2024版高考数学一轮总复习第2章函数第8节函数与方程课件

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考试要求：1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解的方法．
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现1．函数的零点的概念对于一般函数y＝f(x)，把使__________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点与方程的解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与____有公共点⇔函数y＝f(x)有_____．
3．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有_______________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
f(a)·f(b)＜0
1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的解，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点存在定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件．判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．
5.常用结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．(　　)(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(　　)(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点.(　　)
2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
A　解析：根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．
3．函数f(x)＝ex＋x－3在区间(0，1)上的零点个数是(　　)A．0B．1C．2D．3B　解析：由题知函数f(x)是增函数．根据函数零点存在定理及f(0)＝－2＜0，f(1)＝e－2>0，可知函数f(x)在区间(0，1)上有且只有一个零点．故选B.
5．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根所在区间为_________．(2.5，2.75)　解析：因为f(2.25)<0，f(2.75)>0，由零点存在定理知，在区间(2.25，2.75)内必有根，利用二分法得f(2.5)<0，由零点存在定理知，方程的根所在区间为(2.5，2.75)．
关键能力·研析考点强“四翼”
考点1　判断函数零点所在的区间——基础性
考点2　确定函数零点的个数——综合性
考点3　函数零点的应用——应用性
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)解决这类问题一般考虑利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)有些题目，如第3题也可以通过画函数图象，观察图象在给定区间上是否有交点的方法来判断.
例1　(1)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3
C　解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x (x>0)的图象如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
将本例(1)中“f(x)＝|x－2|－ln x”变为“f(x)＝|x－2|－|ln x|”，结果如何？D　解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|，y＝|ln x|的图象，如图所示：由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为3.
函数零点个数的判断方法(1)直接求零点．令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．(2)函数零点存在定理．要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数．(3)利用图象交点个数．作出两个函数图象，观察其交点个数即得零点个数．
1．设m，n∈Z，已知函数f(x)＝lg2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，值域是[0，3].当m取最小值时，函数g(x)＝2|x-1|＋m＋1的零点个数为(　　)A．0B．1C．2　　 D．3C　解析：因为函数f(x)＝lg2(－|x|＋8)的值域是[0，3]，所以1≤－|x|＋8≤8，即－7≤x≤7.因为函数f(x)＝lg2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，所以m的最小值为－7，此时g(x)＝2|x-1|－6.令g(x)＝2|x-1|－6＝0，解得x＝2＋lg23或x＝－lg23，即有2个零点．
根据函数零点所在区间求参数的步骤
考向2　根据函数零点的个数求参数例3　(1)已知a是函数f(x)＝2x－lg0.5x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足(　　)A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定C　解析：f(x)在(0，＋∞)上是增函数，若0＜x0＜a，则f(x0)＜f(a)＝0.
利用函数零点个数求参数的方法由函数零点个数求参数问题，可采用数形结合法，先对解析式变形，变为关于两个初等函数的方程，再在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，通过数形结合求解．
A　解析：画出函数f(x)的大致图象如图所示．
因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需1－a≥0，即a≤1；当x>0时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，02．若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)上，则n＝_________．2　解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln 2<0，f(3)＝2＋ln 3>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n＝2.
1　4　解析：作出函数f(x)的图象如图所示．
由图可知，要使方程f(x)＝a有四个不同的解，则需1≤a＜2，故a的最小值是1.