适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第3章函数与基本初等函数第9节函数与方程课件新人教A版

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1.结合学过的函数图象,了解函数的零点与方程解的关系.会判断函数零点所在区间及零点个数.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.3.能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.
1.函数的零点(1)函数零点的定义对于一般函数y=f(x),我们把使　　　　的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 
零点不是点,是一个实数
误区警示求函数的零点不能忽视函数的定义域,零点必须是定义域中的实数,例如,不能说0是函数f(x)= 的零点,事实上该函数不存在零点.
(2)等价关系方程f(x)=0的实数根⇔函数f(x)图象与x轴交点的横坐标⇔函数f(x)的零点.
2.函数零点存在定理
微点拨1.零点存在定理只能判断零点存在,不能确定零点的个数.若函数在某区间上是单调函数,则该函数在该区间上至多有一个零点.2.图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值同号.3.连续不断的函数图象,通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
微思考如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,y=f(x)在(a,b)内有零点,那么一定有f(a)f(b)<0吗?
提示 不一定.例如,函数f(x)=x2-1在区间[-2,2]上的图象是连续不断的一条曲线,且在(-2,2)内有零点,但f(-2)f(2)>0.事实上,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,那么“f(a)f(b)<0”是“y=f(x)在(a,b)内有零点”的充分不必要条件.
3.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且　　　　　　的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在区间　　　　　　　,使所得区间的两个端点逐步逼近　　　　,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精度ε.(2)求区间(a,b)的中点c.(3)计算f(c).若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数f(x)的零点;若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c).若f(b)·f(c)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).(4)判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值为a(或b);否则重复第(2)~(4)步.
f(a)f(b)<0
常用结论1.奇偶函数的非零零点成对出现,且互为相反数.2.周期函数若存在零点,则必有无穷多个零点.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.函数f(x)=x2-1的两个零点是(-1,0)和(1,0).(　　)2.如果函数f(x)在区间(a,b)上单调且存在零点,则f(a)·f(b)<0.(　　)3.偶函数若有零点必有偶数个.(　　)4.只要函数有零点,就可以用二分法求出其近似值.(　　)
题组二回源教材5.(人教A版必修第一册习题4.5第2题改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为(　　)A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)
解析 由所给的函数值的表格可以看出,x=2与x=3这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(2)·f(3)<0,所以函数在(2,3)内有零点.故选B.
6.(人教B版必修第一册习题3-2B第3题改编)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点-1,1,x0,且x0∈(2,3),则实数c的取值范围是　　　　. 
解析 依题意,设f(x)=x3+ax2+bx+c=(x+1)(x-1)(x-x0),即f(x)=x3-x0x2-x+x0,因此c=x0,由于x0∈(2,3),所以c∈(2,3).
题组三连线高考7.(2018·全国Ⅰ,理9)已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(　　)A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)
解析 由g(x)=0得f(x)=-x-a,作出函数f(x)和y=-x-a的图象(如图所示),当x=0时,y=-a≤1,即a≥-1时,两个函数的图象有2个交点,即函数g(x)存在2个零点,因此实数a的取值范围是[-1,+∞),故选C.
考点一 判断函数零点所在的区间
例1(1)函数f(x)=lg3x+x-2的零点所在的区间为(　　)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
解析 (方法一)函数f(x)=lg3x+x-2的定义域为(0,+∞),并且f(x)在(0,+∞)上单调递增,图象是一条连续曲线.由题意知f(1)=-1<0,f(2)=lg32>0,根据零点存在定理可知,函数f(x)=lg3x+x-2有唯一零点,且零点在区间(1,2)内.(方法二)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=lg3x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.
(2)(2024·北大附中模拟)已知f(x)=22x+x-2,若f(x0)=0,则x0所在区间为(　　)
规律方法判断函数y=f(x)在某个区间内是否存在零点的方法
考点二 判断函数零点的个数
例2(1)(2024·山东潍坊模拟)函数f(x)=(x2-x)ln|2x-3|在区间[-2,2]上的零点个数是(　　)A.3B.4C.5D.6
解析 令f(x)=(x2-x)ln|2x-3|=0,得x2-x=0或ln|2x-3|=0,解得x=0或x=1或x=2,所以函数f(x)在区间[-2,2]上的零点个数为3,故选A.
A.0B.1C.2D.3
(3)(2024·广东肇庆模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),当x∈[0,2)时,
A.4B.6C.8D.9
(4)(2024·福建福州模拟)已知函数f(x)= 则函数y=f(f(x))+1的零点个数为　　　　. 
规律方法函数零点个数的判断方法
考点三 函数零点的应用(多考向探究预测)
考向1根据函数零点的个数求参数取值范围例3(1)(2024·山东济南模拟)已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,则实数b的取值范围为(　　)A.(0,1]B.[0,1]C.(0,1)D.(1,+∞)
解析 依题意,函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,即方程f(x)=b有四个解,转化为函数y=f(x)的图象与直线y=b有四个交点,由函数y=f(x)解析式可知,当x∈(-∞,-1]时,函数单调递减,y∈[0,+∞);当x∈(-1,0]时,函数单调递增,y∈(0,1];当x∈(0,1)时,函数单调递减,y∈(0,+∞);当x∈[1,+∞)时,函数单调递增,y∈[0,+∞),结合图象,可知实数b的取值范围为(0,1],故选A.
变式探究1(变结论)本例(1)中,若所有条件不变,且设四个不同的零点分别为x1,x2,x3,x4(x1变式探究2(变条件)本例(2)中,其他条件不变,条件“函数g(x)=f(x)-m有零点”改为“函数g(x)=f(x)-m有2个不同的零点”,则实数m的取值范围是　　　　. 
[对点训练1](2024·福建福州模拟)已知函数f(x)= 则“0解析 在同一坐标系下,分别画出y=x2+2x与y=x-1的图象,由图象可知,y=x2+2x有两个零点x=-2和x=0,y=x-1有一个零点x=1.若0考向2根据函数零点的范围求参数取值范围例4(1)(2024·山西阳泉模拟)函数f(x)=lg2x+x2+m在区间(1,2)上存在零点,则实数m的取值范围是(　　)A.(-∞,-5)B.(-5,-1)C.(1,5)D.(5,+∞)
解析 由y1=lg2x在区间(0,+∞)上单调递增,y2=x2+m在区间(0,+∞)上单调递增,知函数f(x)=lg2x+x2+m在区间(0,+∞)上单调递增,由于
若在区间[-1,1]上方程f(x)=1只有一个实数根,则实数m的取值范围为　 . 
考向3函数零点的综合应用例5(2024·青海西宁模拟)函数 的所有零点之和为(　　)A.4B.5C.6D.7
显然,f(x)在区间(0,1)和(1,2)上各存在一个零点,因为g(5)= =4=h(5)=|5-1|,h(4)=3>g(4)=0,在区间(4,5)上两函数必存在一个交点,所以f(x)在区间(4,5]上有两个零点,同理,f(x)在区间[-3,-2)上存在两个零点,所以f(x)在区间[-3,5]上存在6个零点,因为g(x)和h(x)关于直线x=1对称,则f(x)零点关于直线x=1对称,所以f(x)的所有零点之和为6×1=6.