当在之外，由含度角的直角三角形的性质，在中，根据勾股定理即可求解．
本题考查了含度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，分类讨论，分别画出图形是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；


． 

【解析】原式利用零指数幂，负整数指数幂，以及算术平方根定义计算即可得到结果；
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果．
此题考查了分式的混合运算及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：从全校随机抽取了名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，
样本容量为；
竞赛成绩在的人数是，
竞赛成绩在的人数是，
画图如下：

故答案为：，．
中位数是第，个数据的平均数，且前两组数据和为，
第，第个数据为，，，
故答案为：．
人，
答：估计全校人中获此殊荣的人数为人．
根据样本容量的定义，合理选择计算即可．
根据中位数的定义计算．
根据样本估计总体的方法计算．
本题考查了频数分布直方图，样本估计总体，中位数将数据排序后中间数据或中间两个数据的平均数，熟练掌握统计图的意义，中位数的概念是解题的关键．
 

18.【答案】解：反比例函数经过点，
，
反比例函数解析式为，
一次函数的图象过点，
，
一次函数解析式为，
联立方程组得，
解得，，
点的坐标为；
存在最大值，理由如下：
点是线段上一点，
设点坐标为，且，
，，
，
且，
时，面积最大，且最大值为，
当时，，
此时点坐标为．
 

【解析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式和一次函数解析式，再联立求出点的坐标即可；
由点是线段上一点，可设点坐标为，且，得到，根据二次函数的性质得到时，面积最大，且最大值为，再求出点的坐标即可．
此题考查了反比例函数和一次函数交点问题、待定系数法、二次函数的最值问题等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：过作水平地面于，于，如图所示：

则四边形是矩形，
，，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
斜坡米，坡度：，
设米，则米，
，
解得，
米，
答：悟颖塔的高度约为米． 

【解析】过作水平地面于，于，由锐角三角函数定义求出、的长，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】解：设乙种水果的进价为元千克，则甲种水果的进价为元千克，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种水果的进价为元千克，则乙种水果的进价为元千克；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，
由题意得：，
甲种水果的重量不高于乙种水果重量的倍，
，解得：，
，则随的增大而增大，
当时，最大，最大值，则，
答：购进甲种水果千克，乙种水果千克才能获得最大利润，最大利润为元． 

【解析】设乙种水果的进价为元千克，则甲种水果的进价为元千克，再根据水果店用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量少千克，构建分式方程求解即可；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，再列出函数关系式，利用一次函数的性质可得答案．
本题考查的是分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
 

21.【答案】直径所对的圆周角为 

【解析】解：为直径，
直径所对的圆周角为，
．
是的半径，
直线是的切线．
故答案为：直径所对的圆周角为；
由作法可得，，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
是的半径，
直线是的切线．
由为直径，可证，进而可证直线是的切线；
根据证明≌，得，进而可证直线是的切线．
本题考查了尺规作图作垂线，切线的判定，圆周角定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：将代入抛物线的解析式得：
，
解得：，
抛物线解析式为，
把抛物线解析式化为顶点式得：，
顶点坐标为；

抛物线向右平移个单位得新抛物线“”，
抛物线“”的函数解析式为，
抛物线“”的开口向下，顶点坐标在轴上方，
抛物线“”与轴必有个交点，且与轴有个交点，
抛物线“”与坐标轴有且仅有两个交点，
抛物线“”必过原点，
将原点坐标，代入中得：，
解得或舍去；

由得抛物线“”的函数解析式为，
在中，令，则，
解得或，
，
点在线段上运动，
，
轴，
，
，
在中：
当时，；
当时，；
当时，；
在中，当时，，
点在抛物线图象上，且，
． 

【解析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案；
先求出平移后的抛物线解析式为，再根据抛物线的性质推出：抛物线“”必过原点，由此代入原点坐标求解即可；
由得抛物线“”的函数解析式为，求出点的坐标，进而得到，由轴，得到，则，根据抛物线的性质求出抛物线，当时，，由此即可得到答案．
本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线的平移问题，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：，，，
．
，
，
即，
．
故答案为：；
能；理由如下：
如图：把矩形横向折叠四等分，折痕分别为，，，连接，交于点，交于点，沿着、折叠纸片可三等分矩形．

，，
．
，
∽，
，
，
沿着、折叠纸片可三等分矩形，即三等分线段；
作图如图：、、、为线段的五等分点．
方法：第一步：在图的基础上，折出矩形四等分，将与的交点记为；
第二步：过点折叠纸片使点，分别落在，边上的点，处，折痕为；
第三步：以为对称轴，折叠得分割线，以为对称轴，折叠得分割线，以为对称轴，折叠得分割线；

，，
．
，
∽，
．
同理得∽，
，
由知，，
，
．
由题意可知，结合，即得出，进而可求出；
把矩形横向折叠四等分，折痕分别为，，，连接，交于点，交于点，沿着、折叠纸片可三等分矩形，即三等分线段；证明方法：由题意易证∽，即得出，从而得出，即沿着、折叠纸片可三等分矩形，即三等分线段；
第一步：在图的基础上，折出矩形四等分，将与的交点记为；第二步：过点折叠纸片使点，分别落在，边上的点，处，折痕为；第三步：以为对称轴，折叠得分割线，以为对称轴，折叠得分割线，以为对称轴，折叠得分割线；证明方法：由题意易证∽，即得出同理得∽，即得出，再根据，即得出．
本题考查矩形与折叠，三角形相似的判定和性质，理解题意，利用数形结合的思想是解题的关键．